Bài 4.50 trang 173 sbt đại số và giải tích 11

LG a

Chứng minh rằng \({u_n} > 0\)với mọin.

Phương pháp giải:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải chi tiết:

Chứng minh bằng quy nạp: \({u_n} > 0\) với mọin. (1)

- Với n = 1 ta có \({u_1} = 1 > 0\)

- Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\)nghĩa là \({u_k} > 0\)ta cần chứng minh (1) đúng vớin = k + 1

Ta có \({u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}}\).Vì \({u_k} > 0\)nên \({u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}} > 0\)

-Kết luận:\({u_n} > 0\)với mọin.

LG b

Biết \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Phương pháp giải:

Đặt \(\lim u_n =a\) rồi thay vào công thức truy hồi tìm \(a\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt

\(\eqalign{
& \lim {u_n} = a \cr
& {u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}} \cr
& \Rightarrow \lim {u_{n + 1}} = \lim {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}} \cr
& \Rightarrow a = {{2a + 3} \over {a + 2}} \Rightarrow a = \pm \sqrt 3 \cr}\)

Vì \({u_n} > 0\)với mọin, nên \(\lim {u_n} = a \ge 0\). Từ đó suy ra \(\lim {u_n} = \sqrt 3 \).