Đề bài
Gọi K là giao điểm đường phân giác của góc A với các đường phân giác của hai góc ngoài tại B và C của tam giác ABC. D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ K xuống các đường thẳng BC, AC, AB.
a] Chứng minh rằng KD = KF.
b] Chứng minh rằng KD = KE. Suy ra ba điểm D, E và F cùng nằm trên một đường tròn.
Lời giải chi tiết
a] Xét hai tam giác vuông \[{\Delta _v}BKF\] và \[{\Delta _v}BKD\] có:
\[\begin{array}{l}BK\,\,chung\\\widehat {KBF} = \widehat {KBD}\,\,\left[ {gt} \right]\end{array}\]
\[ \Rightarrow {\Delta _v}BKF = {\Delta _v}BKD\] [cạnh huyền góc nhọn] \[ \Rightarrow KD = KF\] [2 cạnh tương ứng]
b] Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được \[\Delta CKD = \Delta CKE\] [cạnh huyền góc nhọn] \[ \Rightarrow KD = KE\] [2 cạnh tương ứng].
Vậy \[KD = KE = KF\] hay các điểm \[D,\,\,E,\,\,F\] cùng thuộc một đường tròn \[\left[ {K;KD} \right]\].