Các bài toán chứng minh ma trận nghịch đảo năm 2024
Chứng minh bạn đọc xem tại đây: askmath/cau-hoi/Cho-ma-tran-va-la-ma-tran-phu-hop-cua- Chung-minh-rang-a-b-/57eb1653-e4e6-47fe-b3e6-d34a7fe5b Định nghĩa ma trận nghịch đảo
hợp này ta gọi là ma trận khả nghịch hay ma trận không suy biến. Ngược lại nếu định thức của bằng 0 thì ta gọi là ma trận suy biến. Bài toán tìm phần tử thuộc dòng i và cột j của ma trận nghịch đảo
A 11 = ∣∣∣0 45 −∣∣∣ = −20, A 12 = − ∣∣∣−1 42 −∣∣∣ = 7, A 13 = ∣∣∣−1 02 5∣∣∣ = −A 21 = − ∣∣∣2 35 −∣∣∣ = 17, A 22 = ∣∣∣1 32 −∣∣∣ = −7, A 23 = − ∣∣∣1 22 5∣∣∣ = −A 31 = ∣∣∣2 30 4∣∣∣ = 8,A 32 = − ∣∣∣1 3−1 4∣∣∣ = −7,A 33 = ∣∣∣1 2−1 0∣∣∣ = 2A∗ =⎛⎜⎝−20 17 87 −7 −−5 −1 2⎞⎟⎠.A = (aij)n×n Aij aij. ai 1 Ak 1 + ai 2 Ak 2 +... +ainAkn = { det(A), i = k 0, i ≠ k ;a 1 jA 1 q + a 2 jA 2 q+... +anjAnq = { det(A), j = q 0, j ≠ q .A = (aij)n×n A∗ A, AA∗ = A∗A = det(A)E. det(A∗) = (det(A))n−1. det(A) = 0 A∗ AX = O. A. X A AAX = XA = E, A−1. AA−1 = A−1A = E.A A A−1 = 1 A∗.det(A) A A A A−1 a∗ ij = Aji. 1det(A) 1det(A) (kA)− 1 (kA)ji = kn−1Aji = Aji. det(kA) 1kn det(A) 1k det(A) (A′)−1 A′ji = A′ji. 1det(A′) 1det(A) (kA′)− 1 (kA′)ji = kn−1A′ji = A′ji. det(kA′) 1kn det(A) 1k det(A) Nếu có tất cả các phần tử là số nguyên. Ngược lai nếu có tất cả các phần tử là số nguyên thì Vậy ta có điều phải chứng minh. Tìm ma trận nghịch đảo bằng công thức liên quan đến định thức và ma trận phụ hợp Ví dụ 1: Cho ma trận Tìm điều kiện của để ma trận có ma trận nghịch đảo. Khi đó tìm ma trận Giải. Ta có Vậy có ma trận nghịch đảo Khi đó Ví dụ 2: Cho ma trận Tìm ma trận nghịch đảo của bằng công thức Giải. Ta có Vậy Ví dụ 3: Cho ma trận
Giải. Ta có khả nghịch khi và chỉ khi Ta có Phương trình det(A) = ±1 ⇒ A−1 = A∗ = ±A∗ 1det(A) A−1 det(A−1) = 1 ∈ Z ⇔ det(A) = ±1. det(A) A−1 = 1 A∗.det(A) A = ( a b c d ). a, b, c, d A A−1. det(A) = ad − bc. A ⇔ det(A) ≠ 0 ⇔ ad − bc ≠ 0. A−1 = A∗ = ( d −c −b a 1 ).det(A) 1ad − bc A =⎛⎜⎝1 2 3−1 0 42 5 −⎞⎟⎠. A−1 AA−1 =. A∗.1det (A) det(A) = −21. A 11 = ∣∣ ∣ 0 45 −∣∣∣ = −20,A 12 = − ∣∣∣−1 42 −∣∣∣ = 7,A 13 = ∣∣∣−1 02 5∣∣∣ = −A 21 = − ∣∣∣2 35 −∣∣∣ = 17,A 22 = ∣∣∣1 32 −∣∣∣ = −7,A 23 = − ∣∣∣1 22 5∣∣∣ = −A 31 = ∣∣∣2 30 4∣∣∣ = 8,A 32 = − ∣∣∣1 3−1 4∣∣∣ = −7,A 33 = ∣∣∣1 2−1 0∣∣∣ = 2A−1 =. A∗ = −⎛⎜⎝−20 17 87 −7 −−5 −1 2⎞⎟⎠1.det(A) 121A =⎛⎜⎝2 −1 31 a 3 3 0 2 ⎞⎟⎠.a A a = −2, (A − 3E)−1 AX = 3X + B B = ( 3 4 −1 )′. A det (A) = −5a − 7 ≠ 0 ⇔ a ≠ −. 75B = ( 3 4 −1 )′ =⎛⎜⎝34−⎞⎟⎠. AX = 3X + B ⇔ (A − 3E) X = B ⇔ X = (A − 3E)−1BKhi Ta có Ví dụ 4: Cho ma trận Tính định thức của ma trận và tìm điều kiện để khả nghịch. Khi đó hãy tìm ma trận nghịch đảo Giải. Khai triển theo cột 1 ta có Ma trận khả nghịch khi Áp dụng công thức Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp Ví dụ 1: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp Biến đổi sơ cấp ma trận (A|E) a = −2 ⇒ D = A − 3E = ⎛⎜⎝−1 −1 31 −5 33 0 −⎞⎟⎠⇒ det (D) = 30 D 11 = ∣∣∣−5 30 −∣∣∣ = 5,D 12 = − ∣∣∣1 33 −∣∣∣ = 10,D 13 = ∣∣∣1 −3 0∣∣∣ = 15;D 21 = − ∣∣∣−1 30 −∣∣∣ = −1,D 22 = ∣∣∣−1 33 −∣∣∣ = −8,D 23 = − ∣∣∣−1 −3 0∣∣∣ = −3;D 31 = ∣∣∣−1 3−5 3∣∣∣ = 12,D 32 = − ∣∣∣−1 31 3∣∣∣ = 6,D 33 = ∣∣∣−1 −1 −∣∣∣ = 6⇒ D−1 = D∗ =⎛⎜⎝5 −1 1210 −8 615 −3 6⎞⎟⎠1det (D) 130⇒ X = D−1B = ∗⎛⎜⎝5 −1 1210 −8 615 −3 6⎞⎟⎠∗⎛⎜⎝34−⎞⎟⎠\=⎛⎜⎝−−27⎞⎟⎠.130130A =⎛⎜⎝a b 0 c 0 b 0 c a ⎞⎟⎠. A AA−1.det (A) = a ∣∣∣0 b c a ∣∣∣ −c ∣∣∣b 0 c a ∣∣∣ = −abc − abc = −2abc. A det (A) ≠ 0 ⇔ abc ≠ 0. A−1 = A∗ =⎛⎜ ⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎝−−−⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎠1.det (A) 12 a 12 c b 2 ac 1 2 b a 2 bc 12 c c 2 ab 12 b 12 a (A|E) → (E|A−1). A =⎛⎜⎝4 2 22 2 22 2 6⎞⎟⎠(A|E) → (E|A−1).Vậy +) Phương trình ma trận: Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải hệ phương trìnhGiả sử ma trận khả nghịch (không suy biến) khi đó tồn tại ma trận nghịch đảo , ngoài các phép biến đổi sơ cấp hay tìm ma trận nghịch đảo theo công thức của ma trận phụ hợp ta có thể sử dụng phương pháp giải hệ phương trình: Xét hệ phương trình tuyến tính (A|E) =⎛⎜⎝1 −3 1 1 0 00 2 3 0 1 02 −2 5 0 0 1⎞⎟⎠−−−−−−→⎛⎜⎝1 −3 1 1 0 00 2 3 0 1 00 4 3 −2 0 1⎞⎟⎠−−−−−−→⎛⎜⎝1 −3 1 1 0 00 2 3 0 1 00 0 −3 −2 −2 1⎞⎟⎠−−−−−→⎛⎜⎝3 −9 0 1 −2 10 2 0 −2 −1 10 0 −3 −2 −2 1⎞⎟⎠−−−−−→⎛⎜⎝6 0 0 −16 −13 110 2 0 −2 −1 10 0 −3 −2 −2 1⎞⎟⎠−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜⎝1 0 0 − −0 1 0 −1 −0 0 1 −⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟⎠−2d 1 +d 3 −2d 2 +d 3 d 3 +d 2 d 3 +3d 1 9d 2 +2d 1 d 1 d 2 − d 3 161213831361161212232313A−1 =⎛⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜⎝− −−1 −−⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟⎠.831361161212232313AX =⎛⎜⎝2 −−5 31 −⎞⎟⎠⇔ X = A−⎛⎜⎝2 −−5 31 −⎞⎟⎠\=⎛⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜⎝− −−1 −−⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟⎠⎛⎜⎝2 −−5 31 −⎞⎟⎠\=⎛⎜ ⎜⎜⎜⎜⎝−1 0− 1⎞⎟ ⎟⎟⎟⎟⎠.83136116121223231322373A A−A⎛⎜ ⎜⎜⎝x 1 x 2 ... xn ⎞⎟ ⎟⎟⎠\=⎛⎜ ⎜⎜⎝y 1 y 2 ... yn ⎞⎟ ⎟⎟⎠.Ta biết rằng nghiệm của hệ phương trình này xác định bởi Vì vậy nếu tìm được nghiệm của hệ phương trình dạng Câu 1. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận Xét hệ Câu 2. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận Xét hệ Câu 3: Cho ma trận
Giải. a) Xem đề thi các phương pháp tính định thức ma trận.
Suy ra và cộng tất cả các phương trình của hệ có: ⎛⎜ ⎜⎜⎝x 1 x 2 ... xn ⎞⎟ ⎟⎟⎠\= A−⎛⎜ ⎜⎜⎝y 1 y 2 ... yn ⎞⎟ ⎟⎟⎠.⎛⎜ ⎜⎜⎝x 1 x 2 ... xn ⎞⎟ ⎟⎟⎠\= B⎛⎜ ⎜⎜⎝y 1 y 2 ... yn ⎞⎟ ⎟⎟⎠⇒ A−1 = B.A =⎛⎜⎜⎜⎝1 0 −1 30 2 4 −0 0 −2 30 0 0 −⎞⎟ ⎟⎟⎠.⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x 1 − x 3 + 3x 4 = y 1 2 x 2 + 4x 3 − 6x 4 = y 2 −2x 3 + 3x 4 = y 3 −x 4 = y 4 ⇔⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩x 1 = y 1 − y 3 + y 4 x 2 = y 2 + y 3 x 3 = − y 3 − y 4 x 4 = −y 4 ⇒ A−1 =⎛⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜⎝1 0 −0 1 00 0 − −0 0 0 −⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟⎠.123 2 1 2 1 232123 2 1 2 1 232A =⎛⎜⎜⎜⎝1 −2 3 −0 1 −2 30 0 1 −0 0 0 1⎞⎟ ⎟⎟⎠.⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x 1 − 2x 2 + 3x 3 − 4x 4 = y 1 x 2 − 2x 3 + 3x 4 = y 2 x 3 − 2x 4 = y 3 x 4 = y 4 ⇔⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x 1 = y 1 + 2y 2 + y 3 x 2 = y 2 + 2y 3 + y 4 x 3 = y 3 + 2y 4 x 4 = y 4 ⇒ A−1 =⎛⎜ ⎜⎜⎝1 2 1 00 1 2 10 0 1 20 0 0 1⎞⎟ ⎟⎟⎠.A =⎛⎜ ⎜⎜ ⎜⎜⎜⎝a b b... b b a b... b b b a... b ............... b b b... a ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎟⎟⎠.det(A); det(A) ≠ 0, A−1. ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ax 1 + bx 2 +... +bxn = y 1 bx 1 + ax 2 +... +bxn = y 2 ... bx 1 + bx 2 +... +axn = yn .⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩(a − b)x 1 + bS = y 1 (a − b)x 2 + bS = y 2 ... (a − b)xn + bS = yn .xk = , k = 1, 2,... , n yk − bS a − b Vậy Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp 2, 3, 4 bằng Máy tính cầm tay Tìm các ma trận khi biết một trong các ma trận đó Chúng ta vận dụng linh hoạt các mối quan hệ sau: và Một số bài toán chứng minh liên quan đến ma trận nghịch đảo Câu 37. Cho 𝐴, 𝐵 là các ma trận vuông cấp 𝑛 khả nghịch. Giải sử tồn tại ma trận vuông cấp 𝑛 khả nghịch 𝐶 sao cho là ma trận đường chéo. Chứng minh rằng tồn tại ma trận vuông cấp 𝑛 khả nghich 𝐷 sao cho là ma trận đường chéo. Câu 37. Theo bài ra thì với là ma trận đường chéo. Ý tưởng là từ phương trình này tìm ra ma trận Đặt do đó là một ma trận đường chéo. Vậy ma trận thoả mãn là Ta có điều phải chứng minh. Các dạng toán được liệt kê dưới đây, bạn đọc nhấn vào từng dạng để xem chi tiết thêm Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận Giải phương trình ma trận khi không dùng được ma trận nghịch đảo Chứng minh một ma trận suy biến và ma trận khả nghịch ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩x 1 = y 1 + y 2 + y 3 + y 4 − y 5 x 2 = y 1 − y 2 + y 3 + y 4 + y 5 x 3 = y 1 + y 2 − y 3 + y 4 + y 5 x 4 = − y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 x 5 = y 1 + y 2 + y 3 − y 4 + y 5 ⇒ A−1 =⎛⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜⎝−−−−−⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟⎠.1414141434143414141414143414143414141414141414341414141414341434141414141434141434141414141414143414A, A−1, A∗, (A∗)− , (A−1) ∗ A∗ =⎛⎜ ⎜⎜⎝A 11 A 21... An 1 A 12 A 22... An 2 ............ A 1 n A 2 n... Ann ⎞⎟ ⎟⎟⎠, Aij = (−1)i+jMij; det (A−1) = ; det (A∗) = (det (A))n− 1det (A) A−1 = A∗; (A∗)− = (A−1) ∗ = A; A = (A−1) − ; A = (A∗) ∗ . 1det (A) 1det (A) 1(det (A))n− C −1ABC D−1BADC −1ABC = P PBA⇒ P. C −1A = C −1ABC. C −1A = C −1ABA ⇒ C. P C −1A = C. C −1ABA = ABA⇒ A−1CP C −1A = A−1. ABA = BA (∗).X = A−1C ⇒ X−1 = (A−1C)− = C −1A (∗) ⇔ XP X−1 = BA ⇒ X−1BAX = X−1XP X−1X = P D = X = A−1C. Câu 1 [Q676332766] Cho ma trận Tìm điều kiện đối với để ma trận đã cho có ma trận nghịch đảo. Với điều kiện đó, tìm phần tử thuộc dòng thứ hai và cột thứ ba của ma trận Câu 2 [Q678667606] Cho ma trận
Câu 3 [Q698667362] Cho ma trận
Câu 4 [Q803997423] Cho ma trận Tìm điều kiện của để ma trận có ma trận nghịch đảo. Khi đó tìm ma trận Câu 5 [Q253177637] Cho ma trận Tìm ma trận nghịch đảo của bằng công thức Câu 6 [Q125532956] Tìm để ma trận khả nghịch. THI ONLINE - [PRO S1] - CÁC DẠNG TOÁN VỀ MATRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại Vted (vted) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Họ, tên thí sinh:............................................................................... Trường: ............................................................ A =⎛⎜ ⎜⎜⎝1 2 3 −2 3 −1 1−3 −4 2 −3 5 2 m ⎞⎟ ⎟⎟⎠. m A−1.A =⎛⎜ ⎜⎜⎝m 1 2 3 −4 2 −1 3 4 1 2 3 −3 2 1 4 ⎞⎟ ⎟⎟⎠.m A′ m A∗ A A−1; m (A∗) 3 A′ A =⎛⎜ ⎜⎜⎝m 1 5 − −4 2 −1 1 −1 2 2 3 −3 2 1 4 ⎞⎟ ⎟⎟⎠.m −3A′ −3A′ m (−3A′)− A = ( a b c d ). a, b, c, d A A−1. A = ⎛⎜⎝1 2 3−1 0 42 5 −⎞⎟⎠. A−1 AA−1 =. A∗.1det (A) a ⎛⎜⎝a + 1 −1 a 3 a + 1 3 a − 1 0 a − 1 ⎞⎟⎠Câu 15 [Q596144464] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận Câu 16 [Q905522239] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận Câu 17 [Q655073609] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận Câu 18 [Q660160666] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận Câu 19 [Q111976969] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận Câu 20 [Q374833503] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận Câu 21 [Q957951879] Cho ma trận Tìm điều kiện của để tồn tại ma trận và tìm khi đó. Câu 22 [Q358640043] Cho ma trận Tìm ma trận nghịch đảo Câu 23 [Q593333178] Cho ma trận và là ma trận phụ hợp của Chứng minh rằng: a) b)
Câu 24 [Q366500879] Cho hai ma trận vuông cùng cấp và không suy biến. Chứng minh rằng: a) và
Câu 25 [Q112366733] Cho ma trận vuông cấp không suy biến. Chứng minh rằng và Câu 26 [Q400556666] Cho A là ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử đều là số nguyên. Chứng minh rằng ma trận nghịch đảo có tất cả các phần tử là số nguyên khi và chỉ khi A =⎛⎜⎝1 0 32 1 13 2 2⎞⎟⎠.A =⎛⎜⎝1 3 22 1 33 2 1⎞⎟⎠.A =⎛⎜ ⎜⎜⎝−1 1 1 11 −1 1 11 1 −1 11 1 1 −⎞⎟ ⎟⎟⎠.A =⎛⎜ ⎜⎜⎝0 1 1 1−1 0 1 1−1 −1 0 1−1 −1 −1 0⎞⎟ ⎟⎟⎠.A =⎛⎜ ⎜⎜ ⎜⎜⎜⎝1 1 1... 10 1 1... 10 0 1... 1...............0 0 0 0 1⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎟⎟⎠.A =⎛⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎝1 + a 1 1... 1 1 1 + a 1... 1 1 1 1 + a... 1 ............... 1 1 1... 1 + a ⎞⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎠.A =⎛⎜⎝1 2 30 −2 m 2 0 4 ⎞⎟⎠. m A−1 A− A =⎛⎜ ⎜⎜⎝1 2 1 −1 0 2 12 1 −1 34 −5 0 4⎞⎟ ⎟⎟⎠. A−1.A = (aij)n×n A∗ A. AA∗ = A∗A = det(A)E. det(A∗) = (det(A))n−1. det(A) = 0 A∗ AX = O. A, B (AB)∗ = B∗A∗ (AB)−1 = B−1A−1; AB = BA A∗B = BA∗. A n (A∗)−1 = (A−1)∗ = 1 A det(A) A = 1 (A∗)∗.[det (A)]n− A−1 det(A) = ±1. Câu 27 [Q646178165] Cho ma trận Tìm phần tử thuộc dòng 3, cột 2 của các ma trận phụ hợp và Câu 28 [Q893388970] Cho ma trận Tìm điều kiện của m để A khả nghịch, khi đó tìm ma trận và ma trận Câu 29 [Q268563901] Cho ma trận Tìm ma trận phụ hợp của Câu 30 [Q208222235] Tìm ma trận phụ hợp của ma trận Áp dụng tìm ma trận nếu Câu 31 [Q773577037] Cho hai ma trận Tìm để ma trận là ma trận không suy biến. Câu 32 [Q241627764] Cho ma trận Tìm điều kiện để khả nghịch, khi đó:
Câu 33 [Q767100773] Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận Câu 34 [Q807831780] Cho ma trận
A =⎛⎜ ⎜⎜⎝1 2 m − 3 4 −2 5 −3 4 1 2 −1 2 −3 4 ⎞⎟ ⎟⎟⎠.A∗ (−2023A)∗.A =⎛⎜ ⎜⎜⎝m 1 2 3 −4 2 −1 3 4 1 2 3 −3 2 1 4 ⎞⎟ ⎟⎟⎠.(A−1)∗ (A∗)−1. A = ⎛⎜⎝1 2 3−1 0 42 5 −⎞⎟⎠. A∗ A.A = ( a b c d ). AA∗ = ( 2022 20232024 2025).A =⎛⎜ ⎜⎜⎝2 1 −3 21 3 −2 m − 1 −2 9 1 − −5 m + 3 6 − ⎞⎟ ⎟⎟⎠, B =⎛⎜ ⎜⎜⎝2 1 2−1 2 11 4 311 5 7⎞⎟ ⎟⎟⎠. m (4BB′ + 3E)A∗A =⎛⎜ ⎜⎜⎝1 m 2 3 −1 2 1 0 2 3 0 2 3 −1 3 1 ⎞⎟ ⎟⎟⎠. AA−1;(6A)−1;(6A′)−1;(A∗)−1 (A−1)∗.A =⎛⎜ ⎜⎜⎝1 −2 3 −0 1 −2 30 0 1 −0 0 0 1⎞⎟ ⎟⎟⎠.A =⎛⎜⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎝a b b... b b a b... b b b a... b ............... b b b... a ⎞⎟⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎠.det(A); det(A) ≠ 0, A−1. Câu 48 [Q263273874] Cho A là ma trận vuông cấp n mà mỗi hàng và mỗi cột có đúng một phần tử khác 0 là − hoặc 1. Chứng minh rằng: (a) Ma trận A không suy biến và tìm ma trận nghịch đảo của A; (b) Tồn tại số hai số nguyên dương m, k sao cho và Câu 49 [Q132434386] Xét ma trận có ma trận nghịch đảo. Chứng minh rằng ma trận và ma trận nghịch đảo có tất cả các phần tử không âm khi và chỉ khi mỗi hàng và mỗi cột của ma trận có đúng một phần tử dương. HƯỚNG DẪN Câu 1 Ta có: Ma trận không suy biến khi và chỉ khi Khi đó Phần tử thuộc dòng thứ hai và cột thứ ba của ma trận là Câu 2 a) Ta có Vậy không suy biến khi và chỉ khi
Am = E Ak = A−1. A A A−1 A det(A) = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣1 2 3 −2 3 −1 1−3 −4 2 −3 5 2 m ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣\=∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣1 2 3 −0 −1 −7 70 2 11 −0 −1 −7 m + 9 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣−2d 1 + d 2 3 d 1 + d 3 −3d 1 + d 4 \=∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣1 2 3 −0 −1 −7 70 0 −3 40 0 0 m + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣2 d 2 + d 3 −d 2 + d 3 = 3(m + 2). A det(A) ≠ 0 ⇔ m ≠ −2. A−1 = 1 A∗ = A∗. det(A) 13(m + 2) A− A 32 = −∣∣∣∣1 3 −2 −1 13 2 m ∣∣∣∣\= −. (−7m − 14) =. 13(m + 2) 13(m + 2) 13(m + 2) 73det(A) = 4 − m. A′ det(A′) ≠ 0 ⇔ det(A) ≠ 0 ⇔ 4 − m ≠ 0 ⇔ m ≠ 4. det(A∗) ≠ 0 ⇔ (det(A)) 3 ≠ 0 ⇔ det(A) ≠ 0 ⇔ m ≠ 4. A− |