Tâm đường ngoại tiếp tam giác là gì? Lý thuyết và cách giải các dạng toán về tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác như nào? Cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác? Cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề này qua bài viết dưới đây nhé!
Lý thuyết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Tổng quát về tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
Đường tròn ngoại tiếp của tam giác là đường tròn đi qua các đi qua tất cả các đỉnh của tam giác đó. Tâm của đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó
Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Cách 1:
- Bước 1: Viết phương trình đường trung trực của hai cạnh bất kỳ trong tam giác.
- Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường trung trực này, đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Cách 2:
- Bước 1: Gọi \[I[x;y]\] là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có \[IA=IB=IC=R\]
- Bước 2: Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ phương trình
\[\left\{\begin{matrix} IA^2=IB^2\\ IA^2=IC^2 \end{matrix}\right.\]
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cân tại A nằm trên đường cao AH
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Cho tam giác ABC
Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB. S là diện tích tam giác ABC
Ta có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:
\[R=\frac{a.b.c}{4S}\]
Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh.
- Bước 1: Thay tọa độ mỗi đỉnh vào phương trình với ẩn a,b,c [Bởi các đỉnh thuộc đường tròn ngoại tiếp, nên tọa độ các đỉnh thỏa mãn phương trình đường tròn ngoại tiếp cần tìm]Bước 2: Giải hệ phương trình tìm a,b,c
- Bước 2: Thay giá trị a,b,c tìm được vào phương trình tổng quát ban đầu => phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.
- Bước 3: Do \[A,B,C \epsilon [C]\] nên ta có hệ phương trình: \[\left\{\begin{matrix} x_{A}^{2} + y_{A}^{2} – 2ax_{A} – 2by_{A} + c = 0\\ x_{B}^{2} + y_{B}^{2} – 2ax_{B} – 2by_{B} + c = 0\\ x_{C}^{2} + y_{C}^{2} – 2ax_{C} – 2by_{C} + c = 0 \end{matrix}\right.\]
- => Giải hệ phương trình trên ta tìm được a, b, c.
- Thay a, b, c vừa tìm được vào phương trình [C] ta có phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.
Bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác
Dạng 1: Tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh
VD: Cho tam giác ABC với \[A[1;2], B[-1;0], C[3;2]\]. Tìm tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Cách giải:
Gọi \[I[x;y]\] là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
\[\underset{IA}{\rightarrow} = [1-x;2-y] \Rightarrow IA= \sqrt{[1-x]^2+[2-y]^2}\]
\[\underset{IB}{\rightarrow} = [-1-x;-y] \Rightarrow IB= \sqrt{[1-x]^2+y^2}\]
\[\underset{IC}{\rightarrow} = [3-x;2-y] \Rightarrow IC= \sqrt{[3-x]^2+[2-y]^2}\]
Vì I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có:
\[IA=IB=IC \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} IA^2=IB^2\\ IA^2=IC^2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} [1-x]^2 + [2-y]^2 = [-1-x]^2 +y^2\\ [1-x]^2 + [2-y]^2 = [3-x]^2 + [2-y]^2 \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=1\\ x=2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=-1 \end{matrix}\right.\]
Vậy tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \[I[2;-1]\]
Dạng 2: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
VD: Tam giác ABC có cạnh AB = 3, AC = 7, BC = 8. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Cách giải:
Ta có: \[p=\frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{3 + 7 + 8}{2} = 9\]
Áp dụng công thức Herong:
\[S=\sqrt{p[p-AB][p-AC][p-BC]} = \sqrt{9[9-3][9-7][9-8]} = 6\sqrt{3}\]
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
\[R=\frac{AB.AC.BC}{4S} = \frac{3.7.8}{4.6\sqrt{3}}\]
Dạng 3: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh
VD: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác A, B, C biết A[-1;2] B[6;1] C[-2;5]
Cách giải:
Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng:
\[[C] x^2 + y^2 -2ax -2by +c =0\]
Do A, B, C cùng thuộc đường tròn nên thay tọa độ A, B, C lần lượt vào phương trình đường tròn [C] ta được hệ phương trình:
\[\left\{\begin{matrix} 2a-4b+c=-5\\ 12a+2b-c=37\\ 4a-10b+c=-29 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\ b=5\\ c=9 \end{matrix}\right.\]
Do đó, Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tâm I [3;5] bán kính R = 5 là:
\[x^2+y^2-6x-10y+9=0\] hoặc \[[x-3]^2+[y-5]^2=25\]
Trên đây là những kiến thức liên quan đến chủ đề tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Hy vọng đã cung cấp cho các bạn những thông tin bổ ích phục vụ cho quá trình tìm tòi và nghiên cứu của bản thân về kiến thức tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chúc bạn luôn học tốt!
Xem thêm >>> Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Please follow and like us:
Trong chương trình Toán lớp 9 các em sẽ làm quen với đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác. Kiến thức trong sách khóa khoa đã đầy đủ tuy nhiên chúng tôi sẽ bổ sung và tóm tắt các ý chính của phần này và phương pháp giúp xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác. Mời học sinh cùng theo dõi để hiểu rõ hơn bài học ngày hôm nay.
Bạn đang xem: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cân
Đường tròn nội tiếp tam giác là gì?
Đường tròn nội tiếp tam giác là khái niệm mà nhiều học sinh quan tâm. Đường tròn nội tiếp tam giác xảy ra khi 3 cạnh của tam giác là tiếp tuyến của đường tròn và đường tròn này sẽ nằm trong tam giác đó.Đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?
Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn sẽ đi qua cả 3 đỉnh của một tam giác. Hay nhiều người thường gọi theo cách khác là tam giác nội tiếp đường tròn.Khi làm quen với đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác học sinh sẽ tìm hiểu thêm về khái niệm đường trung trực. Đường trung trực sẽ được định nghĩa như sau: đườn trung trực đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với AB. Mọi điểm I nằm trên trung trực của AB đều sẽ là IA=IB.Xem thêm: Đề Thi Môn Toán Lớp 1 Học Kì 1 Có Đáp Án [Cơ Bản, Bộ Đề Thi Học Kì 1 Môn Toán Lớp 1 Năm 2019
Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác
Muốn xác định tâm đường tròn nội tiếp của tam giác và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác học sinh cần lưu ý phần đã nêu trong lý thuyết:– Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là giao điểm của ba đường phân giác bên trong của tam giác [cũng có thể là giao điểm 2 đường phân giác]– Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là vị trí giao điểm của ba đường trung trực đó là ba cạnh tam giác [cũng có thể là giao điểm 2 đường trung trực].Phương pháp giải bài tập đường tròn nội tiếp tam giác
Bài tập đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác có một số dạng như sau, các em học sinh theo dõi để nắm chắc các dạng toán và từ đó tìm ra phương pháp giải các dạng trên.Dạng 1: Tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác khi đã có thông tin tọa độ ba đỉnh.Ví dụ: Mặt phẳng Oxy có tam giác ABC với A[1;5] B[–4;–5] và C[4;-1]. Đi tìm tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC.Xem thêm: Soạn Sinh Lớp 8 Theo Sgk Sinh Học 8 Và Sbt Sinh Lớp 8 Ngắn Gọn Nhất
Dạng 2: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giácVí dụ: Mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A[2;6], B[-3;-4], C[5;0]. Học sinh xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABCDạng 3: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với thông tin đã cho đó là tọa độ 3 đỉnh.Ví dụ: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, tam giác ABC có A[11; -7], B[23;9], C[-1,2]. Hãy viết phương trình đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.