I là ma trận gì
|
Cho A là một ma trận vuông cấp n trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, nếu tồn tại một ma trận B vuông cấp n trên K sao cho: A.B = B.A = In. Khi đó, B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A-1. Show Như vậy: A.A-1= A-1.A= In 1.3 Nhận xét: 1. Ma trận nghịch đảo là duy nhất, vì giả sử tồn tại ma trận C vuông cấp n cũng là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C 2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, nghĩa là A lại là ma trận nghịch đảo của A-1 3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện tại, có nhiều giáo trình nước ngoài đã đề cập đến khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ. Thật vậy, cho A là ma trận cấp m x n trên trường số K. Khi đó, ta bảo A là khả nghịch trái nếu tồn tại ma trận L cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải nếu tồn tại ma trận R cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và khi đó, dĩ nhiên A khả nghịch nếu A khả nghịch trái và khả nghịch phải. 4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận không không khả nghịch. 5. Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên K khả nghịch, được ký hiệu là GLn(K). 1.4 Các ví dụ: Xét các ma trận vuông thực, cấp 2 sau đây:  Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch và A là nghịch đảo của B; B là nghịch đảo của A Ma trận C không khả nghịch vì với mọi ma trận vuông cấp 2 ta đều có: 2. Tính chất:
(Bạn hãy thừ chứng minh kết quả trên nhé) 3. Mối quan hệ giữa ma trận khả nghịch và ma trận sơ cấp: 3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp n trên K (n ≥ 2) được gọi là ma trận sơ cấp dòng (cột) nếu E thu được từ ma trận đơn vị In bời đúng 1 phép biến đổi sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp dòng hay cột gọi chung là ma trận sơ cấp. 3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp dòng (hay cột) đều khả nghịch và nghịch đảo của nó lại là một ma trận sơ cấp dòng. Ta có thể kiểm tra trực tiếp kết quả trên bằng thực nghiệm: Ma trận sơ cấp dạng 1: nhân 1 dòng của ma trận đơn vị với α ≠ 0 Ma trận sơ cấp dạng 1 Ma trận sơ cấp dạng 2: cộng hàng i đã nhân với λ vào dòng j Ma trận sơ cấp dạng 2 Ma trận sơ cấp dạng 3: Đổi chỗ dòng i và dòng j Ma trận sơ cấp dạng 3 3.3 Định lý:
(Bạn đọc có thể xem chứng minh định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT) 3.4 Hệ quả:
4. Thuật toán Gausβ – Jordan tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp: Ta sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm nghịch đảo (nếu có)của ma trận A vuông cấp n trên K. Thuật toán này được xây dựng dựa vào kết quả thứ 2 của hệ quả 3.4. Ta thực hiện các bước sau đây Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị cấp n I vào bên phải ma trận A Lập ma trận chi khối cấp n x 2n Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa [ A|I ] về dạng [ A’ | B ], trong đó A’ là một ma trận bậc thang chính tắc. – Nếu A’ = In thì A khả nghịch và A-1 = B – Nếu A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, trong quá trình biến đổi nếu A’ xuất hiện ít nhất 1 dòng không thì lập tức kết luận A không khả nghịch (không cần phải đưa A’ về dạng chính tắc) và kết thúc thuật toán. \[A=\left(\begin{array}{ccc}A_{1,1}& \cdots&A_{1,n}\\\vdots&& \vdots\\A_{m,1}& \cdots&A_{m,n}\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{m\times n}\] Ghi chú: vectơ $x$ được xác định ở trên có thể coi như một ma trận $n\times1$ và được gọi là vectơ cột. Ma trận chínhMa trận đơn vị Ma trận đơn vị $I\in\mathbb{R}^{n\times n}$ là một ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 và các phần tử còn lại bằng 0: \[I=\left(\begin{array}{cccc}1&0& \cdots&0\\0& \ddots& \ddots& \vdots\\\vdots& \ddots& \ddots&0\\0& \cdots&0&1\end{array}\right)\] Ghi chú: với mọi ma trận vuông $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$, ta có $A\times I=I\times A=A$. Ma trận đường chéo Ma trận đường chéo $D\in\mathbb{R}^{n\times n}$ là một ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo chính khác 0 và các phần tử còn lại bằng 0: \[D=\left(\begin{array}{cccc}d_1&0& \cdots&0\\0& \ddots& \ddots& \vdots\\\vdots& \ddots& \ddots&0\\0& \cdots&0&d_n\end{array}\right)\] Ghi chú: chúng ta kí hiệu $D$ là $\textrm{diag}(d_1,...,d_n)$. Các phép toán ma trậnPhép nhânVectơ/vectơ Có hai loại phép nhân vectơ/vectơ: - phép nhân inner: với $x,y\in\mathbb{R}^n$, ta có: \[\boxed{x^Ty=\sum_{i=1}^nx_iy_i\in\mathbb{R}}\] - phép nhân outer: với $x\in\mathbb{R}^m, y\in\mathbb{R}^n$, ta có: \[\boxed{xy^T=\left(\begin{array}{ccc}x_1y_1& \cdots&x_1y_n\\\vdots&& \vdots\\x_my_1& \cdots&x_my_n\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{m\times n}}\] Ma trận/vectơ Phép nhân giữa ma trận $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ và vectơ $x\in\mathbb{R}^{n}$ là một vectơ có kích thước $\mathbb{R}^{m}$: \[\boxed{Ax=\left(\begin{array}{c}a_{r,1}^Tx\\\vdots\\a_{r,m}^Tx\end{array}\right)=\sum_{i=1}^na_{c,i}x_{i}\in\mathbb{R}^{m}}\] với $a_{r,i}^T$ là các vectơ hàng và $a_{c,j}$ là các vectơ cột của $A$, và $x_i$ là các phần tử của $x$. Ma trận/ma trận Phép nhân giữa ma trận $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ và $B\in\mathbb{R}^{n\times p}$ là một ma trận kích thước $\mathbb{R}^{m\times p}$: \[\boxed{AB=\left(\begin{array}{ccc}a_{r,1}^Tb_{c,1}& \cdots&a_{r,1}^Tb_{c,p}\\\vdots&& \vdots\\a_{r,m}^Tb_{c,1}& \cdots&a_{r,m}^Tb_{c,p}\end{array}\right)=\sum_{i=1}^na_{c,i}b_{r,i}^T\in\mathbb{R}^{n\times p}}\] với $a_{r,i}^T, b_{r,i}^T$ là các vectơ hàng và $a_{c,j}, b_{c,j}$ lần lượt là các vectơ cột của $A$ và $B$. Một số phép toán khácChuyển vị Chuyển vị của một ma trận $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$, kí hiệu $A^T$, khi các phần tử hàng cột hoán đổi vị trí cho nhau: \[\boxed{\forall i,j,\quad\quad A_{i,j}^T=A_{j,i}}\] Ghi chú: với ma trận $A$,$B$, ta có $(AB)^T=B^TA^T$ Nghịch đảo Nghịch đảo của ma trận vuông khả đảo $A$ được kí hiệu là $A-1$ và chỉ tồn tại duy nhất: \[\boxed{AA^{-1}=A^{-1}A=I}\] Ghi chú: không phải tất cả các ma trận vuông đều khả đảo. Ngoài ra, với ma trận $A$,$B$, ta có $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ Truy vết Truy vết của ma trận vuông $A$, kí hiệu $\textrm{tr}(A)$, là tổng của các phần tử trên đường chéo chính của nó: \[\boxed{\textrm{tr}(A)=\sum_{i=1}^nA_{i,i}}\] Ghi chú: với ma trận $A$,$B$, chúng ta có $\textrm{tr}(A^T)=\textrm{tr}(A)$ và $\textrm{tr}(AB)=\textrm{tr}(BA)$ Định thức Định thức của một ma trận vuông $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$, kí hiệu $|A|$ hay $\textrm{det}(A)$ được tính đệ quy với $A_{\backslash i, \backslash j}$, ma trận $A$ xóa đi hàng thứ $i$ và cột thứ $j$: \[\boxed{\textrm{det}(A)=|A|=\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}A_{i,j}|A_{\backslash i,\backslash j}|}\] Ghi chú: $A$ khả đảo nếu và chỉ nếu $|A|\neq0$. Ngoài ra, $|AB|=|A||B|$ và $|A^T|=|A|$. Những tính chất của ma trậnĐịnh nghĩaPhân rã đối xứng Một ma trận $A$ đã cho có thể được biểu diễn dưới dạng các phần đối xứng và phản đối xứng của nó như sau: \[\boxed{A=\underbrace{\frac{A+A^T}{2}}_{\textrm{Symmetric}}+\underbrace{\frac{A-A^T}{2}}_{\textrm{Antisymmetric}}}\] Chuẩn Một chuẩn (norm) là một hàm $N:V\longrightarrow[0,+\infty[$ mà $V$ là một không gian vectơ, và với mọi $x,y\in V$, ta có: - $N(x+y)\leqslant N(x)+N(y)$ Với $x\in V$, các chuẩn thường dùng được tổng hợp ở bảng dưới đây: ChuẩnKí hiệuĐịnh nghĩaTrường hợp dùngManhattan, $L^1$$||x||_1$$\displaystyle\sum_{i=1}^n|x_i|$LASSO regularizationEuclidean, $L^2$$||x||_2$$\displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}$Ridge regularization$p$-norm, $L^p$$||x||_p$$\displaystyle\left(\sum_{i=1}^nx_i^p\right)^{\frac{1}{p}}$Hölder inequalityInfinity, $L^{\infty}$$||x||_{\infty}$$\underset{i}{\textrm{max }}|x_i|$Uniform convergence Sự phụ thuộc tuyến tính - Một tập hợp các vectơ được cho là phụ thuộc tuyến tính nếu một trong các vectơ trong tập hợp có thể được biểu diễn bởi một tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác. Ghi chú: nếu không có vectơ nào có thể được viết theo cách này, thì các vectơ được cho là độc lập tuyến tính Hạng ma trận (rank) Hạng của một ma trận $A$ kí hiệu $\textrm{rank}(A)$ và là số chiều của không gian vectơ được tạo bởi các cột của nó. Điều này tương đương với số cột độc lập tuyến tính tối đa của $A$. Ma trận bán xác định dương Ma trận $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ là bán xác định dương (PSD) kí hiệu $A\succeq 0$ nếu chúng ta có: \[\boxed{A=A^T}\quad\textrm{ và }\quad\boxed{\forall x\in\mathbb{R}^n,\quad x^TAx\geqslant0}\] Ghi chú: tương tự, một ma trận $A$ được cho là xác định dương và được kí hiệu $A\succ0$, nếu đó là ma trận PSD thỏa mãn cho tất cả các vectơ khác không $x$, $x^TAx>0$. Giá trị riêng, vectơ riêng Cho ma trận $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$, $\lambda$ được gọi là giá trị riêng của $A$ nếu tồn tại một vectơ $z\in\mathbb{R}^n\backslash\{0\}$, được gọi là vectơ riêng, sao cho: \[\boxed{Az=\lambda z}\] Định lý phổ Cho $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$. Nếu $A$ đối xứng, thì $A$ có thể chéo hóa bởi một ma trận trực giao thực $U\in\mathbb{R}^{n\times n}$. Bằng cách kí hiệu $\Lambda=\textrm{diag}(\lambda_1,...,\lambda_n)$, chúng ta có: \[\boxed{\exists\Lambda\textrm{ đường chéo},\quad A=U\Lambda U^T}\] Phân tích giá trị suy biến Đối với một ma trận $A$ có kích thước $m\times n$, Phân tích giá trị suy biến (SVD) là một kỹ thuật phân tích nhân tố nhằm đảm bảo sự tồn tại của đơn vị $U$ $m\times m$, đường chéo $\Sigma$m×n và đơn vị $V$ $n\times n$ ma trận, sao cho: \[\boxed{A=U\Sigma V^T}\] Giải tích ma trậnGradien Cho $f:\mathbb{R}^{m\times n}\rightarrow\mathbb{R}$ là một hàm và $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ là một ma trận. Gradien của $f$ đối với $A$ là ma trận $m\times n$, được kí hiệu là $\nabla_A f(A)$, sao cho: \[\boxed{\Big(\nabla_A f(A)\Big)_{i,j}=\frac{\partial f(A)}{\partial A_{i,j}}}\] Ghi chú: gradien của $f$ chỉ được xác định khi $f$ là hàm trả về một số. Hessian Cho $f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$ là một hàm và $x\in\mathbb{R}^{n}$ là một vectơ. Hessian của $f$ đối với $x$ là một ma trận đối xứng $n\times n$, ghi chú $\nabla_x^2 f(x)$, sao cho: \[\boxed{\Big(\nabla_x^2 f(x)\Big)_{i,j}=\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i\partial x_j}}\] Ghi chú: hessian của $f$ chỉ được xác định khi $f$ là hàm trả về một số. Các phép toán của gradien Đối với ma trận $A$,$B$,$C$, các thuộc tính gradien sau cần để lưu ý: \[\boxed{\nabla_A\textrm{tr}(AB)=B^T}\quad\quad\boxed{\nabla_{A^T}f(A)=\left(\nabla_Af(A)\right)^T}\] \[\boxed{\nabla_A\textrm{tr}(ABA^TC)=CAB+C^TAB^T}\quad\quad\boxed{\nabla_A|A|=|A|(A^{-1})^T}\] |
