N TẬP TOÁN HÌNH HỌC LỚP 8 HKI
BÀI 1 : Cho tam giác ABC cân tại A.Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, AC.
Vẽ điểm M là điểm đối xứng của điểm B qua điểm F và điểm N là điểm đối xứng của điểm E qua điểm D.1] Chứng minh:
a/ Tứ giác BCFD là hình thang cân.
b/ Tứ giác ADEF là hình thoi.
c/ Tứ giác ABCM là hình bình hành.
d/ Tứ giác ANBE là hình chữ nhật.
GIẢI.
a/ Tứ giác BCFD là hình thang cân.
Xét 𝛥ABC, ta có :
DA = DB [gt]
FA = FC [gt]
=> DF là đường trung bình trong 𝛥ABC.
=> DF // BC
=> Tứ giác BCFD là hình thang
Mà : [𝛥ABC cân tại A]
=> hình thang BCFD là hình thang cân.
b / Tứ giác ADEF là hình thoi :
Ta có :
AB = AC [gt]
AD = AB : 2 [gt]
AF = AC : 2 [gt]
=> AD = AF = AC : 2 = AB : 2 [1]
Xét ΔABC, ta có :
DA = DB [gt]
EB = EC [gt]
=> DE là đường trung bình
=> DE = AC : 2 [2]
Cmtt, ta được : EF = BA : 2 [3]
Từ [1], [2] và [3] ta được : AD = AF = DE = EF
Vậy tứ giác ADEF là hình thoi.
c/ Tứ giác ABCM là hình bình hành :
Xét Tứ giác ABCM, ta có :
FB = FM [M là điểm đối xứng của điểm B qua điểm F]
FA = FC [gt]
Mà hai đường chéo BM và AC cắt nhau tại F.
=>Tứ giác ABCM là hình bình hành.
d/ Tứ giác ANBE là hình chữ nhật :
Xét ΔABC cân tại A, ta có :
EB = EC [gt]
=>AE là đường trung tuyến trong tam giác cân cũng là đường cao.
=> AE BC hay
Xét Tứ giác ANBE, ta có :
Xét Tứ giác ABCM, ta có :
DE = DN [N là điểm đối xứng của điểm E qua điểm D]
DA = DB [gt]
Mà hai đường chéo EN và AB cắt nhau tại D.
=>Tứ giác ANBE là hình bình hành.
Mà : [cmt]
Nên : hình bình hành ANBE là hình chữ nhật.
————————————————————————————————
BÀI 2 :
Cho hình thang cân ABCD [AB // CD]. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
a/ Chứng minh: Tứ giác MNPQ làhình bình hành.
b/ Chứng minh: Tứ giác MNPQ làhình thoi.
c/ Nếu AC BD thì tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
Giải
Tứ giác MNPQ làhình bình hành :
Xét ABD, ta có :
MA = MB [gt]
QA = QD [gt]
=> MQ là đường trung bình.
=> MQ // BD và MQ = BD : 2 [1]
Cmtt, ta được :
NP // BD và NP = BD : 2 [2]
NM // AC và NM = AC : 2 [3]
Từ [1] và [2] : MQ // NP và MQ = PP
=> Tứ giác MNPQ làhình bình hành.
b/Tứ giác MNPQ làhình thoi.
ta có :
AC = BD [ hai đường chéo hình thang cân ABCD]
NM = AC : 2 [cmt]
MQ = BD : 2 [cmt]
=> NM = MQ
Xét hình bình hành MNPQ, ta có :
NM = MQ [cmt]
=> hình bình hành MNPQ là hình thoi.
c/Nếu AC BD thì tứ giác MNPQ là hình gì?
Nếu AC BD
NM // AC [cmt]
NP // BD [cmt]
=> NM NP tại N
Hay
Xét hình thoi MNPQ , ta có : [cmt]
=> hình thoi MNPQ là hình vuông.
——————————————————————————————————–
BÀI 3 :
Cho tam giác ABC vuông tại A [AB > AC], đường trung tuyến AO. Trên tia đối của tia OA lấy điểm D sao cho OD = OA.
- Chứng minh : ABDC là hình chữ nhật.
- Từ B kẻ BH vuông góc AD tại H, Từ C kẻ CK vuông góc AD tại K. chứng minh BH = CK và BK // CH.
- Tia BH cắt CD ở M, tia CK cắt AB ở K. chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng.
- Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho BE = AD. Chứng minh
GIẢI.
1. ABDC là hình chữ nhật :
Xét tứ giác ABDC, ta có :
OB = OC [đường trung tuyến AO của 𝛥ABC]
OA = OD [gt]
=> tứ giác ABDC là hình bình hành
Mà : [gt]
=> hình bình hành ABDC là hình chữ nhật
2. BH = CK và BK // CH :
Xét 𝛥HOB và 𝛥OC, ta có :
[gt]
OB = OC [cmt]
[đối đỉnh]
=> 𝛥HOB = 𝛥OC
=> OH = OK [cạnh tương ứng]
Xét tứ giác BHCK, ta có :
OH = OK [cmt]
OB = OC [cmt]
Mà hai đường chéo BC và HK cắt nhau tại O
=> tứ giác BHCK là hình bình hành
=> BH = CK và BK // CH
3. chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng.
Xét tứ giác BMCN, ta có :
BM // CN [cùng vuông góc AD]
BN // CM
=> tứ giác BMCN là hình bình hành
=> hai đường chéo BC và NM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Mà : OB = OC [cmt]
=> OM = ON
Hay N, O, M thẳng hàng.
4. Chứng minh
Ta có :
BC = AD [hai đường chéo của hình chữ nhật ABDC ]
BE = AD [gt]
=> BE = BC
=> tam giác EBC cân tại B
=>
Mà : [so le trong]
=> [1]
Mặt khác : OD = OC [O là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật]
=> tam giác COD cân tại O
=>
Mà : [cùng phụ với góc DAC]
=> [2]
Cộng [1] và [2], ta được :
=>
=> CE là tia phân giác góc ACD
=>
======================================================================
BÀI TẬP RÈN LUYỆN :
BÀI 1 :
Cho tam giác ABC vuông ở C . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , AB . Gọi P là điểm đối xứng của M qua N .
a / Chứng minh :Tứ giác MBPA là hình bình hành.
b / Chứng minh : Tứ giác PACM là hình chữ nhật .
c / CN cắt PB ở Q . Chứng minh BQ = 2 PQ
d / Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì hình chữ nhật PACM là hình vuông .
BÀI 2 :
Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm AB và N là trung điểm CD.
a/ Chứng minh : tứ giác AMND là hình bình hành.
b/ Chứng minh : tứ giác AMCN là hình bình hành.
c/ Chứng minh : AC, BD, MN đồng quy.
d/ Hình bình hành ABCD có điều kiện gì thì tứ giác AMND là hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
BÀI 3 :
Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và BC.
a.Chứng minh tứ giác ADEC là hình thang
b.Trên tia đối của tia DE lấy điểm F sao cho DF = DE.Chứng minh tứ giác AEBF là hình bình hành.
c.Với điều kiện nào của tam giác ABC để AEBF là hình vuông?.
BÀI 4 :
Cho hình thang cân ABCD [AB // CD]. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.Biết AC vuông góc BD
a/ Chứng minh: Tứ giác MNPQ làhình bình hành.
b/ Chứng minh: Tứ giác MNPQ làhình thoi.
c/ Nếu AC vuông góc BD thì tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
BÀI 5 :
Cho DABC vuông tại A, vẽ trung tuyến AM.
- Nếu cho AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài đoạn thẳng AM.
- Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh tứ giác AEMD.
- Gọi F là điểm đối xứng của điểm E qua D. Tứ giác EFBC làhình gì? Chứng minh.
- DABC cần có thêm điều điện gì thì AEMDlà hình vuông?