Hướng dẫn giải tích phân hàm ẩn

Dạng toán tích phân hàm ẩn là dạng toán có độ khó cao nhưng trong sách giáo khoa lại chưa có nhiều bài tập vận dụng. Trong khi đó, trong đề thi thử THPT QG môn Toán thì nó chắc chắn xuất hiện. Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu những dạng toán thường gặp của chúng:

• Dạng 1: Bài tập áp dụng công thức tích phân và quy tắc của đạo hàm
• Dạng 2: Bài tập sử dụng phương pháp đổi biến
• Dạng 3: Bài tập về tích phân từng phần
• Dạng 4: Các bài toán về phương trình tích phân

Tương ứng với mỗi dạng toán lại có những cách giải khác nhau. Đây là dạng toán khó do đó nếu muốn học thật tốt thì học sinh cần phải nắm vững lý thuyết trước. Như vậy, mới có thể hiểu tại sao và như thế nào để vận dụng vào bài tập.

Tài liệu trắc nghiệm đỉnh cao

Với chủ đề tích phân hàm ẩn này, chúng tôi có một tài liệu vô cùng xuất sắc muốn gửi đến các bạn. Đó là bộ những câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến phần này.

Đương nhiên không thể thiếu phần lý thuyết trong phần lớn tài liệu của chúng tôi. Sau phần lý thuyết là những bài tập vận dụng. Mức độ của từng bài tập được nâng dần lên để các bạn có thể thích nghi dần. Điểm đặc biệt là những bài tập này có thể lấy trực tiếp từ những bài thi của các trường THPT trên toàn quốc.

Một điểm vô cùng tuyệt vời nữa là sau mỗi phần đề bài đều có những lời giải chi tiết. Chắc chắn rằng các bạn có thể sử dụng những hướng dẫn này để hiểu hơn dạng toán này.

Tài liệu gồm 84 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Đặng Việt Đông (giáo viên Toán trường THPT Nho Quan A, tỉnh Ninh Bình), hướng dẫn phương pháp giải các dạng bài tập tích phân hàm ẩn điển hình mức độ vận dụng và vận dụng cao (VD – VDC), giúp học sinh lớp 12 tham khảo khi học chương trình Giải tích 12 chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng.

Dạng 1. Áp dụng các quy tắc và đạo hàm của hàm số hợp trang. + Quy tắc đạo hàm tích 3. + Quy tắc đạo hàm thương 7. + Áp dụng công thức đạo hàm của hàm chứa căn 15. + Áp dụng công thức đạo hàm của hàm mũ 18. + Áp dụng công thức đạo hàm của hàm lôgarit 19. + Áp dụng các công thức đạo hàm khác 21. Dạng 2. Phương pháp đổi biến 22. + Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 1 22. + Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 2 28. + Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 3 39. + Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 4 49. + Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 5 51. + Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 6 53. Dạng 3. Phương pháp từng phần 55. + Trường hợp riêng 68. Dạng 4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 78.

• Nguyên Hàm – Tích Phân

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

BÀI VIẾT LIÊN QUAN

Về một lớp những bài toán sử dụng các kết quả đạo hàm để tạo ra những nguyên hàm hàm ẩn thú vị.Thầy cô cũng có thể sử dụng kĩ thuật này để tạo ra một số bài tập nguyên hàm hay, đòi hỏi khả năng phân tích suy đoán kết hợp kiến thức cũ của học sinh.Nhân dịp có một học sinh hỏi bài (trích từ đề thi Trung học phổ thông Quốc gia 2018), tính mình thích tổng quát những trường hợp lại với nhau, nên chia sẻ đến các bạn một lớp các ví dụ minh họa cho ý tưởng này, mời bạn đọc và góp ý nhé.

Ví dụ 1. (Đề THPT QG 2018). Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa $f\left( 2 \right)=\frac{-2}{9}$ và ${f}’\left( x \right)=2x{{f}^{2}}\left( x \right),\forall x\in \mathbb{R}$. Hãy tính $f\left( 1 \right)$.

Từ đề thi, bài viết muốn làm nội dung này một cách tổng hợp. Để làm được các bài tập như bài toán trên chúng ta cần nhớ lại một số kết quả đạo hàm hàm hợp $u\left( x \right)$ như sau:

${{\left( \ln u \right)}^{\prime }}=\frac{u’}{u}\Rightarrow \int{\frac{{{u}’}}{{{u}}}\text{d}x=\ln u+C}$

${{\left( {{u}^{{2}} \right)}}{\prime }}=2u.{u}’\Rightarrow \int{u.{u}’\text{d}x}=\frac{{{u}^{2}}}{2}+C$

${{\left( \frac{1}{u} \right)}^{{\prime }}=\frac{-{u}’}{{{u}}{2}}}\Rightarrow \int{\frac{{{u}’}}{{{u}^{2}}}\text{d}x}=\frac{-1}{u}+C$

${{\left( \sqrt{u} \right)}^{\prime }}=\frac{{{u}’}}{2\sqrt{u}}\Rightarrow \int{\frac{u’}{\sqrt{u}}}\text{d}x=2\sqrt{u}+C$

Một số công thức cần nhớ

Như vậy, ở Ví dụ 1, ta quan sát nếu chia ${f}’\left( x \right)$ cho ${{f}^{2}}\left( x \right)$ thì ta có thể dễ dàng lấy nguyên hàm được, cho nên có thể giải như sau:

\({f}’\left( x \right)=2x{{f}^{2}}\left( x \right),\forall x\in \mathbb{R}\)

\(\Rightarrow \frac{{f}’\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}=2x\)

\(\Rightarrow \int{\frac{{f}’\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}\text{d}x}=\int{2x}\text{d}x\)

\(\Rightarrow \frac{-1}{f\left( x \right)}={{x}^{{2}}+C\), do vậy \(f\left( x \right)=\frac{-1}{{{x}}{2}}+C}\)

Do $f\left( 2 \right)=\frac{-1}{{{2}^{{2}}+C}\overset{theo\,\,de}{\mathop{=}}\,\frac{-2}{9}$ $\Rightarrow C=\frac{1}{2}$ . Vậy $f\left( 1 \right)=\frac{-1}{{{1}}{2}}+\frac{1}{3}}=\frac{-2}{3}$

Ví dụ 2. (Đề học kì II–THPT Bùi Thị Xuân TpHCM–2017.2018). Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f\left( x \right).{f}’\left( x \right)=3{{x}^{{2}}-2,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 1 \right)=1$. Tính giá trị của ${{f}}{2}}\left( 0 \right)$.

1. ${{f}^{2}}(0)=-1$
2. ${{f}^{2}}(0)=0$
3. ${{f}^{2}}(0)=1$
4. ${{f}^{2}}(0)=3$.

Hướng dẫn giải.

Nhận thấy có $f\left( x \right).{f}’\left( x \right)$ ta nghĩ ngay đến ${{\left( {{f}^{{2}}\left( x \right) \right)}}{\prime }}=2f\left( x \right).{f}’\left( x \right)$ và do đó lấy nguyên hàm $f\left( x \right).{f}’\left( x \right)$ sẽ liên quan đến ${{f}^{2}}\left( x \right)$. Ta có lời giải như sau:

Lời giải

$f\left( x \right).{f}’\left( x \right)=3{{x}^{{2}}-2,\forall x\in \mathbb{R}$\[\Rightarrow \int{f\left( x \right).{f}’\left( x \right)dx}=\int{\left( 3{{x}}{2}}-2 \right)dx}\]$\Rightarrow \frac{{{f}^{{2}}\left( x \right)}{2}={{x}}{3}}-2x+C$ hay ${{f}^{{2}}\left( x \right)=2{{x}}{3}}-4x+2C$Mà $f\left( 1 \right)=1\Leftrightarrow C=\frac{3}{2}$. Suy ra ${{f}^{{2}}\left( x \right)=2{{x}}{3}}-4x+3$ .

Vậy ${{f}^{2}}(0)=3$. Chọn D.

Ví dụ 3. (Đề thi thử QG Chuyên Vinh lần IV–2017). Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục, nhận giá trị dương trên $\left( 0;+\infty \right)$ và thỏa mãn $f\left( 1 \right)=1$, $f\left( x \right)={f}’\left( x \right)\sqrt{3x+1},$ với mọi $x>0$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

1. $4
2. $2
3. $3
4. $1

Hướng dẫn.

Trong bài này, ta thấy có sự xuất hiện ${f}’\left( x \right)$ và $f\left( x \right)$ ở hai vế của đẳng thức bởi dấu nhân, như vậy ta có thể nghĩ đến tỉ số 2 đối tượng này, nghĩa là $\frac{{f}’\left( x \right)}{f\left( x \right)}$ mà có tỉ số này ta có kết quả nguyên hàm là $\ln \left| f\left( x \right) \right|$.

Như vậy, ta có thể giải bài toán như sau:

Giải

$f\left( x \right)={f}’\left( x \right)\sqrt{3x+1}$$\Rightarrow \frac{{f}’\left( x \right)}{f\left( x \right)}=\frac{1}{\sqrt{3x+1}}>0,\forall x>0$ , lấy nguyên hàm ta có: $\int{\frac{{f}’\left( x \right)}{f\left( x \right)}dx}=\int{\frac{1}{\sqrt{3x+1}}dx}$Hay $\ln f\left( x \right)=\frac{2}{3}\sqrt{3x+1}+C$

Với $f\left( 1 \right)=1$ ta có $\ln f\left( 1 \right)=\frac{2}{3}\sqrt{3.1+1}+C\Rightarrow C=\frac{-4}{3}$do đó $\ln f\left( x \right)=\frac{2}{3}\sqrt{3x+1}-\frac{4}{3}$

Vậy: $f\left( x \right)={{e}^{{\frac{2}{3}\sqrt{3x+1}-\frac{4}{3}}}$, nên $3{\frac{4}{3}}}<4$. Chọn C.}

Thay lời kết, mời bạn đọc hãy giải quyết thử bài tập này nha.

Bài tập.

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục và không âm trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn ${{\left( {f}’\left( x \right) \right)}^{2}}=4{{x}{2}}f\left( x \right)$, biết rằng $f\left( 2 \right)=9$. Hãy tính $f\left( 4 \right)$?