Y=f(f(x)) có bao nhiêu điểm cực trị

CỰC TRỊ CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÁCH GIẢI BÀI TẬP CÓ ĐÁP ÁN

@Phương pháp giải: Loại 1: Cực trị hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|.$

Ta có: $y=\left| f\left( x \right) \right|\Rightarrow y'=\frac{f'\left( x \right).f\left( x \right)}{\left| f\left( x \right) \right|}$ do đó

Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ là số nghiệm bội lẻ của phương trình $f'\left( x \right).f\left( x \right)=0.$

Như vậy: Nếu gọimlà số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( x \right)$vànlà số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$và trục hoành thì $m+n$ là số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ (chú ý ta cần bỏ đi các nghiệm bội chẵn).

Bài tập cực đại cực tiểu hàm trị tuyệt đối loại 1 có đáp án

Bài tập 1: [Đề thi THPT QG năm 2017]Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau. Đồ thị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị? A.5.B.3.C.4.D.2.

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành $y=0$ tại 1 điểm nên $m=1.$

Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị nên $n=2\Rightarrow $ Hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$có 3 điểm cực trị.Chọn B.

Bài tập 2:Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới: Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$là: A.3.B.4.C.5.D.6.

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y=f\left( x \right)$có 3 điểm cực trị suy ra $m=3.$

Phương trình $f\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm (tuy nhiên $x=-1$ là nghiệm kép) suy ra $n=2.$

Do đó hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có $m+n=5$ điểm cực trị.Chọn C.

Bài tập 3:Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$là: A.3.B.4.C.5.D.6.

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y=f\left( x \right)$có 3 điểm cực trị suy ra $m=3.$

Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt (tuy nhiên $x=-1$ là nghiệm kép) nên $n=2.$

Do đó hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 5 điểm cực trị.Chọn C.

Bài tập 4:Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right)+2 \right|$là: A.4.B.6.C.3.D.5.

Lời giải chi tiết

Đặt $g\left( x \right)=f\left( x \right)+2\Rightarrow g'\left( x \right)=f'\left( x \right)$

Phương trình $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt nên $m=3.$

Phương trình $g\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=-2$ có 3 nghiệm trong đó có 1 nghiệm kép $n=2.$

Do đó hàm số $y=\left| f\left( x \right)+2 \right|$có 5 điểm cực trị.Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=f\left( x \right)$ thì $y'=\frac{f'\left( x \right)f\left( x \right)}{\left| f\left( x \right) \right|}$

Xét $f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)$

Ta có: $f\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm bội lẻ $x=1,x=3,x=-2.$

Lại có: $f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)\Rightarrow f'\left( x \right)=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)+{{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( 2x-1 \right)$

$={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left[ 3{{x}^{2}}-3x-18+\left( x-1 \right)\left( 2x-1 \right) \right]={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( 5{{x}^{2}}-6x-17 \right)=0\Rightarrow f'\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm bội lẻ. Do đó hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.Chọn B.

Lời giải chi tiết

$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left( x+2 \right)-x\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( x+2 \right)=0$có 4 nghiệm bội lẻ.

Phương trình $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-2x-2=0\Leftrightarrow 2\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)\left( x+1 \right)=0$ có 3 nghiệm bội lẻ.

Do đó hàm số đã cho có $4+3=7$ điểm cực trị.Chọn D.

Lời giải chi tiết

Xét $f\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m$

Phương trình $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+8x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=0\\x=1\\x=2\\\end{matrix} \right.$ có 3 nghiệm bội lẻ.

Để hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị thì phương trình

$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}=-m(*)$ phải có 4 nghiệm phân biệt.

Lập BBT cho hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4x$ ta được:

Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi $0<-m<1.$

Vậy không có giá trị nguyên củamnào thỏa mãn yêu cầu bài toán.Chọn A.

Lời giải chi tiết

Phương trình $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-16x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=0\text{ }\\x=-1\\x=4\text{ }\\\end{matrix} \right.$ có 3 nghiệm bội lẻ.

Để hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+m \right|$ có 7 điểm cực trị thì phương trình

$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}=-m(*)$ có 4 nghiệm phân biệt. Lập BBT cho hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}$ ta được:

Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi $-3<-m<0.$

Vậy có 2 giá trị nguyên củamthỏa mãn yêu cầu bài toán.Chọn B.

Lời giải chi tiết

Đặt $f\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m\xrightarrow{{}}f'\left( x \right)=12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x;\forall x\in \mathbb{R}.$

Phương trình $f'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Để hàm số đã cho có 7 điểm cực trị $\Leftrightarrow f\left( x \right)=0\Leftrightarrow g\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}=m$ có 4 nghiệm phân biệt.

Mà $f'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Rightarrow f\left( x \right)=-m$ có 4 nghiệm phân biệt.

Dựa vào BBT hàm số $f\left( x \right)$, để (*) có 4 nghiệm phân biệt$\Leftrightarrow -5<-m<0\Leftrightarrow m\in \left( 0;5 \right)$.

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ suy ra có tất cả 4 giá trị nguyên cần tìm.Chọn D.

Lời giải chi tiết

Dễ thấy hàm số $g\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m+2$ có $y'=6{{x}^{2}}-6x-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=-1\\x=2\text{ }\\\end{matrix} \right.$

Suy ra hàm số

Để hàm số $f\left( x \right)=\left| 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m+2 \right|$ có 5 điểm cực trị thì phương trình

$2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+m+2\Leftrightarrow h\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-12x+2=-m$ có 3 nghiệm phân biệt

Dễ thấy $\left\{ \begin{matrix}h\left( -1 \right)=9\text{ }\\h\left( 2 \right)=-18\\\end{matrix} \right.\Rightarrow h\left( x \right)=-m$ có 3 nghiệm phân biệt khi $-18<-mm>-9$

Vậy có 8 giá trị nguyên cần tìm.Chọn C.

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $f\left( x \right)=\left| 2{{x}^{4}}-4\left( m+8 \right){{x}^{2}}+m-1 \right|$

TH1:Hàm số $y=f\left( x \right)$ có một điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm nên hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ không thể có 5 điểm cực trị.

TH2:Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị khi $ab<0\Leftrightarrow 2.\left[ -4\left( m+8 \right) \right]-8.$

Để hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. Vì hàm số $y=f\left( x \right)$ có $a=2>0$ nên có BTT như hình vẽ.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành (đường thẳng $y=0$) tại 2 điểm phân biệt khi $0\ge m-1\Leftrightarrow m\le 1.$

(Trong trường dấu bằng xảy ra $m=1\Rightarrow $ phương trình có 2 nghiệm đơn và một nghiệm kép $x=0$ nên chỉ có điểm cực trị).

Vậy $-8Chọn A.

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{4}}-2\left( m+4 \right){{x}^{2}}+4$

TH1:Hàm số $y=f\left( x \right)$ có một điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm nên hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ không thể có 7 điểm cực trị.

TH2:Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị khi $ab<0\Leftrightarrow 1.\left[ -2\left( m+4 \right) \right]-4.$

Để hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 7 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Ta có: $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-4\left( m+4 \right)x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=0\text{}\\{{x}^{2}}=m+4=x_{0}^{2}\\\end{matrix} \right..$

Hàm số có BTT như hình vẽ:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành (đường thẳng $y=0$) tại 4 điểm phân biệt khi

$\begin{array}{} f\left( \pm {{x}_{0}} \right)=f\left( \sqrt{m+4} \right)<0 \\{} \Leftrightarrow {{\left( m+4 \right)}^{2}}-2{{\left( m+4 \right)}^{2}}+99\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}m>-1\\m-1.$ Kết hợp $\left\{ \begin{matrix} m\in \mathbb{Z}\text{ } \\ m\in \left[ -10;10 \right] \\\end{matrix} \right.\Rightarrow m=\left\{ 0;1;...10 \right\}\Rightarrow $ có 11 giá trị của m. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+8$

TH1:Hàm số $y=f\left( x \right)$ có một điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm nên hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ không thể có 7 điểm cực trị.

TH2:Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị khi $ab<0\Leftrightarrow 1.\left[ -2\left( m+1 \right) \right]-1.$

Để hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 7 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Ta có: $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=0\text{}\\{{x}^{2}}=m+1=x_{0}^{2}\\\end{matrix} \right..$

Hàm số có BTT như hình vẽ:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành (đường thẳng $y=0$) tại 4 điểm phân biệt khi

$\begin{array}{} f\left( \pm {{x}_{0}} \right)=f\left( \sqrt{m+1} \right)<0 \\{} \Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-2{{\left( m+1 \right)}^{2}}+88\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}m>-1+2\sqrt{2}\\m-1-2\sqrt{2}.$ Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}m\in \mathbb{Z}\text{}\\m\in \left[ -20;20 \right]\\\end{matrix} \right.\Rightarrow m=\left\{ 2;3;...10 \right\}\Rightarrow $có 9 giá trị củam.Chọn A.

Phương pháp giải:Loại 2: Cực trị hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right).$

Ta có: $y=f\left( \left| x \right| \right)\Rightarrow y'=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left( \left| x \right| \right)$từ đó ta có nhận xét sau:

- Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=0.$

- Số điểm cực trị dương của hàm số$y=f\left( x \right)$làmthì số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ là $2m+1$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $f'\left( x \right)=30{{x}^{4}}-60{{x}^{3}}-30{{x}^{2}}+60x=0$

$\Leftrightarrow x\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x-2 \right)=x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)$

Lại có: $y=f\left( \left| x \right| \right)\Rightarrow y'=\frac{x}{\left| x \right|}.\left| x \right|\left( \left| x \right|-1 \right)\left( \left| x \right|+1 \right)\left( \left| x \right|-2 \right)$đổi dấu qua 5 điểm $x=0;x=\pm 1;x=\pm 2$ nên hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$có 5 điểm cực trị.Chọn B.

Bài tập 2:Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$là: A.2.B.3.C.4.D.5.

Lời giải chi tiết

Hàm số $y=f\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị có hoành độ dương là $\left( 2;-1 \right)$ và $\left( 5;0 \right)$

Do đó hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có $2.2+1=5$ điểm cực trị.Chọn D.

Bài tập 3:Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( \left| x \right|+1 \right)$là A.4.B.6.C.5.D.3.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=\left( \left| x \right|+1 \right)'.f'\left( \left| x \right|+1 \right)=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=0\text{}\\f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0\\\end{matrix} \right.(*)$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=-1\\x=0\text{}\\x=2\text{}\\\end{matrix} \right.$

Suy ra $f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}\left| x \right|+1=-1\\\left| x \right|+1=0\text{}\\\left| x \right|+1=2\text{}\\\end{matrix} \right.$hệ có 2 nghiệm.

Do đó (*) có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số có 3 điểm cực trị.Chọn D.

Ví dụ 4:Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m>-20$ để hàm số$y=f\left( \left| x \right|+m \right)$ có 5 điểm cực trị A.15. B.19. C.16. D.18.

Lời giải

Ta có: $y'=\left( \left| x \right|+m \right)'.f'\left( \left| x \right|+m \right)=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left( \left| x \right|+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=0\text{}\\f'\left( \left| x \right|+m \right)=0\\\end{matrix} \right.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=-3\\x=-1\\\end{matrix} \right.$

Do đó $f'\left( \left| x \right|+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}\left| x \right|+m=-3\\\left| x \right|+m=-1\\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}\left| x \right|=-3-m\\\left| x \right|=-1-m\\\end{matrix} \right.$(*)

Hàm số có 5 điểm cực trị khi (*) có 4 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}-3-m>0\\-1-m>0\\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m-20\\\end{matrix} \right.\Rightarrow $có 18 giá trị nguyên củam.Chọn D.

Ví dụ 5:Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để hàm số$y=f\left( \left| x \right|+m \right)$ có 7 điểm cực trị A.8. B.9. C.12. D.13.

Lời giải

Ta có: $y'=\left( \left| x \right|+m \right)'.f'\left( \left| x \right|+m \right)=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left( \left| x \right|+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=0\text{}\\f'\left( \left| x \right|+m \right)=0\\\end{matrix} \right.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=-2\\\begin{array}{} x=-2 \\{} x=5\text{} \\ \end{array}\\\end{matrix} \right.$

Do đó $f'\left( \left| x \right|+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}\left| x \right|+m=-2\\\begin{array}{} \left| x \right|+m=2\text{} \\{} \left| x \right|+m=5 \\ \end{array}\\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}\left| x \right|=-2-m\\\begin{array}{} \left| x \right|=2-m\text{} \\{} \left| x \right|=5-m \\ \end{array}\\\end{matrix} \right.(*)$

Hàm số có 7 điểm cực trị khi (*) có 6 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}-2-m>0\\\begin{array}{} 2-m>0\text{} \\{} 5-m>0 \\ \end{array}\\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m<-2.$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}m\in \mathbb{Z}\text{}\\m\in \left[ -10;10 \right]\\\end{matrix} \right.\Rightarrow $có 8 giá trị nguyên củam.Chọn A.

Lời giải

Để hàm số $f\left( \left| x \right| \right)$ có 5 điểm cực trị thì hàm số $y=f\left( x \right)$phải có 2 điểm cực trị có hoành độ dương.

Ta có: $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6\left( m-1 \right)x+6m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2m\text{ }(*)$

Giả thiết bài toán $\Leftrightarrow \left( * \right)$có 2 nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}-2m>0\\S=2\left( m-1 \right)>0\text{}\\P=2m>0\text{}\\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>2+\sqrt{3}.$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}m\in \mathbb{Z}\text{}\\m\in \left[ -100;100 \right]\\\end{matrix} \right.\Rightarrow $có97giá trị nguyên củam.ChọnC.

Lời giải

Để hàm số $f\left( \left| x \right| \right)$ cóđúng 3điểm cực trị thì hàm số $y=f\left( x \right)$phải cóđúng 1điểm cực trị có hoành độ dương.

Ta có: $f'\left( x \right)=6{{x}^{2}}-6\left( m+1 \right)x+6\left( {{m}^{2}}-9 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}-9=0\text{ }(*)$

Giả thiết bài toánthỏa mãn khi (*) có 2 nghiệm trái dấu hoặc (*) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương.TH1:(*) có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-9<0\Leftrightarrow -3

TH2:(*) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{m}^{2}}-9=0\\m+1>0\text{}\\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=3.$

Kết hợphai trường hợp này và điều kiện $\left\{ \begin{matrix}m\in \mathbb{Z}\text{}\\m\in \left[ -100;100 \right]\\\end{matrix} \right.\Rightarrow $có6giá trị nguyên củatham sốmthỏa mãn yêu cầu bài toán.ChọnA.

Lời giải

Để hàm số $f\left( \left| x \right| \right)$ có7điểm cực trị thì hàm số $y=f\left( x \right)$ có3điểm cực trị có hoành độ dương.

$\Leftrightarrow f'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt.

Ta có: $f'\left( x \right)={{x}^{3}}-\left( m+3 \right){{x}^{2}}+2x+4m=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+m\left( 4-{{x}^{2}} \right)=0$

$\Leftrightarrow x\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)-m\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=2\text{}\\g\left( x \right)={{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x-2m=0\\\end{matrix} \right.$

Giả thiết bài toánthỏa mãn $\Leftrightarrow g\left( x \right)$có 2 nghiệm dương phân biệt khác 2

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\Delta >0\text{}\\S=m+1>0\text{}\\\begin{array}{} P=2m>0 \\{} g\left( 2 \right)\ne 0\text{} \\ \end{array}\\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{m}^{2}}+10m+1>0\\m>0\text{}\\2\ne 0\text{}\\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>0.$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}m\in \mathbb{Z}\text{}\\m\in \left[ -100;100 \right]\\\end{matrix} \right.\Rightarrow $có100giá trị nguyên củam.ChọnA.

Ví dụ9:Cho hàm số $y=f\left( x \right)$xác định trên$\mathbb{R}$và có đồ thị hình vẽ dưới. Số điểm cực trị của hàm số$f\left( \left| x \right|+1 \right)$là: A.4.B.6.C.5.D.3.

Lời giải

Ta có: $y'=\left( \left| x \right|+1 \right)'.f'\left( \left| x \right|+1 \right)=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=0\text{}\\f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0\\\end{matrix} \right.(*)$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x={{x}_{1}}\in \left( -1;0 \right)\\\begin{array}{} x={{x}_{2}}\in \left( 0;1 \right)\text{} \\{} x={{x}_{3}}\in \left( 1;2 \right) \\{} x=2\text{} \\ \end{array}\\\end{matrix} \right.$

Suy ra$f'\left( \left| x \right|+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}\left| x \right|+1={{x}_{1}}\in \left( -1;0 \right)\\\begin{array}{} \left| x \right|+1={{x}_{2}}\in \left( 0;1 \right)\text{} \\{} \left| x \right|+1={{x}_{3}}\in \left( 1;2 \right) \\{} \left| x \right|+1=2 \\ \end{array}\\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}\left| x \right|+1={{x}_{3}}\in \left( 1;2 \right)\\\left| x \right|+1=2\text{}\\\end{matrix} \right.\Rightarrow $hệ có 4 nghiệm.

Do đó(*) có5nghiệm phân biệtnên hàm sốcó5điểm cực trị.ChọnC.