Bài tập phương trình bất phương trình mũ

GIỚI THIỆU BÀI HỌC

NỘI DUNG BÀI HỌC

1. Lý Thuyết Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới

1. \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c>0\) Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(at^2+bt+c>0\)
2. \(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c>0\) trong đó m.n = 1 Đặt \(t=m^{f(x)}\), ta có \(a.t+b.\frac{1}{t}+c>0\) \(\Leftrightarrow at^2+ct+b>0\)
3. \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{g(x)}>0\) Chia cả 2 vế cho \(n^{2g(x)}\), ta có: \(a.\left [ \frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right ]^2+b.\frac{m{f(x)}}{n^{g(x)}} +c>0\) Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\), ta có \(at^2+bt+c>0\) Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó: + Đưa về bất phương trình tích + Xem ẩn ban đầu như là tham số Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn + Đưa về bất phương trình tích + Xem 1 ẩn là tham số II. Bài tập VD1: Giải bất phương trình \(9^x-3^x-2>0\) Giải Đặt \(t=3^x, t>0\) Bất phương trình trở thành \(t^2-t-2>0\) \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t<-1 \ (loai)\\ t>2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\) Với t > 2 thì \(3^x>2\Leftrightarrow x>log_32\) Vậy tập nghiệm là \((log_32;+\infty )\) VD2: Giải bất phương trình \(3.16^x+2.81^x>5.36^x\) Giải \(bpt\Leftrightarrow 3.16^x-5.36^x+2.81^x>0\) Chia 2 vế cho 81x, ta có: \(3.\left ( \frac{16}{81} \right )^x-5.\left ( \frac{4}{9} \right )^x+2>0\) Đặt \(t=\left ( \frac{4}{9} \right )^x, t>0\) Ta có \(3t^2-5t+2>0\) \(\Leftrightarrow \bigg\lbrack\begin{matrix} t<\frac{2}{3}\\ t>1 \end{matrix}\) \(\Leftrightarrow \Bigg\lbrack\begin{matrix} \left ( \frac{4}{9} \right )^x<\frac{2}{3}\\ \\ \left ( \frac{4}{9} \right )^x>1 \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg\lbrack\begin{matrix} x>log_\frac{4}{9}\frac{2}{3}=\frac{1}{2}\\ \\ x<0 \end{matrix}\) Vậy tập nghiệm là \((-\infty ;0)\cup (\frac{1}{2};+\infty )\) VD3: Giải bất phương trình \((2+\sqrt{3})^x+(2-\sqrt{3})^x> 14\) Giải

Đặt \(t=(2+\sqrt{3})^{x, t>0\) ta có \((2-\sqrt{3})^x=\frac{1}{t}\) BPT\(\Leftrightarrow t+\frac{1}{t}>14\) \(\Rightarrow t^2+1>14t\) \(\Rightarrow t^2-14t+1>0\) \(\Rightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t<7-4\sqrt{3}\\ t>7+4\sqrt{3}\\ \end{matrix}\) \(\Rightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} (2+\sqrt{3})^x<7-4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})}{-2}\\ (2+\sqrt{3})^{x<7+4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})}{-2} \end{matrix}\) Vậy tập nghiệm là \((-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )\) VD4: Giải bất phương trình \(3.25^{x-2}+(3x-10).5^{x-2}+3-x>0\) Giải Đặt \(t=5^{x-2}, t>0\) Ta có \(3t^2+(3x-10)t+3-x>0\) \(\Delta =(3x-10)^{2-12(3-x)\) \(=9x^2-48x+64=(3x-8)^2\) \(3t^2+(3x-10)t+3-x=0\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} t=\frac{-(3x-10)+3x-8}{6}\\ \\ t=\frac{-(3x-10)-(3x-8)}{6} \end{matrix}\) \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=\frac{1}{3} \ \ \ \ \ \ \ \\ t=-x+3 \end{matrix}\) \(Bpt\Leftrightarrow 3(t-\frac{1}{3})(t+x-3)>0\) \(\Leftrightarrow (3t-1)(t+x-3)>0\) TH1: \(\left\{\begin{matrix} 3t-1>0\\ t+x-3>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t>\frac{1}{3}\\ t>3-x \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5}{x-2} > \frac{1}{3} \ \ (1) \\ 5^{x-2} >3-x \ \ (2) \end{matrix}\right.\) \((2)\Leftrightarrow 5^{x-2}+x>3\) \(x>2 \ \ \left.\begin{matrix} 5^{x-2}>1\\ x>2 \end{matrix}\right\}VT>VP\) \(x\leqslant 2 \ \ \ VT\leqslant VP\) Tập nghiệm (2) là (\((2;+\infty )\) thỏa mãn (1) Vậy x > 2 TH2: \(\left\{\begin{matrix} 3t-1<0\\ t+x-3<0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t<\frac{1}{3}\\ t<3-x \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5^{x-2} < \frac{1}{3} \ \ (3) \\ 5^{x-2}+x <3 \ \ (4) \end{matrix}\right.\) (4) \(x\geq 2 \ \ \ 5^{x-2}\geqslant 1\Rightarrow VT\geqslant 3\)

+ x < 2 ta có \(5^{x-2}+x<3\) (thỏa mãn) (3) \(x-2< log_5{\frac{1}{3}}\Leftrightarrow x<2+log_5\frac{1}{3}\) Vậy \(x<2+log_5\frac{1}{3}\) Kết luận \(\bigg \lbrack\begin{matrix} x>2\\ x<2+log_5\frac{1}{3} \end{matrix}\)

VD5: Giải bất phương trình \(8.3^x+3.2^x>24+6^x\) Giải Đặt \(a=3^x, b=2^x\) ta có \(8.4+3.b>24+ab\) \(\Leftrightarrow 8(a-3)-b(a-3)>0\) \(\Leftrightarrow (a-3)-(8-b)>0\) TH1:

\(\left\{\begin{matrix} a-3>0\\ 8-b>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a>3\\ b<8 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3^x>3\\ 2^x<8 \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>1\\ x<3 \end{matrix}\right.\) Vậy 1 < x < 3 TH2: \(\left\{\begin{matrix} a-3<0\\ 8-b<0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} a<3\\ b>8 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3^x<3\\ 2^x>8 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x<1\\ x>3 \end{matrix}\right. \ \ VN\) Vậy tập nghiệm là (1;3)

NỘI DUNG KHÓA HỌC