So sánh logarit cùng cơ số năm 2024
|
Cho hai số dương a, b với \(a\ne1\). Nghiệm duy nhất của phương trình \({a^x} = b\) được gọi là \({\log _a}b\) ( tức là số \(\alpha\) có tính chất là \({a^\alpha } = b\)). Show Quảng cáo Như vậy \({\log _a}b = \alpha \Leftrightarrow {a^\alpha } = b\). Ví dụ: \({\log _4}16 = 2\) vì \({4^2} = 16\). 2. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên Lôgarit cơ số 10 còn được gọi là lôgarit thập phân, số log10b thường được viết là logb hoặc lgb. Lôgarit cơ số \(e\) (\(e= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {1 + \dfrac 1 n} \right)^n}\) ≈ 2,718281828459045) còn được gọi là lôgarit tự nhiên, số logeb thường được viết là lnb. 3. Tính chất của lôgarit Lôgarit có các tính chất rất phong phú, có thể chia ra thành các nhóm sau đây:
Với cơ số tùy ý, ta luôn có loga1 = 0 và logaa= 1.
\(∀a >0 \,(a\ne\) 1), \(∀b> 0\), \({a^{{{\log }_a}b}} = b\) \(∀a >0 \, (a\ne 1)\), \({\log _a}{a^\alpha }= α\)
Với \(\forall a,{b_1},{b_2} > 0,a \ne 1\) ta có: +) \({\log _a}\left( {{b_1}{b_2}} \right) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2}\) +) \({\log _a}\left( {\dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}}} \right) = {\log _a}{b_1} - {\log _a}{b_2}\) +) \(∀a,b >0\, (a\ne 1),\) \(∀α\) ta có: \({\log _a}{b^\alpha } = \alpha. {\log _a}b\) \({\log _a}\root n \of b = \dfrac{1}{n}.{\log _a}b\) Ví dụ: Tính \(A = {\log _2}\dfrac{{15}}{2} - 2{\log _2}\sqrt 3 \). Ta có: \(\begin{array}{l}A = {\log _2}\dfrac{{15}}{2} - 2{\log _2}\sqrt 3 \\\,\,\,\,\, = {\log _2}15 - {\log _2}2 - 2.\dfrac{1}{2}{\log _2}3\\\,\,\,\,\, = {\log _2}\left( {3.5} \right) - 1 - {\log _2}3\\\,\,\,\,\, = {\log _2}3 + {\log _2}5 - 1 - {\log _2}3\\\,\,\,\,\, = {\log _2}5 - 1\end{array}\)
\(∀a,b,c >0 \, (a, c\ne1)\), \({\log _a}b = \dfrac{{{\log }_c}b} {{{\log }_c}a}\). Đặc biệt \(∀a,b >0 \, (a,b \ne1) \, {\log _a}b = \dfrac{1}{{{\log }_b}a}\) \(∀a,b >0 \, (a \ne1), ∀α, β\, (α\ne 0)\) ta có: \({\log _{{a^\alpha }}}b = \dfrac{1}{\alpha }{\log _a}b\) \({\log _{{a^\alpha }}}{b^\beta } = \dfrac{\beta}{ \alpha }{\log _a}b\) \({\log _a}\dfrac{1}{b} = - {\log _a}b\left( {0 < a \ne 1;b > 0} \right)\) \({\log _a}\sqrt[n]{b} = {\log _a}{b^{\frac{1}{n}}} = \dfrac{1}{n}{\log _a}b\) \( \left( {0 < a \ne 1;b > 0;n > 0;n \in {N^*}} \right)\) \({\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c \Leftrightarrow {\log _b}c = \dfrac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}\) \(\left( {0 < a,b \ne 1;c > 0} \right)\) \({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}} \Leftrightarrow {\log _a}b.{\log _b}a = 1\) \(\left( {0 < a,b \ne 1} \right)\) \({\log _{{a^n}}}b = \dfrac{1}{n}{\log _a}b\) \(\left( {0 < a \ne 1;b > 0;n \ne 0} \right)\) Ví dụ: Tính \(B = 3{\log _8}12 - 2{\log _2}3 + 12{\log _{16}}\sqrt[3]{3}\) Ta có: \(\begin{array}{l}B = 3{\log _8}12 - 2{\log _2}3 + 12{\log _{16}}\sqrt[3]{3}\\\,\,\,\,\, = 3{\log _{{2^3}}}12 - 2{\log _2}3 + 12.{\log _{{2^4}}}\sqrt[3]{3}\\\,\,\,\,\, = 3.\dfrac{1}{3}{\log _2}12 - 2{\log _2}3 + 12.\dfrac{1}{4}{\log _2}\sqrt[3]{3}\\\,\,\,\,\, = {\log _2}12 - 2{\log _2}3 + 3{\log _2}\sqrt[3]{3}\\\,\,\,\,\, = {\log _2}12 - {\log _2}{3^2} + {\log _2}{\left( {\sqrt[3]{3}} \right)^3}\\\,\,\,\,\, = {\log _2}12 - {\log _2}9 + {\log _2}3\\\,\,\,\,\, = {\log _2}\dfrac{{12.3}}{9}\\\,\,\,\,\, = {\log _2}4\\\,\,\,\,\, = {\log _2}{2^2}\\\,\,\,\,\, = 2\end{array}\) Hệ quả:
Chú ý: Logarit thập phân \({\log _{10}}b = \log b\left( { = \lg b} \right)\) có đầy đủ tính chất của logarit cơ số \(a\). Bài viết Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa. Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa (cực hay)Bài giảng: Cách giải phương trình mũ - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack) A. Phương pháp giải & Ví dụQuảng cáo 1. Phương trình mũ cơ bản. Phương trình mũ cơ bản có dạng: ax = m (1). Nếu m > 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = logam. Nếu m ≤ 0 thì phương trình (1) vô nghiệm. 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số. Với a > 0 và a ≠ 1 ta có af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x). 3. Phương pháp lôgarit hoá. af(x) = b ⇔ f(x) = logab af(x) = bg(x) ⇔ f(x) = g(x)logab logaf(x) = b ⇔ f(x) = ab Ví dụ minh họaBài 1: Giải phương trình sau Lời giải: Quảng cáo Bài 2: Giải phương trình sau Lời giải: Bài 3: Giải phương trình sau Lời giải:
B. Bài tập vận dụngBài 1: Giải phương trình Lời giải: Bài 2: Giải phương trình Lời giải: Bài 3: Giải phương trình Lời giải: Quảng cáo Bài 4: Giải phương trình Lời giải: 2x+2.5x+2=23x.53x ⇔ (2.5)x+2 = (2.5)3x ⇔ 10x+2 = 103x ⇔ x + 2 = 3x ⇔ x = 1 Bài 5: Giải phương trình Lời giải: Phương trình đã cho tương đương: Bài 6: Giải phương trình Lời giải: Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = ±√5 Bài 7: Giải phương trình Lời giải: Vậy phương trình có nghiệm là x = 9 Bài 8: Giải phương trình Lời giải: Phương trình đã cho tương đương: log22(x2-4) + log252-x = 0 ⇔ x2 - 4 - (x-2)log25 = 0 ⇔ (x-2)(x+2-log25) = 0 Bài 9: Giải phương trình Lời giải: Ta có: Bài 10: Giải phương trình Lời giải: Phương trình đã cho tương đương: Quảng cáo Bài 11: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện x ≠ 2 Phương trình đã cho tương đương Bài 12: Giải phương trình Lời giải: Phương trình đã cho tương đương Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Săn SALE shopee Tết:
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official |
