Các tập hợp trong toán học đại số năm 2024

Tập hợp số là khái niệm quen thuộc trong Toán học từ cấp THCS lên THPT. Hôm nay mời bạn cùng ôn tập kiến thức về các tập hợp số với Marathon Education qua bài viết dưới đây.

1. Tập hợp số là gì? Phần tử của tập hợp là gì?

• Tập hợp số là một khái niệm cơ bản trong toán học và không có một định nghĩa chung. Các tập hợp số được biểu diễn bằng các chữ cái in hoa như A, B, R, X, Y và các chữ thường như a, b, x, y, z đại diện cho phần tử trong tập hợp.
• Khi nói a∈A có nghĩa rằng a là một thành viên của tập hợp A; hoặc nói cách khác, a thuộc tập hợp A. Trái lại, ký hiệu aA biểu thị a không thuộc tập hợp A.

2. Các tập hợp số trong toán học cơ bản

2.1. Tập hợp các số tự nhiên (N)

Tập hợp các số tự nhiên được quy ước kí hiệu là N: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,…}.

\>> Mời bạn xem thêm: Lý thuyết và bài tập tính giá trị của biểu thức môn Toán

2.2. Tập hợp các số nguyên (Z)

Tập hợp các số nguyên được quy ước kí hiệu là Z: Z={…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}. Đối với số nguyên dương, tập hợp sẽ được kí hiệu là N*.

2.3. Tập hợp các số hữu tỉ (Q)

Các tập hợp số số hữu tỉ được quy ước kí hiệu là Q: Q = {1,2; 2,3; 3,4;…}. Có thể diễn đạt số hữu tỉ bằng số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn.

2.4. Tập hợp các số thực (R)

Tập hợp của các số thực được đặt ký hiệu là R. Khi một số thập phân vô hạn không tuần hoàn, ta xem đó là số vô tỉ và đặt nó trong tập hợp I. Tập hợp của số thực bao gồm cả số vô tỉ và số hữu tỉ (R=Q∪I).

2.5. Tập hợp rỗng

Tập hợp rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào, ký hiệu là .

\>> Dành cho bạn: Khái niệm và cách tính chu vi các hình môn Toán

3. Mối quan hệ của các tập hợp trong toán học

Ta có: R = Q ∪ I.

⇒ Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp số là: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R (minh họa trên hình).

4. Các phép toán trong tập hợp

5. Bài tập

Bài tập 1:

1. Xác định tập hợp A là tập hợp của các số tự nhiên nhỏ hơn 10.

2. Xác định tập hợp B là tập hợp của các số chẵn nhỏ hơn hoặc bằng 10.

3. Xác định tập hợp C là tập hợp của các số lẻ dương nhỏ hơn 10.

Đáp án:

1. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

2. B = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

3. C = {1, 3, 5, 7, 9}

\>> Công thức tính diện tích, chu vi hình tròn chính xác

Bài tập 2: Dựa vào các tập hợp đã nêu ở bài tập 1:

1. Tìm tập hợp hợp A ∪ B, tức là tập hợp gồm các số thuộc A hoặc B: A ∪ B = {x | x ∈ A hoặc x ∈ B}.

2. Tìm tập hợp A ∩ B, tức là tập hợp gồm các số thuộc cả A và B: A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B}.

3. Tìm tập hợp A \ B, tức là tập hợp gồm các số thuộc A nhưng không thuộc B: A \ B = {x | x ∈ A và x ∉ B}.

Đáp án:

1. A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

2. A ∩ B = {0, 2, 4, 6, 8}

3. A \ B = {1, 3, 5, 7, 9}

Bài tập 3: Cho tập hợp D = {3, 6, 9, 12, 15, 18}.

1. Xác định tập hợp E là tập hợp các số chia hết cho 3 trong tập D.

2. Xác định tập hợp F là tập hợp các số chẵn trong tập D.

Đáp án:

1. E = {3, 6, 9, 12, 15, 18}

2. F = {6, 12, 18}

Học Toán chưa lúc nào là dễ dàng! Tuy nhiên nếu cố gắng thì chắc chắn bạn sẽ thành công chinh phục môn Toán. Đừng quên ghé Marathon Education để xem thêm nhiều kiến thức bổ ích của môn Toán nhé!

Các ký hiệu trong toán học được sử dụng khi thực hiện các phép toán khác nhau. Việc tham khảo các đại lượng Toán học trở nên dễ dàng hơn khi dùng ký hiệu toán học. Trên thực tế, khái niệm toán học phụ thuộc hoàn toàn vào các con số và ký hiệu. Chính vì vậy, việc nắm rõ các ký hiệu toán học trở nên vô cùng quan trọng với học sinh.

1. Các ký hiệu toán học cơ bản

Các ký hiệu trong toán học cơ bản giúp con người làm việc một cách lý thuyết với các khái niệm toán học. Chúng ta không thể làm toán nếu không có các ký hiệu. Các dấu hiệu và ký hiệu toán học chính là đại diện của giá trị. Những suy nghĩ toán học được thể hiện bằng cách sử dụng các ký hiệu. Nhờ trợ giúp của các ký hiệu, một số khái niệm và ý tưởng toán học nhất định được giải thích rõ ràng hơn. Dưới đây là danh sách các ký hiệu toán học cơ bản thường được sử dụng.

Ký hiệu Tên ký hiệu Ý nghĩa Ví dụ \= dấu bằng bình đẳng 3 = 1 + 2 3 bằng 1 + 2 ≠ không dấu bằng bất bình đẳng 3 ≠ 4 3 không bằng 4 ≈ khoảng chừng bằng nhau xấp xỉ sin (0,01) ≈ 0,01, a ≈ b nghĩa là a xấp xỉ bằng bb

/

bất bình đẳng nghiêm ngặt lớn hơn 4/ 3 lớn hơn 3 < bất bình đẳng nghiêm ngặt nhỏ hơn 3 < 4 3 nhỏ hơn 4 ≥ bất bình đẳng lớn hơn hoặc bằng 4 ≥ 3, a ≥ b là kí hiệu cho a lớn hơn hoặc bằng b ≤ bất bình đẳng nhỏ hơn hoặc bằng 3 ≤ 4, a ≤ b nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b ()

dấu ngoặc đơn

tính biểu thức bên trong đầu tiên 2 × (4 + 6) = 20 []

dấu ngoặc

tính biểu thức bên trong đầu tiên [(8 + 2) × (1 + 1)] = 20 + dấu cộng thêm vào 1 + 3 = 4 - dấu trừ

phép trừ

4 - 1 = 3 ± cộng - trừ cả phép cộng và trừ 3 ± 1 = 1 hoặc 2 ± trừ - cộng cả phép trừ và cộng 3 ∓ 2 = 1 hoặc 5 * dấu hoa thị phép nhân 2 * 5 = 10 × dấu thời gian phép nhân 2 × 4 = 8 . dấu chấm chân phép nhân 3 ⋅ 4 = 12 ÷ dấu hiệu phân chia sự phân chia 4 ÷ 2 = 2 /

dấu gạch chéo

sự phân chia 4/2 = 2 - đường chân trời chia / phân số $\frac{6}{3}$ = 2 mod modulo tính toán phần còn dư 9 mod 2 = 1 . giai đoạn = Stage dấu thập phân 3,56 = 3 + 56/100 $a^{b}$ quyền lực số mũ $3^{3}$ = 9 a ^{b dấu mũ số mũ 3} 3 = 9 √ a căn bậc hai √ a ⋅ √ a = a √ 4 = ± 2 $\sqrt[3]{a}$ gốc hình khối $\sqrt[3]{f}$ ⋅ $\sqrt[3]{f}$ ⋅ $\sqrt[3]{f}$ = f $\sqrt[3]{27}$ = 3 $\sqrt[4]{a}$ gốc thứ tư $\sqrt[4]{g}$ ⋅ $\sqrt[4]{g}$ ⋅ $\sqrt[4]{g}$ ⋅ $\sqrt[4]{g}$ = g

$\sqrt[4]{81}$ = ± 3

$\sqrt[n]{a}$ gốc thứ n (gốc) với n = 3, $\sqrt[n]{27} = 3$ % phần trăm 1% = 1/100 10% × 20 = 2 ‰ phần nghìn 1 ‰ = 1/1000 = 0,1% 10 ‰ × 20 = 0,2 ppm mỗi triệu 1ppm = 1/1000000 10ppm × 20 = 0,0002 ppb mỗi tỷ 1ppb = 1/1000000000 10ppb × 20 = 2 × $10^{-7}$ ppt mỗi nghìn tỷ 1ppt = $10^{-12}$ 10ppt × 20 = 2 × $10^{-10}$

2. Các ký hiệu số trong toán học

Tên Tây Ả Rập Roman Đông Ả Rập Do Thái không 0 ٠ một 1 I ١ א hai 2 II ٢ ב ba 3 III ٣ ג bốn 4 IV ٤ ד năm 5 V ٥ ה sáu 6 VI ٦ ו bảy 7 VII ٧ ז tám 8 VIII ٨ ח chín 9 IX ٩ ט mười 10 X ١٠ י mười một 11 XI ١١ יא mười hai 12 XII ١٢ יב mười ba 13 XIII ١٣ יג mười bốn 14 XIV ١٤ יד mười lăm 15 XV ١٥ טו mười sáu 16 XVI ١٦ טז mười bảy 17 XVII ١٧ יז mười tám 18 XVIII ١٨ יח mười chín 19 XIX ١٩ יט hai mươi 20 XX ٢٠ כ ba mươi 30 XXX ٣٠ ל bốn mươi 40 XL ٤٠ מ năm mươi 50 L ٥٠ נ sáu mươi 60 LX ٦٠ ס bảy mươi 70 LXX ٧٠ ע tám mươi 80 LXXX ٨٠ פ chín mươi 90 XC ٩٠ צ một trăm 100 C ١٠٠ ק

\>>>Nắm trọn 9+ thi tốt nghiệp THPT một cách dễ dàng cùng lộ trình ôn được cá nhân hóa phù hợp với bản thân<<<

3. Ký hiệu đại số

Ký hiệu Tên ký hiệu Ý nghĩa Ví dụ x biến x giá trị không xác định cần tìm 3x = 6 thì x = 2

≡

tương đương giống hệt ≜ bằng nhau theo định nghĩa bằng nhau theo định nghĩa : = bằng nhau theo định nghĩa bằng nhau theo định nghĩa ~ khoảng chừng bằng nhau xấp xỉ yếu 2,5 ~ 33 ≈ khoảng chừng bằng nhau xấp xỉ sin (0,01) ≈ 0,01 ∝ tỷ lệ với tỷ lệ với b ∝ a khi b = ka, k hằng số ∞ vô cực vô cực ≪ ít hơn rất nhiều so với ít hơn rất nhiều so với 1 ≪ 1000000000 ≫ lớn hơn nhiều lớn hơn nhiều 1000000000 ≫ 1 () dấu ngoặc đơn tính toán biểu thức phía trong trước tiên 2 * (4 + 5) = 18 [] dấu ngoặc tính toán biểu thức phía trong trước tiên [(1 + 0,5) * (1 + 3)] = 6 {} dấu ngoặc nhọn thiết lập ⌊ x ⌋ làm tròn số trong ngoặc thành số nguyên thấp hơn làm tròn số trong ngoặc thành số nguyên thấp hơn ⌊4,3⌋ = 4 ⌈ x ⌉ làm tròn số trong ngoặc thành số nguyên lớn hơn làm tròn số trong ngoặc thành số nguyên lớn hơn ⌈4,3⌉ = 5 x ! giai thừa giai thừa 4! = 1.2.3.4 | x | giá trị tuyệt đối giá trị tuyệt đối | -3 | = 3 f ( x ) hàm của x các giá trị của x ánh xạ thành f (x) f ( x ) = 2 x +4 ( f ∘ g ) thành phần chức năng ( h ∘ i ) ( x ) = h ( i ( x )) h ( x ) = 5 x , i ( x ) = x -3 ⇒ ( h ∘ i ) ( x ) = 5 ( x -3) ( a , b ) khoảng thời gian mở ( a , b ) = { y | a < y < b } c ∈ (3,7) [ a , b ] khoảng thời gian đóng [ a , b ] = { j | a ≤ j ≤ b } j ∈ [3,7] ∆ thay đổi / khác biệt thay đổi / khác biệt ∆ t = $t_{x+1}$ - $t_{x}$ ∆ Δ = $b^{2}$ - 4 ac ∑ sigma tổng - tổng của toàn bộ các giá trị trong phạm vi của chuỗi

∑ $x_{i}$ = $x_{1}$ + $x_{2}$ + ... + $x_{n-1}$ + $x_{n}$

∑∑ sigma

tổng kép

$\sum_{j=1}^{{3}$ $\sum_{i=1}}{9}$ $x_{i,j}$ = $\sum_{i=1}^{{9}$ $x_{i,1}$ + $\sum_{i=1}}{8}$ $x_{i,3}$ ∏ số pi vốn sản phẩm - sản phẩm của toàn bộ các giá trị trong phạm vi ∏ $x_{i}$ = $x_{1}$ ∙ $x_{2}$ ∙ ... ∙ $x_{n-1}$ ∙ $x_{n}$ e hằng số/ số Euler e = 2,718281 ... e = lim $(1 + 1 / x)^{x}$ , trong đó x → ∞ γ hằng số γ = 0,5772156649 ... φ Tỉ lệ vàng tỷ lệ không đổi π hằng số pi π = 3,1415926 ... là tỷ số giữa chu vi hình tròn và đường kính của hình tròn đó d⋅π = 2⋅ π ⋅ r =c

4. Các ký hiệu xác suất và thống kê

Ký hiệu Tên ký hiệu Ý nghĩa Ví dụ P ( A ) hàm xác suất xác suất của một sự kiện A P ( A ) = 0,3 P ( A ⋂ B ) xác suất các sự kiện giao nhau

xác suất của các sự kiện A và sự kiện B

P ( A ⋃ B )

xác suất kết hợp xác suất của các sự kiện A hoặc sự kiện B P ( A | B ) hàm xác suất có điều kiện xác suất của sự kiện A cho trước sự kiện đã xảy ra B f ( x )

hàm mật độ xác suất (pdf)

Q ( a ≤ x ≤ b ) = ∫ f ( x ) dx f ( x ) = 2x+3 F ( x ) hàm phân phối (cdf) μ dân số trung bình

giá trị dân số trung bình

μ = 12 E ( X ) kỳ vọng giá trị kỳ vọng của X (X là biến ngẫu nhiên) E ( X ) = 10

E ( X | Y )

giá trị kỳ vọng có điều kiện giá trị kỳ vọng của X cho trước Y E ( X | Y = 33 ) = 90 var ( X ) phương sai phương sai của biến ngẫu nhiên X var ( X ) = 3 $\sigma ^{{2}$ phương sai phương sai của các giá trị $\sigma} {2}$ = 9 std ( X ) độ lệch chuẩn giá trị độ lệch chuẩn của X (X là biến ngẫu nhiên) std ( X ) = 3 $\sigma _{X}$ độ lệch chuẩn độ lệch chuẩn của biến X ngẫu nhiên $\sigma _{x}$ = 4

trung bình giá trị trung bình của biến X (ngẫu nhiên) \= 5 cov ( X , Y ) hiệp phương sai giá trị hiệp phương sai của các biến ngẫu nhiên X và Y cov ( X, Y ) = 6 corr ( X , Y ) tương quan sự tương quan của các biến ngẫu nhiên X và Y corr ( X, Y ) = 0,7 $\rho _{X,Y}$ tương quan sự tương quan của các biến ngẫu nhiên X và Y $\rho _{X,Y}$ = 0,8 ∑

tổng

tổng của toàn bộ các giá trị trong phạm vi của chuỗi $\sum_{i=1}^{3} x_{i} = x_{1} + x_{2} + x_{3}$ ∑∑

tổng kép

tổng kết kép $\sum_{j=1}^{{3} \sum_{i=1}}{9} x_{i,j} = \sum_{i=1}^{{9} x_{i,1} + \sum_{i=1}}{8} x_{i,3}$ Mo mốt giá trị xuất hiện thường xuyên nhất MR tầm trung MR = ( $x_{1} + x_{2}$ ) / 2 trong đó $x_{1}$là max, $x_{2}$ là min Md trung bình mẫu $Q_{1}$ phần tư đầu tiên $Q_{2}$ phần tư thứ hai / trung vị $Q_{3}$ phần tư thứ ba / phần tư trên x

trung bình mẫu

giá trị trung bình

$s^{2}$

giá trị phương sai mẫu phương sai mẫu $s^{2}$ = 8 s độ lệch chuẩn mẫu độ lệch chuẩn s = 2 $z_{x}$ giá trị điểm chuẩn $z_{a} = (a - \bar{a}) / s_{a}$ X ~ phân phối phân phối của biến ngẫu nhiên X X ~ N (0,2) N ( μ , $\sigma ^{{2}$ ) phân phối bình thường phân phối gaussian X ~ N (0,2) Ư ( a , b ) phân bố đồng đều xác suất bằng nhau trong phạm vi x, y X ~ U (0,2) exp (λ) phân phối theo cấp số nhân f ( y ) = $\lambda e}{-\lambda y}$ , trong đó y ≥0 gamma ( c , λ) phân phối gamma f ( x ) = $\lambda$ $cx^{c-1} e^{-\lambda x} /$ Γ ( c ) với x ≥0 χ 2 ( h ) phân phối chi bình phương f ( x ) = $x^{h/2-1} e^{-x/2} / (2^{h/2} \Gamma (h/2))$ F ( k 1 , k 2 ) phân phối F Bin ( n , p ) phân phối nhị thức

f ( k ) =${(1-p)^{{nk}}_{n}C_{k} p}{k}$

Poisson (λ) phân phối Poisson f ( k ) = $(\lambda ^{k}e{-\lambda }) / k!$ Geom ( p ) phân bố hình học Bern ( p ) Phân phối Bernoulli

5. Ký hiệu giải tích và phân tích

Ký hiệu Tên ký hiệu Ý nghĩa Ví dụ lim giới hạn giới hạn của một hàm $\lim_{x\rightarrow x_{0}} f(x) = 1 $ ε epsilon số rất nhỏ, gần bằng không ε → 0 e hằng số

e = 2,7182818 ...

e = $\lim_{}(1+1/x)^{{x}$ , trong đó x → ∞ y ' đạo hàm đạo hàm - Lagrange ($x}{9}$) '= 9 $x^{8}$ y '' đạo hàm thứ hai đạo hàm của đạo hàm 72 $x^{7}$ = ( $x^{9}$) ''

$y^{n}$

đạo hàm thứ n n lần đạo hàm 32 = (4 $x^{3}$ )$^{{(3)}$ $\frac{dy}{dx}$ dẫn xuất dẫn xuất - ký hiệu Leibniz d (4 $x}{3}$ ) / dx = 16 $x^{2}$ $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ dẫn xuất thứ hai đạo hàm của đạo hàm $d^{2}$ (4 $x^{3}$ ) / d$x^{2}$ = 32 x $\frac{d^{n}y}{dx^{n}}$ dẫn xuất thứ n n lần dẫn xuất

đạo hàm thời gian ( ký hiệu Newton ) đạo hàm theo thời gian đạo hàm thời gian thứ hai đạo hàm của đạo hàm $D_{x}y$ dẫn xuất dẫn xuất - ký hiệu Euler ${D_{x}}{2}y$ Dẫn xuất thứ hai đạo hàm của đạo hàm

đạo hàm riêng $\partial (a{2} + b^{2})/\partial a= 2a$ ∫ Tích phân đối lập với dẫn xuất ∫ f (x) dx = 1 ∫∫ tích phân kép ∫∫ f (x, y) dxdy ∫∫∫ tích phân ba ∫∫∫ f (x, y, z) dxdydz ∮ tích phân đường ∯ tích phân bề mặt đóng ∰ tích phân khối lượng đóng [ a , b ]

khoảng thời gian đóng

[ y , z ] = { k | y ≤ k ≤ z } ( a , b ) khoảng thời gian mở

( i , j ) = {w | i< w < j }

i đơn vị tưởng tượng i ≡ √ -1 z = 2,5 + 2 i z* liên hợp phức z = a + ci → z * = a - ci z * = 2,5 - 2 i Re ( z ) phần thực của một số phức z = a + ci → Re ( z ) = a Re (2,5- 2 i ) = 2,5 Im ( z ) phần ảo của một số phức z = a + qi → Im ( z ) = q Im (3,5 - 3i ) = - 3 | z | giá trị tuyệt đối | z | = | a + li | = √ $(a^{2} + l^{2})$ arg ( z ) đối số của một số phức chính là góc của bán kính (trong mặt phẳng phức) ∇ nabla / del toán tử gradient / phân kỳ

vector đơn vị véc tơ x * y tích chập y ( j ) = x ( j ) * h ( j ) biến đổi laplace

F ( y ) = { f ( o )}

biến đổi Fourier X (ω) = { f ( p)} δ hàm delta ∞ vô cực vô cực

\>> Xem thêm: Lý thuyết số phức và cách giải các dạng bài tập cơ bản

Đăng ký ngay để nhận bí kíp nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán thi THPT Quốc Gia độ quyền của VUIHOC

R là tập hợp số gì ví dụ?

là ký hiệu của tập số thực (viết tắt của từ Real trong tiếng Anh). Đây là tập hợp của cả số hữu tỉ và vô tỉ. R chính là tập số lớn nhất trên tập số, có tập hợp khác đều là tập con của tập R, cụ thể: - Tập hợp số tự nhiên N = {0, 1, 2,…}

Q là tập hợp các số gì?

Tập hợp các số hữu tỉ, hay còn gọi là trường số hữu tỉ, có ký hiệu là Q. Số hữu tỉ là số có thể viết dưới dạng a/b với a, b ∈ Z,b ≠ 0 và được kí hiệu là Q. Tập hợp số hữu tỉ Q gồm: Số thập phân hữu hạn: 0.5 (½), 0.2 (⅕),...

Tập hợp lớp 6 là gì?

Một tập hợp ( gọi tắt là tập) bao gồm những đối tượng nhất định, những đối tượng đó được gọi là những phần tử của tập hợp mà ta nhắc đến. Tập hợp là khái niệm cơ bản thường dùng trong toán học và cuộc sống.

Tập hợp con là gì lớp 10?

Tập hợp con. Nếu ta có mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập hợp con của tập B. Ký hiệu là AB. A ⊂ B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B.