Tìm m để hàm số có giá trị cực đại bằng 2

Trang 8HOẶC CỰC TIỂU] TẠI X = X0PHƯƠNG PHÁP GIẢI+ Điều kiện cần: để hàm số y = f[x] đạt cực trị [hoặc cực đại, hoặc cực tiểu] tại x = x 0là f ' [ x 0 ] = 0 . Từ đó tìm được các giá trị của m.+ Điều kiện đủ: Với m tìm được, sử dụng điều kiện đủ để kết luận các giá trị của m.A. MỘT SỐ VÍ DỤVí dụ 1: Xác định các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − 2 x 2 + mx + 1 đạt cựctiểu tại x =1.Lời giảiTa có y ' = 3x 2 − 4 x + m.Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x=1 thì y’[1]=0, suy ra m=1.Với m=1 thì y = x3 − 2 x 2 + x + 1, y ' = 3 x 2 − 4 x + 1, y '' = 6 x − 4Mà y’[1] =0 và y '' [ 1] = 2 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=1Vậy m=1 là giá trị cần tìmB. BÀI TẬP TỰ LUYỆN1 3222Bài 1. Tìm m để hàm số y = x + [ m − m + 2 ] x + [ 3m + 1] x + m − 5 đạt cực trị tại3x = 2.Bài 2. Cho hàm số y = [ x − m ] − 3x + m3 . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có3hoành độ x = 0.Bài 3. Tìm m để hàm số y = mx 3 + 3x 2 + 5x + 2 đạt cực đại tại x = 2.x 2 + mx + 1Bài 4. Xác định m để hàm số y =đạt cực tiểu tại x = 2.x+mnBài 5. Tìm các số thực m, n sao cho hàm số f [ x ] = mx +đạt cực đại tại điểmx +1x = -2 và f[-2] = -2DẠNG 4. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀMSỐTrang 9PHƯƠNG PHÁP GIẢIax 2 + bx + c1. Với hàm số: y = ax + bx + cx + d [ a ≠ 0 ] và y =[ ad ≠ 0 ]dx + e+ Điều kiện để hàm số có cực trị [hoặc có 2 cực trị, hoặc có cực đại và cực tiểu] làphương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt, giả sử là x1, x2.32+ Khi đó các điểm cực trị của hàm số là nghiệm phương trình y' = 0 .S = x1 + x 2Chú ý: Ta thường áp dụng hệ thức Viet để tìm P = x1.x 2[ từ pt y’=0]422. Với hàm số: y = ax + bx + c [ a ≠ 0 ]+ Điều kiện để hàm số có đúng 3 cực trị là phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt+ Khi đó điểm cực trị của hàm số là nghiệm phương trình y' = 0 .A. MỘT SỐ VÍ DỤVí dụ 1. Cho hàm số y = x3 − 3[m + 1] x 2 + 9 x − m , với m là tham số thực.Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1 − x2 ≤ 2 .Lời giải.Ta có y ' = 3x 2 − 6[m + 1] x + 9.+] Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 , x 2⇔ phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt là⇔x1 , x2x 2 − 2[m + 1] x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt làx1 , x 2 . m > −1 + 3⇔ ∆ ' = [m + 1] 2 − 3 > 0 ⇔  m < −1 − 3[1]+] Theo định lý Viet ta có x1 + x 2 = 2[ m + 1]; x1 x 2 = 3.Khi đóx1 − x2 ≤ 2 ⇔ [ x1 + x2 ] − 4 x1 x2 ≤ 4 ⇔ 4 [ m + 1] − 12 ≤ 42⇔ [ m + 1] 2 ≤ 4 ⇔ −3 ≤ m ≤ 12[2]Từ [1] và [2] suy ra giá trị của m là −3 ≤ m < −1 − 3 và −1 + 3 < m ≤ 1.Ví dụ 2: ĐỀ THI THỬ LẦN 1-2011- TRƯỜNG THPT NGUYỄN BỈNH KHIÊMCho hàm số y = x 3 − 3[ m + 1] x 2 + 3[2m + 1] x − 4[1]1]Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số [1] khi m= - 1Trang 102]Tìm m để hàm số [1] có cực đại , cực tiểu và hai điểm cực đại, cực tiểu củađồ thị hàm số đối xứng với nhau qua điểm I [ 0; 4]Lời giải2.Hàm số có CĐ, CT ⇔ pt y ' = 3x 2 − 6[m + 1] x + 6m + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệtx1 = 1,x2 = 2m + 1 với mọi mHai điểm CĐ,CT của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua điểm I [0 ,4] điều kiện cầnlàx1 + x2= 0 ⇔ 2m + 2 = 02⇔ m = −1Điều kiện đủ : m=-1 hàm số khảo sát ở câu a có 2 điểm CĐ [-1 ;-2 ] CT[1;-6] đốixứng qua điểm I [0 ;-4 ]Vậy m =-1 là giá trị cần tìmB. BÀI TẬP TỰ LUYỆN3222Bài 1. Cho hàm số y = x + 2 [ m − 1] x + [ m − 4m + 1] x − 2 [ m + 1] . Tìm m để hàmsố đạt cực trị tại 2 điểm x1 , x 2 sao cho11 1+= [ x1 + x 2 ] .x1 x 2 22 32Bài 2. Cho hàm số y = x + [ cos α − 3sin α ] x − 8 [ 1 + cos 2α ] x + 1 . Chứng minh3rằng hàm số luôn có 2 cực trị. Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1 , x 2 , chứng minh rằng:2x1 + x 2 ≤ 18 .2Bài 3. Cho hàm số y = x 3 + 3mx 2 + 1 . Tìm quỹ tích điểm cực đại của đồ thị hàm sốkhi m thay đổi.32Bài 4. Tìm m để đồ thị hàm số y = x + [ 1 − 2m ] x + [ 2 − m ] x + m + 2 có cực đại,cực tiểu và hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.x 2 + 2x + m 2 + 2Bài 5. Cho hàm số y =. Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cựcx +1đại và cực tiểu với mọi m, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu ở về hai phía đốivới trục hoành.Bài 6. Cho hàm số y =[ m + 1] x 2 − 2mx − [ m3 − m 2 − 2 ] , với m là tham số khác -1.x−mVới giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng [ 0;2 ] .1 3 1 2 3 2Bài 7. Cho hàm số y = x + mx + [ m − 1] x324Trang 11a, Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.22b, Gọi x1, x2 là các điểm cực đại, cực tiểu. Tìm m để x1 + x2 = x1 + x2DẠNG 5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒTHỊ HÀM SỐPHƯƠNG PHÁP GIẢIax 2 + bx + c1. Với hàm số: y = ax + bx + cx + d [ a ≠ 0 ] và y =dx + e32[ ad ≠ 0 ]Trang 12 Điều kiện để hàm số có cực trị [hoặc có 2 cực trị, hoặc có cực đại và cực tiểu]là phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt. Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A [ x1; y1 ] và B [ x 2 ; y 2 ] , trong đó x1; x 2 làcác nghiệm của phương trình y' = 0 .Chú ý: Kĩ năng tính tung độ của các điểm cực trị khi hoành độ các điểm cực trịkhông đẹp [ x1, x2 vô tỷ].32a] Với hàm số: y = ax + bx + cx + d [ a ≠ 0 ]• Thực hiện phép chia đa thức y cho y’ ta đượcy=y’.p[x]+r[x] y1 = r [ x1 ]• Do tại các điểm cực trị thì y’=0 nên  y2 = r [ x2 ]• Hệ quả : đường thẳng đi qua điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số có phươngtrình là:b] Với hàm số: y =y=r[x]ax 2 + bx + cdx + ehay2b bc y =  c − ÷x +  d − ÷33a 9a [ ad ≠ 0 ]Ta có bổ đề sau:Nếu y [ x ] =u [ x]và cóv[ x] y ' [ x0 ] = 0u [ x0 ] u ' [ x0 ]=thì y [ x0 ] =v [ x0 ] v ' [ x0 ]v [ x0 ] ≠ 0Thật vậy:y ' [ x0 ] = 0 ⇔u ' [ x0 ] .v [ x0 ] − u [ x0 ] .v ' [ x0 ]=0v 2 [ x0 ]⇔ u ' [ x0 ] .v [ x0 ] − u [ x0 ] .v ' [ x0 ] = 0 ⇔ u ' [ x0 ] .v [ x0 ] = u [ x0 ] .v ' [ x0 ]⇔u [ x0 ] u ' [ x0 ]u ' [ x0 ]=⇔ y [ x0 ] =v [ x0 ] v ' [ x0 ]v ' [ x0 ]Coi u[x]= ax2 + bx + c và v[x]= dx + eÁp dụng với hàm số trên tại các điểm cực trị A, B thì y ' [ x1 ] = 0 y ' [ x2 ] = 0u ' [ x1 ] 2a.x1 + b= y [ x1 ] =v ' [ x1 ]dnên  y [ x ] = u ' [ x2 ] = 2a.x2 + b2v ' [ x2 ]dTrang 13Vậy phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại và cực tiểu lày=u ' [ x ] 2ab=x+v '[ x ]dd422. Với hàm số: y = ax + bx + c [ a ≠ 0 ]+ Điều kiện để hàm số có đúng 3 cực trị là phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt+ Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là A [ 0;c ] ; B [ x1; y1 ] và C [ x 2 ; y 2 ] , trong đó 0 vàx1; x 2 là các nghiệm của phương trình y' = 0 .+ Chú ý: Ta luôn xác định được cụ thể các điểm cực trị của đồ thị hàm số này.A. MỘT SỐ VÍ DỤVí dụ 1. Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 [1]1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1].2. Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 sao tổng khoảng cách từ M tới haiđiểm cực trị nhỏ nhất.Lời giải.2. Giải phần a ta đã tìm được các điểm cực trịGọi điểm cực đại là A[0;2], điểm cực tiểu B[2;-2]Xét biểu thức P=3x-y-2

Thay tọa độ điểm A[0;2]=>P= - 4P=6>0Vậy 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y=3x-2, đểMA+MB nhỏ nhất => 3 điểm A, M, B thẳng hàngPhương trình đường thẳng AB: y = - 2x+2Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:Ví dụ 24x= y = 3x − 24 25⇔=> M  ; ÷5 5 y = −2 x + 2  y = 25Cho hàm số y = x 4 − 2m 2 x 2 + 1[1][ với m là tham số]Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông cânLời giảiTXĐ D=RTrang 14y = x 4 − 2 m 2 x 2 + 1 ⇒ y ' = 4 x 3 − 4m 2 xx = 0y' = 0 ⇔  x = ±mĐể hàm số có ba cực trị ⇔ m ≠ 022Giả sử ba điểm cực trị là A [ 0;1] , B [ m;1 − m ] , C [ −m;1 − m ]uuuruuur44Ta có AB = [ m; −m ] , AC = [ −m; −m ] và AB = ACDo vậy tam giác ABC vuông cânuuu uuur rm ≠ 0m ≠ 0⇔ AB. AC = 0 ⇔  2⇔ 6⇔ m = ±1− m + m8 = 0  m = 1Vậy với m= ± 1 thì 3 điểm cực trị lập thành tam giác vuông cânVí dụ 3 Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m – 1.Tìm các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Với giá trị nào của mthì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳngd: x + 8y – 74 = 0.Lời giảiTa có y’ = - 3x2 + 6mx ;y’ = 0 ⇔ x = 0 v x = 2m.Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt⇔ m ≠ 0.Hai điểm cực trị là A[0; - 3m - 1] ; B[2m; 4m3 – 3m – 1]Trung điểm I của đoạn thẳng AB là I[m ; 2m3 – 3m – 1]uuurrVectơ AB = [2m;4m3 ] ; Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u = [8; −1] .Hai điểm cực đại, cực tiểu A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng dI ∈ d⇔ AB ⊥ dm + 8[2m3 − 3m − 1] − 74 = 0r⇔  uuu r⇔m=2 AB.u = 0Ví dụ 4. Cho hàm sốy = x3 − 3mx 2 + 3[m 2 − 1] x − m3 + m [1]1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1] ứng với m=1Trang 152. Tìm m để hàm số [1] có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồthị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thịhàm số đến gốc tọa độ O.Lời giải2. Ta cóy , = 3 x 2 − 6mx + 3[m 2 − 1]Để hàm số có cực trị thì PTy , = 0 có 2 nghiệm phân biệt⇔ x 2 − 2mx + m 2 − 1 = 0 có 2 nhiệm phân biệt⇔ ∆ = 1 > 0, ∀mKhi đó y’=0 có hai nghiệm là x1 = m − 1, x2 = m + 1Bảng biến thiênxy’y−∞+m-102-2m−∞−+∞m+10++∞-2-2mGọi điểm cực đại của đồ thị hàm số là A[m-1;2-2m] và điểm cực tiểu của đồ thị hàmsố là B[m+1;-2-2m]Theo giả thiết ta có m = −3 + 2 2OA = 2OB ⇔ m 2 + 6m + 1 = 0 ⇔  m = −3 − 2 2Vậy có 2 giá trị của m là m = −3 − 2 2 vàm = −3 + 2 2 .Ví dụ 5 – ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2009-201032Cho hàm số y = f [ x ] = x − 3x + 3 [ 1 − m ] x + 1 + 3m[ 1]Tìm giá trị của tham số m để hàm số [1] có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi quahai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng x+y=0 một góc cósố đo 300.Lời giải2Ta có y ' = 3x − 6x+3 [ 1-m ]2Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ phương trình 3x − 6x+3 [ 1-m ] = 0 có hai nghiệmphân biệt ⇔ m > 0Thực hiện phép chia đa thức y cho y’ ta được:Trang 16x −1− 2mx + 2m + 23Tại các điểm cực đại, cực tiểu thì y’=0 nên phương trình đường thẳng đi qua điểmcực đại và cực tiểu là y=-2mx+2m+2Đường thẳng đi qua điểm CĐ và điểm CT tạo với đường thẳng x+y=0 một góc 300y = 3 x 2 − 6 x + 3 [ 1 − m ]  .⇔2m + 1= cos300 =4m 2 + 1. 2⇔ 4m 2 − 8m + 1 = 02− 3m =2⇔2+ 3m =232thoả mãn điều kiện2− 3m =2Kết luận: là giá trị cần tìm2+ 3m =2x 2 − [ m + 3] x + 3m + 1Ví dụ 6: Cho hàm số y =x −1Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số đều nằmphía dưới trục hoànhLời giảiTXĐ : D = ¡ \ { 1}x 2 − [ m + 3] x + 3m + 1x 2 − 2 x − 2m + 2y=⇒ y' =2x −1[ x − 1]Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt⇔ x 2 − 2.x − 2m + 2 = 0 [1] có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , ≠ 1 ⇔ m >Giả sử A [ x1; y1 ] ;B [ x 2 ; y 2 ] là các điểm cực trị của đồ thị hàm sốÁp dụng bổ đề trên ta có y1 = 2x1 − [ m + 3] ; y 2 = 2x 2 − [ m + 3]Mà x1 , x2 là các nghiệm của phương trình [1] x1 + x 2 = 2Áp dụng hệ thức Viet với phương trình [1] ta có  x1x 2 = −2m + 2 y1 + y 2 = −2m − 2Do đó 2 y1y 2 = m − 6m + 5 y1 < 0 y + y 2 < 0 −2m − 2 < 0⇔ 1⇔ 2Yêu cầu bài toán ⇔  y 2 < 0  y1y 2 > 0m − 6m + 5 > 012Trang 171Kết hợp điều kiện m > ta được21

2 < m 51< m < 1 hoặc m>5 thỏa mãn đề bài2B. BÀI TẬP TỰ LUYỆNVậyBài 1: Cho hàm số:1, y= x 3 − 3x 2 − mx + 22, y=x3+mx2-1a, Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.b, Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu.− x 2 + mx − m 2Bài 2: Cho hàm số y = f [ x ] =x−ma, Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.b, Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu.Bài 3. Cho y = − x 3 + mx 2 − 4 . Tìm m để các điểm cực trị của đồ thị hàm số và M[1;10] thẳng hàng.Bài 4. Cho y = x 3 − 3x 2 − 6x + 8 , viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trịcủa đồ thị hàm số.1 32Bài 5. Cho hàm số y = x − [ m + 1] x + [ 4m + 1] x − 1 . Tìm m để hàm số có 2 cực3trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số.31Bài 6. Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 − mx 2 + m3 có 2 điểm cực trị đối xứng22nhau qua d: y = x.1 32Bài 7. Chứng minh rằng với mọi m, hàm số y = x − mx − x + m + 1 luôn có cực3đại, cực tiểu. Xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu của đồthị hàm số trên nhỏ nhất.Bài 8. Cho hàm số y = x 3 − 6x 2 + 3mx − m + 2 . Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại tạiA[x1 , y1 ] và cực tiểu tại B [ x 2 , y 2 ] sao choy1 − y 2