Cách giải phương trình bậc 3 lớp 8
|
12:05:2931/07/2022 Giải phương trình bậc 3 dạng tổng quát ax3 + bx2 + cx + d = 0 là một dạng toán khó và chúng ta ít gặp cả ở bậc THCS và THPT. Ở các bậc học này chúng ta chỉ gặp một số dạng đặc biệt (cách giải không quá phức tạp) của phương trình bậc 3. Ở lớp 9 chúng ta sẽ gặp một số dạng phương trình bậc 3 ở dạng x3 = a hoặc dạng tổng quát là ax3 + bx2 + cx + d = 0 nhưng biết trước 1 nghiệm của phương trình này (hoặc dễ dàng tính nhẩm được 1 nghiệm của phương trình này). I. Cách giải phương trình bậc 3 1. Cách giải phương trình bậc 3 dạng x3 = a Cách giải dạng phương trình này sử dụng căn thức bậc 3, ta có:
2. Cách giải phương trình bậc 3 dạng ax3 + bx2 + cx + d = 0 Với dạng phương trình này đề thường cho trước 1 nghiệm (hoặc ta dễ dàng tính nhẩm được nghiệm của pt, thường là 0; ±1/2: ±1; ±2). - Nếu x = α là nghiệm của phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 thì ax3 + bx2 + cx + d = (x - α).f(x) - Để tìm f(x) ta lấy đa thức ax3 + bx2 + cx + d chia cho (x - α). - Giả sử f(x) = ax2 + Bx + C, khi đó phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 được đưa về phương trình dạng tích (x - α).(ax2 + Bx + C) = 0. * Lưu ý: Để tìm f(x) ngoài cách chia đa thức ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne bậc 3 sau:  Khi đó: ax3 + bx2 + cx + d = (x - α).(ax2 + Bx + C) ax3 + bx2 + cx + d = 0 ⇔ (x - α).(ax2 + Bx + C) = 0 » Đừng bỏ lỡ: Cách sử dụng lược đồ Hoocne để chia đa thức II. Bài tập giải phương trình bậc 3 * Bài tập 1: Giải phương trình bậc 3 sau: x3 = 8 * Lời giải: - Ta có: Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình. * Bài tập 2: Giải phương trình bậc 3 sau: 2x3 = -128 * Lời giải: - Ta có: Vậy x = -4 là nghiệm của phương trình. * Bài tập 3: Giải phương trình bậc 3 sau: 2x3 + 5x2 - x - 6 = 0. * Lời giải: - Dễ dàng nhận thấy các hệ số của phương trình bậc 3 là: a + b + c + d = 2 + 5 - 1 - 6 = 0 nên có thể nhẩm được phương trình bậc 3 này có 1 nghiệm x = 1. Vì x = 1 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức (2x3 + 5x2 - x - 6) chia cho (x – 1). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:
Vậy 2x3 + 5x2 - x - 6 = (x - 1)(2x2 + 7x + 6) Khi đó: 2x3 + 5x2 - x - 6 = 0 ⇔ (x - 1)(2x2 + 7x + 6) = 0 ⇔ (x - 1)= 0 hoặc (2x2 + 7x + 6) = 0 Xét phương trình: x – 1 = 0 ⇔ x = 1 Xét phương trình: 2x2 + 7x + 6 = 0 có ∆ = 72 - 4.2.6 = 1 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm: x1 = (-7 + 1)/4 = -3/2; x2 = (-7 - 1)/4 = -2 Vây phương trình có 3 nghiệm là: x = 1; x = -2; x = -3/2; Tập nghiệm của phương trình S={-2;-3/2;1}. * Bài tập 4: Tìm nghiệm của phương trình bậc 3 sau: 3x3 - 2x2 - 5x + 4 = 0 biết x = 1 là một nghiệm của phương trình. * Lời giải: Vì x = 1 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức (3x3 - 2x2 - 5x + 4) chia cho (x – 1). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:
Vậy 3x3 - 2x2 - 5x + 4 = (x – 1).(3x2 - 2x - 5) Khi đó: x3 - 2x2 - 5x + 4 = 0 ⇔ (x – 1).(3x2 - 2x - 5) = 0 ⇔ x - 1 = 0 hoặc 3x2 - 2x - 5 = 0 Xét phương trình: x – 1 = 0 ⇔ x = 1 Xét phương trình: 3x2 - 2x - 5 = 0 có ∆ = (-2)2 - 4.3.(-5)= 64 nên phương trình có 2 nghiệm: x1 = -1 và x2 = 5/3. (có thể thấy ngay phương trình: 3x2 - 2x - 5 = 0 có các hệ số a - b + c = 0 nên có 1 nghiệm x = -1 và nghiệm còn lại x = -c/a = 5/3) Vây phương trình có 3 nghiệm: x = 1; x = -1; x = 5/3. * Bài tập 5: Tìm m để phương trình bậc 3 sau có đúng 2 nghiệm phân biệt: (x - 2)(x2 + mx + m2 – 3) = 0 (*) * Lời giải: - Phương trình (*)⇔ Phương trình (1) có 1 nghiệm x = 2 nên để phương trình (*) có đúng 2 nghiệm thì phương trình (2) phải có nghiệm kép khác 2 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2. +) TH1: phương trình (2) có nghiệm kép khác 2 ⇔ Phương trình (2) có: ∆ = 0 và x = 2 không là nghiệm của (2)
+) TH2: Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2 Thay x = 2 vào phương trình (2) ta được: m2 + 2m + 1 = 0 ⇔ (m + 1)2 = 0 ⇔ m = -1 Với m = -1 thì phương trình (2) trở thành: x2 - x - 2 = 0 Phương trình này có a – b + c = 0 nên có 2 nghiệm: x1 = -1, x2 = -c/a = 2 Suy ra m = -1 (thỏa mãn) Vậy m = -1, m = 2, m = -2 thì phương trình (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt. * Bài tập 6: Tìm m để phương trình bậc 3 sau có đúng 3 nghiệm phân biệt: (x - 1)(x2 – 2(m + 1)x – 2) = 0 * Bài tập 7: Giải phương trình bậc 3 sau: 3x3 - 13x2 + 13x - 3 = 0 * Bài tập 8: Tìm m để phương trình bậc 3 sau có 3 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 3: (x + 1)(x2 + 2mx + 4) = 0
Hy vọng với bài viết về Cách giải phương trình bậc 3 và bài tập vận dụng toán lớp 9 ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại phần bình luận dưới bài viết để Hay-Học-Hỏi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt. 1 Đảm bảo rằng có hằng số trong phương trình bậc ba của bạn. Dù tiện lợi vì bạn không phải học thêm bất kỳ kiến thức toán học mới nào, nhưng phương pháp được trình bày ở trên không phải lúc nào cũng có thể giúp bạn giải được phương trình bậc ba. Nếu phương trình có dạng ax3 + bx2 + cx + d = 0 với d khác 0, mẹo phân tích ở trên là không thể áp dụng được và do đó, bạn sẽ phải dùng phương pháp được trình bày ở phần này hoặc phần dưới để giải.
2 Tìm thừa số của a và d. Để giải phương trình bậc ba, hãy bắt đầu bằng cách tìm các thừa số của a (hệ số của x3) và d (hằng số nằm cuối phương trình). Cũng cần nhắc lại rằng, thừa số là những số có thể nhân với nhau để tạo thành một số khác. Ví dụ như, bởi có thể thu được 6 bằng cách nhân 6 × 1 và 2 × 3, 1, 2, 3, và 6 là các thừa số của 6.
3 Chia thừa số của a cho thừa số của d. Tiếp đến, lập danh sách thương thu được khi chia từng thừa số của a cho từng thừa số của d. Thường thì ta sẽ thu được rất nhiều phân số và một vài số nguyên. Nghiệm nguyên của phương trình bậc ba hoặc sẽ là một trong những số nguyên có trong danh sách này, hoặc sẽ là giá trị âm của chúng.
4 Sử dụng quy tắc Ruffini (phép chia đa thức không tự nhiên) hoặc kiểm tra đáp án bằng tay. Một khi đã có được danh sách, bạn có thể tìm nghiệm nguyên bằng cách thay nhanh bằng tay từng giá trị nguyên và tìm giá trị cho phương trình bằng 0. Tuy nhiên, nếu không muốn dành thời gian làm việc này, có cách làm nhanh hơn đôi chút liên quan đến kỹ thuật có tên là quy tắc Ruffini, được dùng để chia đa thức bậc một thông qua các hệ số. Về cơ bản, bạn sẽ muốn chia một cách không tự nhiên giá trị nguyên cho hệ số gốc a, b, c và d trong phương trình bậc ba. Nếu phần dư bằng 0, đó là một trong những nghiệm của phương trình.
|
