Giải bài tập toán hình 10 bài 1 trang 43 năm 2024

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai? Với những hàm số bậc hai đó, xác định \(a,b,c\) lần lượt là hệ số của \({x^2}\), hệ số của \(x\) và hệ số tự do.

1. \(y = - 3{x^2}\)

2. \(y = 2x\left( {{x^2} - 6x + 1} \right)\)

3. \(y = 4x\left( {2x - 5} \right)\)

Phương pháp:

- Xác định hàm số bậc hai (số mũ cao nhất là 2)

- Tìm hệ số a, b, c.

Lời giải:

1. y = – 3x2 là hàm số bậc hai với a = – 3, b = 0 và c = 0.

2. y = 2x(x2 – 6x + 1)

⇔ y = 2x4 – 12x2 + 2x

Hàm số này không phải là hàm số bậc hai (do bậc của đa thức là 4).

3. y = 4x(2x – 5)

⇔ y = 8x2 – 20x

Hàm số này là hàm số bậc hai với hệ số a = 8, b = – 20 và c = 0.

Bài 2 trang 43 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Xác định parabol \(y = a{x^2} + bx + 4\) trong mỗi trường hợp sau:

1. Đi qua điểm \(M\left( {1;12} \right)\) và \(N\left( { - 3;4} \right)\)

2. Có đỉnh là \(I\left( { - 3; - 5} \right)\)

Lời giải:

1. Parabol đã cho đi qua điểm M(1; 12), thay x = 1, y = 12 vào hàm số ta được:

12 = a + b + 4 ⇔ a = 8 – b (1)

Parabol đã cho đi qua điểm N(– 3; 4), thay x = – 3, y = 4 vào hàm số ta được:

4 = 9a – 3b + 4 ⇔ 3a – b = 0 (2)

Thay (1) vào (2) ta có: 3. (8 – b) – b = 0 ⇔ 24 – 4b = 0 ⇔ b = 6.

Suy ra a = 8 – b = 8 – 6 = 2.

Vậy y = 2x2 + 6x + 4.

2. Hoành độ đỉnh của parabol là \(\frac{{ - b}}{{2a}}\)

Nên ta có: \(\frac{{ - b}}{{2a}} = - 3 \Leftrightarrow b = 6a\) (1)

Thay tọa độ điểm I vào ta được:

\(\begin{array}{l} - 5 = a.{\left( { - 3} \right)^2} + b.\left( { - 3} \right) + 4\\ \Leftrightarrow 9a - 3b = - 9\\ \Leftrightarrow 3a - b = - 3\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta được hệ

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = 6a\\3a - b = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6a\\3a - 6a = - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6a\\a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6\\a = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy parabol là \(y = {x^2} + 6x + 4\).

Bài 3 trang 43 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

1. \(y = 2{x^2} - 6x + 4\)

2. \(y = - 3{x^2} - 6x - 3\)

Lời giải:

1. y = 2x2 – 6x + 4

Ta có: a = 2, b = – 6, c = 4, ∆ = (– 6)2 – 4 . 2 . 4 = 4.

- Tọa độ đỉnh \(I\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\)

- Trục đối xứng \(x = \frac{3}{2}\)

- Giao điểm của parabol với trục tung là A(0; 4).

- Giao điểm của parabol với trục hoành là B(1; 0) và C(2; 0).

- Điểm đối xứng với điểm A(0; 4) qua trục đối xứng là D(3; 4).

- Do a > 0 nên đồ thị có bề lõm hướng lên trên.

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số y = 2x2 – 6x + 4 như hình vẽ dưới.

2. y = – 3x2 – 6x – 3

Ta có: a = – 3, b = – 6, c = – 3, ∆ = (– 6)2 – 4 . (– 3) . (– 3) = 0.

- Tọa độ đỉnh I(– 1; 0).

- Trục đối xứng x = – 1.

- Giao điểm của parabol với trục tung là A(0; – 3).

- Giao điểm của parabol với trục hoành chính là đỉnh I.

- Điểm đối xứng của A(0; – 3) qua trục đối xứng x = – 1 là điểm B(– 2; – 3).

- Do a < 0 nên bề lõm của đồ thị hướng xuống.

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số y = – 3x2 – 6x – 3 như hình dưới.

Bài 4 trang 43 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Cho đồ thị hàm số bậc hai ở Hình 15.

1. Xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số.

2. Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

3. Tìm công thức xác định hàm số.

Phương pháp:

1. Tìm trục đối xứng trên đồ thị, đỉnh I trên đồ thị.

2. Đồ thị đi lên thì hàm số đồng biến, đi xuống thì hàm số nghịch biến.

3. Gọi hàm số là \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)

Đồ thị hàm số có đỉnh là \(I\left( {\frac{{ - b}}{{2a}};\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\), xác định thêm 1 điểm thuộc đồ thị và thay vào phương trình tìm a, b, c.

Lời giải:

1. Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 15, ta thấy trục đối xứng của hàm số là đường thẳng x = 2, tọa độ đỉnh I(2; – 1).

2. Ta thấy đồ thị hàm số đi xuống trên khoảng (– ∞ ; 2) nên hàm số nghịch biến trên (– ∞; 2). Đồ thị hàm số đi lên trên khoảng (2; + ∞) nên hàm số đồng biến trên (2; + ∞).

3. Giả sử hàm số cần tìm có dạng: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại (0; 3) nên c = 3.

Khi đó: y = ax2 + bx + 3.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm (1; 0) và (3; 0) nên \(\left\{ \begin{array}{l} - \ a + b + 3 = 0\\9a + 3b + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 4\end{array} \right.\)

Vậy parabol là \(y = {x^2} - 4x + 3\).

Bài 5 trang 43 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Nêu khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của mỗi hàm số sau:

1. \(y = 5{x^2} + 4x - 1\)

2. \(y = - 2{x^2} + 8x + 6\)

Lời giải:

1. Hệ số \(a = 5 > 0,b = 4 \Rightarrow \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 4}}{{2.5}} = \frac{{ - 2}}{5}\)

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{ - 2}}{5}} \right)\) và đồng biến trên \(\left( {\frac{{ - 2}}{5}; + \infty } \right)\)

2. Ta có \(a = - 2 < 0,b = 8\)

\( \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = \frac{{ - 8}}{{2.\left( { - 2} \right)}} = 2\)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)

Bài 6 trang 43 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Khi du lịch đến thành phố St. Louis (Mỹ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Arch. Giả sử ta lập một hệ toạ độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như Hình 16 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí có toạ độ (162;0). Biết một điểm M trên cổng có toạ độ là (10;43). Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Lời giải:

Cổng Arch có dạng hình parabol, theo đề bài parabol này đi qua gốc tọa độ O(0; 0), điểm M(10; 43) và điểm có tọa độ (162; 0).

Giả sử hàm số có dạng: y = ax2 + bx + c (a < 0, do parabol có bề lõm hướng xuống).

Do parabol đi qua O(0; 0) nên 0 = a . 02 + b . 0 + c ⇔ c = 0

Khi đó: y = ax2 + bx

Parabol đi qua điểm M(10; 43) và (162; 0) nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}{10^2}.a + 10.b = 43\\{162^2}.a + 162.b + c = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}100a + 10b = 43\\26244a + 162b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{43}}{{1520}}\\b = \frac{{3483}}{{760}}\end{array} \right.\) (t/m)