- LG câu a
- LG câu b
- LG c
- LG d
Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
LG câu a
a] \[\int {[1 - 2x]{e^x}} dx\]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần \[\int {udv} = uv - \int {vdu} \].
Giải chi tiết:
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = 1 - 2x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]
Khi đó \[\int {[1 - 2x]{e^x}} dx\]\[ = \left[ {1 - 2x} \right]{e^x} + \int {2{e^x}dx} \] \[ = \left[ {1 - 2x} \right]{e^x} + 2{e^x} + C\]\[ = \left[ {3 - 2x} \right]{e^x} + C\]
LG câu b
b] \[\int {x{e^{ - x}}dx} \]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần \[\int {udv} = uv - \int {vdu} \].
Giải chi tiết:
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - {e^{ - x}}\end{array} \right.\]
Khi đó \[\int {x{e^{ - x}}dx} \]\[ = - x{e^{ - x}} + \int {{e^{ - x}}dx} \]\[ = - x{e^{ - x}} - {e^{ - x}} + C\]\[ = - \left[ {1 + x} \right]{e^{ - x}} + C\]
LG c
c] \[\int {x\ln [1 - x]dx} \]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần \[\int {udv} = uv - \int {vdu} \].
Giải chi tiết:
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left[ {1 - x} \right]\\dv = xdx\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - \dfrac{1}{{1 - x}}dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\]
Khi đó \[\int {x\ln [1 - x]dx} \]\[ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left[ {1 - x} \right] + \int {\dfrac{{{x^2}}}{{2\left[ {1 - x} \right]}}dx} \] \[ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left[ {1 - x} \right] + \dfrac{1}{2}\int {\left[ { - 1 - x + \dfrac{1}{{1 - x}}} \right]dx} \]
\[ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left[ {1 - x} \right] - \dfrac{1}{2}\int {\left[ {\left[ {1 + x} \right] - \dfrac{1}{{1 - x}}} \right]dx} \] \[ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left[ {1 - x} \right] - \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{{\left[ {1 + x} \right]}^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}\ln \left[ {1 - x} \right] + C\]
\[ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left[ {1 - x} \right] - \dfrac{1}{2}\ln \left[ {1 - x} \right] - \dfrac{1}{4}{\left[ {1 + x} \right]^2} + C\].
LG d
d] \[\int {x{{\sin }^2}xdx} \]
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần \[\int {udv} = uv - \int {vdu} \].
Giải chi tiết:
Ta có: \[\int {x{{\sin }^2}xdx} = \int {x.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}dx} \] \[ = \int {\left[ {\dfrac{x}{2} - \dfrac{{x\cos 2x}}{2}} \right]dx} \] \[ = \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{1}{2}\int {x\cos 2xdx} \]
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \cos 2xdx\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \dfrac{{\sin 2x}}{2}\end{array} \right.\]
Khi đó \[\int {x\cos 2xdx} \]\[ = \dfrac{{x\sin 2x}}{2} - \int {\dfrac{{\sin 2xdx}}{2}} \] \[ = \dfrac{{x\sin 2x}}{2} + \dfrac{{\cos 2x}}{4} + C\]
Vậy \[\int {x{{\sin }^2}xdx} \]\[ = \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{x\sin 2x}}{2} + \dfrac{{\cos 2x}}{4} + C} \right]\]\[ = \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{1}{4}x\sin 2x - \dfrac{1}{8}\cos 2x + D\].