Một số bài tập về phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

§2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VE PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHAT, bậc hai A. KIÊN THỨC CĂN BẢN 1. Phương trình bậc nhâ’t Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 ax + b = 0 (1) Hệ số Kết luận a * 0 (1) có nghiêm duy nhất X = a a - 0 b*0 (1) vô nghiêm b = 0 (1) nghiêm đúng với mọi X 2. Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a * 0) (2) A = b2 - 4ac Kết luận A > 0 (2) có hai nghiêm phân biêt x19 = - k± '/Ã 2a A= 0 (2) có nghiêm kép X = —— 2a A < 0 (2) vô nghiệm Định lí Vi-ét Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a * 0) có hai nghiêm X,, x2 thì b c Xi + x2 - , XiX2 - — a a Ngược lại, nếu hai số u và V có tổng u + V = s và tích uv = p thì u và V là các nghiệm của phương trình 4. X2 - Sx + p = 0. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đôi IAI = B Í A nếu A > 0 -A nếu A < 0 Cách 2: Điểu kiện B > 0 A = B A = -B Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn VÃ = B A = B2 ÍB>0 Phương trình chứa ẩn ở mẫu: Đặt điều kiện. Quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu thức chung. Đưa về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. Kiểm tra điều kiện. Kết luận tập nghiệm. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Giải các phương trinh a) - 3x + 2 2x - 5 2x + 3 4 c) 73x - 5 = 3 ; b) 2#3 4 = 24_t x-3 x + 3 x2-9 d) 72x75=2. ố^íảl a) Điều kiện: X * 2 X2 + 3x + 2 2x - 5 2x + 3 “ 4 4(x2 + 3x + 2) = (2x + 3)(2x - 5) 4x2 + 12x + 8 = 4x2 - lOx + 6x - 15 16x = -23 23 X = - (thỏa điều kiện) 16 23 VậyS=tl6 b) Điều kiện: X * ±3 2x + 3 4 Ta có: 24 X - 3 X + 3 (2x + 3)(x + 3) - 4(x - 3)= 24 + 2(x2 - 9) 5x = -15 X = -3 (loại). Vậy s = 0 5 X2 -9 c) Điều kiện: X > 14 d) Điều kiện: X > - 7 T3x - 5 = 33x-5 = 9x = 77 (nhận) 3 Vậy s = 5 t: X > -7 2 V2x + 5 = 22x + 5 = 4x = -i. Vậy s = 1“ 2} • 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham sô' m a) m(x - 2) = 3x + 1; b) m2x + 6 = 4x + 3m; (2m + 1 )x - 2m = 3x - 2. ổjiâi Ta có m(x - 2) = 3x + 1 (m - 3)x = 2m + 1 KTA-„ t o _ 2m + 1 Ị2m + lì m-3 1 m-3 J Nếu m = 3 thì Ox = 7; s = 0 m2x + 6 = 4x + 3m o (m2 - 4)x = 3m - 6 (m - 2)(m + 2)x = 3(m - 2). Nếu m * ± 2 thì X = —; s = {—ị m + 2 (m + 2J _ Nếu m = 2 thì Ox = 0; s = R Nếu m = -2 thì Ox = -12; s = 0 (2m + l)x - 2m = 3x - 2 (2m - 2)x = 2m - 2. Nếu m / 1 thì X = lj s = (1) Nếu m = 1 thì Ox = 0; s - K. Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thi số quả ở rổ thứ hai bằng của bình phương sô' quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi sô' quả quýt ở mỗi rổ lúc ban đẩu là bao nhiêu? ốĩiải Gọi X là số quýt ở mỗi rổ. Điều kiện là X nguyên và lớn hơn 30. Ta có phương trình X + 30 = ỉ(x - 30)2 X2 - 63x + 810 = 0 o> Vậy sô' quýt ở mỗi rổ lúc đầu là 45 quả. 4. Giải các phương trinh ' a) 2x“ - 7x2 + 5 = 0; ỐỊlải a) Đặt X = X2 (X > 0) 5 X = 45 X = 18 (loại) b) 3x4 + 2x2 - 1 = 0. Ta có: 2X2 - 7X + 5 = 0 Vậy s = -1; 1;- 10 7ĨÕ X2=Ẽ 2 x2=l X = ±1 Đặt X = X2 (X > 0) Ta có: 3X2 + 2X - 1 = 0 X = -1 (loại) „2 _ 1 I 7Ỗ X = 77 x= ± --- . 3 3 Vậy s = 73. y/3_ 3 ’ 3 Giải các phương trình sau bằng máy tinh bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phàn thứ ba) a) 2x2 - 5x - 4 = 0; b) -3x2 + 4x + 2 = 0; d) 9x2 - 6x - 4 = 0. b) X! « -0,387; x2 » 1,721; d) X! « 1,079; x2 « -0,412. b) |2x-1| = I-5X-2I; d) |2x + 5l =x2 + 5x+1. c) 3x2 + 7x + 4 = 0; 'ĩ)á‘f> iế: a) Xi « 3,137; x2 « -0,637; Xi = -1; x2 « -1,333; Giải các phương trình a) 13x - 2| = 2x + 3; X -1 -3x +1. c 2x-3_ ịx + l| : ốỊiải Điều kiện: X > - ^ 2 , , „ „ T3x-2 = 2x + 3 x 5 L |_x = -1 VậyS=(-l;-iJ. 3 Điều kiện: X * và X * -1. 2 Nếu X > -1 phương trình đã cho tương đương với phương trình X2 - 1 = -6x2 + llx - 3 7x2 - llx + 2 = 0 11 ± 765 _ , 3. 14 2 Nếu X 5x2 - llx + 4 = 0 11 ± 7ĨĨ , 11 ± 7ĨĨ ,, ,. , ., 11-705 11 + 705 14 14 10 10 Vậy s = X = 777— (loại vì 77—— đểu lớn hơn -1) d) • Với X > - — ta có: 12x + 5 ! = X2 + 5x + 1 2x + 5 = X2 + 5x + 1 X2 + 3x - 4 = 0 X = 1(nhận) X = -4 (loại) Với x < - — ta có: I 2x + 5 I = X2 + 5x + 1 o -2x - 5 = X2 + 5x -h 1 2 X + 7x + 6 = 0 Vậy s = (1;-6|. 7. Giải các phương trình: a) \/5x + 6 = x 6 ; c) \'2x2 + 5 = X + 2 ; a) 7õx + 6 = X - 6 • X = -1 (loại) X = -6(nhận) b) 73 - x = Vx + 2 +1; d) \'4x2 + 2x +10 = 3x + 1 . x-6>0 (x>6 5x + 6 = (x - 6)2 ịx2 - 17x + 30 = 0 X > 6 X = 15 X = 15. Vậy s = 115}. b) Điều kiện -2 < X < 3. Ta có: 73 - X = 7x + 2 + 1 3-x = x + 2 + 2 7x + 2 + 1 7x + 2 = -X 0 V2 -X > 0 X + 2 = X2 X < 0 X2 - X - 2 = 0 o X = -1 (nhận). Vậy s = Ị-1Ị. X + 2 > 0 X2 + 5 = X + 2 X > -2 2x2 + 5 = (x + 2)2 [x2 - 4x + 1 = 0 Vậy s = (2 - 73 ; 2 + 70 I. X = 2 ± 73 d) 7ếx2 + 2x + 10 = 3x + 1 <; 3x + 1 > 0 2 4x2 + 2x + 10 =(3x + l) o X = 1. Vậy s = (1|. 1 x > 3 5x2 + 4x - 9 = 0 8. Cho phương trình 3x2 - 2(m + 1 )x + 3m - 5 = 0. Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó. Ố^Ịiải Ta có A' - (m + l)2 - 3(3m - 5) = m2 - 7m + 16 = f m - + — > 0; Vm l 2/ 4 Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm. X1 + x2 = 2m + 2 Theo đề bài và định lí Vi-ét ta có: • Xj = 3x2 3m - 5 X1X2 = O (1) (2) (3) m.'í/n..xzoi m + 1 m + 1 Từ (1) và (2) suy ra Xi = —-— ; x2 = ——— Thay Xi, x2 vào (3) ta được: (m +.1)2 = 4(3m - 5) m2 - 10m + 21 = 0 Với m = 3 ta có phương trình 3x2 - 8x + 4 = 0 x = 2 2 X = — 3 s = 2; Với m = 7 ta có phương trình 3x2 - 16x +16 -0« c. BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Giải và biện luận các phương trình sau: s= 4; Oi I 00 Tí* I co b) mx + 2(x - m) = (m + 1) + 3; m2x + 1 = mx + m; a(ax + 2b2) - a2 = b2(x + a). Định a, b để phương trình có tập nghiêm là R: a(3x - 1) + b(6x + 1) = 2x + 2 'Đáp a = - ; b = ậ . r 9 9 Định m để phương trình sau có nghiệm dương: m2(x - 1) - 4x - 3m + 2. 'Đáp so: m 1. Cho tam giác có ba cạnh a, b, c. Chứng minh phương trinh sau vô nghiệm: b2x2 - (b2 + c2 - a2)x + e2 = 0 -Hướng ìẫn: A = (a + b + c)(b + c - a)(b + a - c)(b - c - a) < 0 Chứng minh rằng phương trình: (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) - 0 luôn có nghiêm. -Hướng ỉẫn: Biên đổi phương trình về dạng: 3x2 - 2(a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 A' = a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = — [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2] > 0. 2 Cho phương trình X2 - 2(m - 1)x + m + 1 = 0. Định m để phương trình: Có hai nghiệm trái dấu; b) Có hai nghiệm dương phân biệt; c) Có đúng một nghiệm dương. ^ỉ)áf> iế: a) m 3; c) rạ = 3 hoặc m < - 1. Cho phương trình 2x2 + (2m - 1 )x + m - 1 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt X,, x2 thỏa 3Xì - 4x2 = 11. Tìm m để phương trình có hai nghiệm đểu âm. Tìm một hệ thức giữa x4, x2 không phụ thuộc vào m. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham sô’ m: a) m*-m/1=3(1); x + 2 c,£z£! + iLl=2(3); X -1 X -m 9. Giải phương trình: a) (x + 5)(2 - X) = 3yjx2 + 3x ; c) Vx2 -3x + 3 + ựx2 -3x + 6 = 3. b) d) X -m x+m x+3 b) 1 + j Vx - X2 = Vx + ựl-X ; 3

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI Bước 1: Lí do xây dựng chủ đề: - Phương trình là một trong những nội dung cơ bản và quan trọng của chương trình Đại số 10; là nền tảng cho các phần kiến thức tiếp theo và phần lớn các phương trình giải được đều quy về phương trình bậc nhất, bậc hai. - Nhằm phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh trong học tập thuận lợi cho việc sử dụng kĩ thuật dạy học tích cực (VD: hoạt động nhóm,) - Từ các lí do trên chúng tôi xây dựng chủ đề đường tròn với thời lượng 3 tiết Bước 2: Mục tiêu của chủ đề: I. MỤC TIÊU: 1.Kiến thức: - Hiểu cách giải và biện luận phương trình ax+b=0 và ax2+bx+c=0 - Hiểu cách giải các phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa căn đơn giản, phương trình đưa về phương trình tích. 2. Kĩ năng: - Giải và biện luận thành thạo phương trình ax+b=0 và ax2+bx+c=0 - Giải được các phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa căn đơn giản, phương trình đưa về phương trình tích. - Sử dụng được định lí Viet vào việc xét nghiệm của phương trình bậc hai. - Giải thành thạo cách giải phương trình bậc hai bằng máy tính bỏ túi - Vận dụng để giải các bài toán thực tế 3. Thái độ: Thái độ nghiêm túc, tích cực trong học tập, sẵn sàng tham gia hoạt động nhóm. 4. Năng lực hướng tới: Năng lực tính toán, năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực tự học, năng lực lập luận toán học, năng lực giao tiếp. II. BẢNG MÔ TẢ CẤP ĐỘ TƯ DUY VÀ HỆ THỐNG CÂU HỎI, BÀI TẬP MINH HỌA Nội dung Nhận biết Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao I. Ôn tập về phương trình 1. Phương trình bậc nhất Học sinh nhớ lại cách giải phương trình dạng ax+b=0 Giải được phương trình bậc nhất ax+b=0 (a≠0) Giải và biện luận phương trình dạng ax+b=0 Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Nêu cách giải và biện luận phương trình dạng ax+b=0 VDI.1: Giải phương trình sau: 1. 2x -3 =0 2. -7x+5=0 3. VDI.2: Giải và biện luận phương trình sau: (theo m) 1. (2m-1)x+5=0 2. m(x-4)=5x-2 VDI.3: Tìm điều kiện của m để phương trình sau: m(2x+1)=5x-1 a. Có nghiệm duy nhất. b. Vô nghiệm c. Vô số nghiệm 2. Phương trình bậc hai Học sinh nhớ lại cách giải phương trình dạng ax2+bx+c=0 (a≠0) và định lí Viet Giải được phương trình dạng ax2+bx+c=0 (a≠0) Tìm được điều kiện của tham số để phương trình bậc hai: - Có nghiệm - Vô nghiệm. - Nghiệm kép Tìm được điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước. Nêu cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn VDI.4: Giải các phương trình sau: 1. x2+5x-6=0 2. 2x2-5x+2=0 3. x2-4x=0 4. 4x2-9=0 5. x2+2x+3=0 6. 2x2+x+3=0 VDI.5: Cho phương trình: x2+(2m-3)x+m2-2=0 a. Xách định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b. Xách định m để phương trình vô nghiệm. c. Xách định m để phương trình có nghiệm.kép. VDI.6: Cho phương trình: x2+(2m-3)x+m2-2=0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm và x1. x2=8 Tìm hai nghiệm đó. VD4: Cho phương trình: (m-2)x2+(m-4)x+m-11=0 Tìm định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x1=-2x2 .(ĐS: m=3 hoặc m=) II. Phương trình quy về bậc nhất và bậc hai 1. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Học sinh nhớ lại: - Định nghĩa dấu giá trị tuyệt đối của 1 số biểu thức. Học sinh viết được giá trị tuyệt đối của một biểu thức cụ thể Học sinh giải được phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối đơn giản. Học sinh linh hoạt biểu diễn tương đương một số dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng: |f(x)|=|g(x)| |f(x)|=g(x) |f(x)|+|g(x)|=h(x) - Viết |A| =? - Viết |x-3| =? |x-3| =2x+1 VD II.1: Giải phương trình sau: 1. |2x-3| =|x+5| 2. |x2-x-2|=x+1 3. |x+1|+|3-x|=4 2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn - Học sinh nhớ được điều kiện để một biểu thức chứa căn bậc hai có ý nghĩa - Học sinh nắm được dạng cơ bản của phương trình chứa căn bậc hai Học sinh nắm được cách giải phương trình chứa căn thức bậc hai dạng cơ bản Học sinh vận dựng được vào giải phương trình chứa căn bậc hai dạng cơ bản cụ thể Học sinh biết biến đổi linh hoạt đưa một phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai. - có nghĩa khi nào. - Dạng phương trình cơ bản: - Cách khử dấu căn bậc hai trong phương trình: (1) - GV chốt kiến thức: - Tại sao không cần điều kiện: VDII.2: Giải phương trình: a. b. c. d. VDII.3: Giải phương trình: a. b. c. VDII.4: Giải và biện luận theo tham số m: VDII.5: Giải phương trình Chia; đẳng cấp) (ĐS x=1) Một số bài tập dự trữ ở mức độ vận dụng cao Ví dụ 5: (Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn) Giải các phương trình sau: a) b) c) Đặt Đáp số x=2 Ví dụ 6: Giải phương trình sau: Hướng dẫn: Đặt ta được Ví dụ 7: Giải phương trình Hướng dẫn : điều kiện Chia 2 vế của phương trình cho x ta được Đặt t= ta được Ví dụ 8: Giải phương trình Hướng dẫn : Phương trình tương đương Đặt t = giải phương trình theo ẩn t vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 9 ( Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2 nhưng không hoàn toàn ) a) Hướng dẫn: đặt Ta được phương trình : b) Đặt ta được Ví dụ 10: Các bài tập tương tự 1. Giải phương trình: 2. Giải phương trình : 3. Giải phương trình : Đặt 4. Giải phương trình : Đặt 5. Giải phương trình : 6.Giải phương trình : 7. Giải phương trình : Bước 5. Kết thúc chủ đề - Chủ đề đã đạt được các kết quả sau: 1. Củng cố phương trình bậc nhất và bậc hai 2. Học sinh biết biến đổi linh hoạt và giải được các phương trình quy về bậc nhất bậc hai một ẩn - Hướng dẫn về nhà: Học sinh vận dụng kiến thức làm bài tập theo SGK, SBT, tham khảo thêm tài liệu. Bước 6: Rút kinh nghiệm chủ đề. ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................. Tháng 9 năm 2016 BAN GIÁM HIỆU DUYỆT TỔ TRƯỞNG Đỗ Thị Huệ NHÓM TRƯỞNG Đặng Thị Thúy Hồng