- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Cho a và b là các số dương. Đơn giản các biểu thức sau:
LG a
\[ \dfrac{a^{\dfrac{4}{3}}\Big[ a^{\dfrac{-1}{3}} + a^{\dfrac{2}{3}} \Big]} {a^{\dfrac{1}4}{\Big[ a^{\dfrac{3}{4}} + a^{\dfrac{-1}{4}} \Big]}}\]
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức về tính chất của lũy thừa.
Lời giải chi tiết:
Với a và b là các số dương ta có:
\[ \dfrac{a^{\dfrac{4}{3}}\Big[ a^{\dfrac{-1}{3}} + a^{\dfrac{2}{3}} \Big]} {a^{\dfrac{1}{4}}\Big[ a^{\dfrac{3}{4}} + a^{\dfrac{-1}{4}} \Big]}\]
\[= \dfrac{a^{\dfrac{4}{3}}. a^{\dfrac{-1}{3}} + a^{\dfrac{2}{3}}.a^{\dfrac{4}{3}} } {a^{\dfrac{1}{4}}. a^{\dfrac{3}{4}} + a^{\dfrac{1}{4}}. a^{\dfrac{-1}{4}}}\]
\[= \dfrac{a^1 + a^2}{a^1 + a^0} = \dfrac{a\Big[ a + 1\Big]}{a + 1} =a \]
LG b
\[ \dfrac{ a^{\dfrac{1}{3}}\sqrt{b} + b^{\dfrac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} \]
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức về tính chất của lũy thừa.
Lời giải chi tiết:
\[ \dfrac{ a^{\dfrac{1}{3}}\sqrt{b} + b^{\dfrac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} \]
\[= \dfrac{a^{\dfrac{1}{3}}b^{\dfrac{1}{2}} + b^{\dfrac{1}{3}}a^{\dfrac{1}{2}}}{ a^{\dfrac{1}{6}} + b^{\dfrac{1}{6}}}\]
\[= \dfrac{a^{\dfrac{1}{3}}b^{\dfrac{1}{3}}\Big[b^{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}}+ a^{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}} \Big]}{a^{\dfrac{1}{6}} + b^{\dfrac{1}{6}}}\]
\[= \dfrac{a^{\dfrac{1}{3}}b^{\dfrac{1}{3}}\Big[b^{\dfrac{1}{6}} +a^{ \dfrac{1}{6}} \Big]}{a^{\dfrac{1}{6}} + b^{\dfrac{1}{6}}}\]
\[ = {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} = {\left[ {ab} \right]^{\frac{1}{3}}}\] \[=\sqrt[3]{ab} \]
LG c
\[ \Big[ \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} \Big][ a^{\dfrac{2}{3}} + b^{\dfrac{2}{3} }- \sqrt[3]{ab} \Big] \]
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \[\left[ {A + B} \right]\left[ {{A^2} - AB + {B^2}} \right] = {A^3} + {B^3}\]
Lời giải chi tiết:
\[\Big[ \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} \Big][ a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3} }- \sqrt[3]{ab} \Big] \]
\[\begin{array}{l}
= \left[ {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right]\left[ {{a^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{{ab}} + {b^{\frac{2}{3}}}} \right]\\
= \left[ {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right]\left[ {{a^{\frac{2}{3}}} - {{\left[ {ab} \right]}^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{2}{3}}}} \right]
\end{array}\]
\[= \Big[ a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\Big] \Big[ a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}. b^{\frac{1}{3}}+ b^{\frac{2}{3}}\Big]\]
\[ = \left[ {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right]\left[ {{{\left[ {{a^{\frac{1}{3}}}} \right]}^2} - {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} + {{\left[ {{b^{\frac{1}{3}}}} \right]}^2}} \right]\]
\[= {\Big[ a^{\frac{1}{3}} \Big] }^{3} + {\Big[ b^{\frac{1}{3}} \Big] }^{3}\]
\[= a + b\]
LG d
\[\Big[ a^{\dfrac{1}{3}} + b^{\dfrac{1}{3}} \Big] : \Big[ 2 + \sqrt[3]{\dfrac{a}{b}} + \sqrt[3]{\dfrac{b}{a}}\Big].\]
Phương pháp giải:
Quy đồng mẫu thức tổng trong ngoặc và rút gọn biểu thức.
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
= \left[ {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right]:\left[ {2 + \frac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}} + \frac{{\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[3]{a}}}} \right]\\
= \left[ {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right]:\frac{{2\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} + {{\left[ {\sqrt[3]{a}} \right]}^2} + {{\left[ {\sqrt[3]{b}} \right]}^2}}}{{\sqrt[3]{{ab}}}}\\
= \left[ {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right]:\frac{{{{\left[ {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right]}^2}}}{{\sqrt[3]{{ab}}}}\\
= \left[ {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right].\frac{{\sqrt[3]{{ab}}}}{{{{\left[ {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right]}^2}}}\\
= \frac{{\sqrt[3]{{ab}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}
\end{array}\]