Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau - bài 78 trang 155 sgk đại số 10 nâng cao
\( g(x) = {{{x^2} + 1} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} + {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \)\(= \sqrt {{x^2} + 1} + {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau LG a \(f(x) = |x + {1 \over x}|\) Phương pháp giải: Áp dụng BĐT Cô - si cho hai số dương \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) Lời giải chi tiết: Vì với mọi x 0; x và \({1 \over x}\) cùng dấu nên: \(f(x) = |x + {1 \over x}| = |x| + {1 \over {|x|}} \) Áp dụng BĐT Cô - si cho hai số dương \(|x|, {1 \over {|x|}}\) ta có: \(|x| + {1 \over {|x|}} \ge 2\sqrt {|x|.{1 \over {|x|}}} = 2\) với mọi x 0 hay \(f(x)\ge 2\)với mọi x 0. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: \(|x| = {1 \over {|x|}} \Leftrightarrow x^2 = 1\) \(\Leftrightarrow x = \pm 1\) Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là 2. LG b \(g(x) = {{{x^2} + 2} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\) Phương pháp giải: Thu gọn g(x) rồi áp dụng BĐT Cô - si. Lời giải chi tiết: Với mọi x R, ta có: \( g(x) = {{{x^2} + 1} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} + {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \) Áp dụng BĐT cho hai số dương \(\sqrt {{x^2} + 1} , {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\) ta có: \(\sqrt {{x^2} + 1} + {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\) \( \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} + 1} .{1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}}=2\) \(g(x) = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} = {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \) \(\Leftrightarrow {x^2} + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\) Vậy giá trị nhỏ nhất của g(x) là 2.
|