Cho tam giác ABC vuông tại A đường thẳng AB có phương trình 2x y 1 = 0
|
Gia sư Thành Đượcwww.daythem.edu.vnBÀI TẬP: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG OxyBài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; -2), đường cao CH : x – y+ 1 = 0, đường phân giác trong BN : 2x + y + 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C và tính diện tích tamgiác ABC.Bài làm :AB đi qua A(1 ;-2) và AB ⊥ CH ⇒ AB : x + y + 1 = 0x + y + 1 = 0 x = −4⇒B = AB ∩ BN nên tọa độ điểm B là nghiệm của hpt 2 x + y + 5 + 0y = 3⇒ B(-4 ; 3)Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua BN thì A’ ∈ BC.Phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với BN là d : x – 2y – 5 = 0.Gọi I = d ∩ BN thì tọa độ điểm M là nghiệm của hệ pt :x − 2 y − 5 = 0 x = −1⇒⇒ I(--1;-3).2 x + y + 5 + 0 y = −3I là trung điểm của AA’ nên A’(-3 ;-4)Phương trình đường thẳng BC : 7x + y + 1 = 0C= BC ∩ CH nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ pt :13 x = − 47 x + y + 25 = 0⇒9x − y + 1 = 0 y = − 413 9;− )4 415 2BC =, d(A,BC) = 3 2 ;445SABC =24⇒ C( −Bài 2:Trong mặt phẳng oxy cho ∆ABC có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y- 7 = 0 .Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình : x + y +1 = 0 . Xác định tọa độ B và C .Tính diện tích ∆ABC .Bài làm :- Đường thẳng (AC) qua A(2;1) và vuông góc với đường cao kẻ qua B , nên có véc tơ chỉ phươngrx = 2 + tn = ( 1; −3) ⇒ ( AC ) : ( t ∈ R) y = 1 − 3tx = 2 + t- Tọa độ C là giao của (AC) với đường trung tuyến kẻ qua C : ⇒ y = 1 − 3tx + y +1 = 0Gia sư Thành Đượcwww.daythem.edu.vnGiải ta được : t=2 và C(4;-5). Vì B nằm trên đường cao kẻ qua B suy ra B(3a+7;a) . M là trung 3a + 9 a + 1 ;điểm của AB ⇒ M ÷.2 2- Mặt khác M nằm trên đường trung tuyến kẻ qua C :3a + 9 a + 1⇔++ 1 = 0 ⇔ a = −3 ⇔ B ( 1; −2 )22uuur12x − 2 y −1=⇔ 3 x − y − 5 = 0, h ( C; AB ) =- Ta có : AB = ( −1; −3) ⇔ AB = 10, ( AB ) :1310111210.= 6 (đvdt).- Vậy : S ABC = AB.h ( C , AB ) =2210Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biếttrực tâm H (1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K (0; 2) , trung điểm cạnh AB là M (3;1) .Bài làm :- Theo tính chất đường cao : HK vuông góc với AC chonênuuur (AC) qua K(0;2) có véc tơ pháp tuyếnKH = ( 1; −2 ) ⇒ ( AC ) : x − 2 ( y − 2 ) = 0 ⇔ x − 2 y + 4 = 0 .AK(0;2)-uuBurnằm trên (BH) qua H(1;0) và có véc tơ chỉ phươngKH = ( 1; −2 ) ⇒ B ( 1 + t ; −2t ) .M(3;1)H(1;0)- M(3;1) là trung điểm của AB cho nên A(5-t;2+2t).- Mặt khác A thuộc (AC) cho nên : 5-t-2(2+2t)+4=0 , suyBCra t=1 . Do đó A(4;4),B(2;-2)- uVìuur C thuộc (AC) suyuuurra C(2t;2+t) ,BC = ( 2t − 2; 4 + t ) , HA = ( 3; 4 ) . Theo tính chất đường cao kẻ từ A :uuur uuur⇒ HA.BC = 0 ⇒ 3 ( 2t − 2 ) + 4 ( 4 + t ) = 0 → t = −1 . Vậy : C(-2;1).uuurrx−4 y−4=- (AB) qua A(4;4) có véc tơ chỉ phương BA = ( 2;6 ) // u = ( 1;3) ⇒ ( AB ) :13⇔ 3x − y − 8 = 0uuur- (BC) qua B(2;-2) có véc tơ pháp tuyến HA = ( 3; 4 ) ⇒ ( BC ) : 3 ( x − 2 ) + 4 ( y + 2 ) = 0⇔ 3x + 4 y + 2 = 0 .Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x– 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìmtoạ độ các đỉnh của hình chữ nhậtBài làm :Dễ nhận thấy B là giao của BD với AB cho nên tọa dộ B là nghiệm của hệ :x − 2 y +1 = 0 21 13 ⇒ B ; ÷ 5 5 x − 7 y + 14 = 0- Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và vuông góc với (AB) cho nên có véc tơ chỉ phương:21r x = 5 + tu = ( 1; −2 ) ⇒ ( BC ) : y = 13 − 2t5Gia sư Thành Đượcwww.daythem.edu.vn- Ta có : R ( AC , BD ) = R BIC = 2R ABD = 2ϕ = 2R ( AB, BD )uur uuruururn1.n21 + 14153==r =- (AB) có n1 = ( 1; −2 ) , (BD) có n2 = ( 1; −7 ) ⇒ cosϕ = ur uu5 50 5 1010n1 n2r- Gọi (AC) có n = ( a, b ) ⇒ cos ( AC,BD ) = cos2ϕ =a-7b49= 2 cos 2 ϕ − 1 = 2 ÷− 1 =5 10 50 a 2 + b 2- Do đó : ⇒ 5 a − 7b = 4 50 a 2 + b 2 ⇔ ( a − 7b ) = 32 ( a 2 + b 2 ) ⇔ 31a 2 + 14ab − 17b 2 = 021717a = − b ⇒ ( AC ) : − ( x − 2 ) + ( y − 1) = 0 ⇔ 17 x − 31 y − 3 = 03131- Suy ra : a = b ⇒ ( AC ) : x − 2 + y − 1 = 0 ⇔ x + y − 3 = 021x=+t5137 14 5 - (AC) cắt (BC) tại C ⇒ y = − 2t ⇔ t = ⇒ C ; ÷515 3 3x − y − 3 = 0x − 2 y +1 = 0x = 7⇔⇔ A ( 7; 4 )- (AC) cắt (AB) tại A : ⇔ x − y − 3 = 0y = 4x = 7 + t- (AD) vuông góc với (AB) đồng thời qua A(7;4) suy ra (AD) : y = 4 − 2tx = 7 + t7 98 46 ⇒ t = ⇒ D ; ÷- (AD) cắt (BD) tại D : y = 4 − 2t15 15 15 x − 7 y + 14 = 0- Trường hợp (AC) : 17x-31y-3=0 các em làm tương tự .Bài 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0). Haiđỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0. Viếtphương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BGBài làm :x = t- B thuộc d suy ra B : , C thuộc d' choA(2;3) y = −5 − t x = 7 − 2mx+2y-7=0nên C: .y = mG(2;0)- Theo tính chất trọng tâm :C( t − 2m + 9 ) = 2, y = m − t − 2 = 0⇒ xG =MBG33x+y+5=0m − t = 2m = 1⇔- Ta có hệ : t − 2m = −3 t = −1Gia sư Thành Đượcwww.daythem.edu.vnr- Vậy : B(-1;-4) và C(5;1) . Đường thẳng (BG) qua G(2;0) có véc tơ chỉ phương u = ( 3; 4 ) , cho20 − 15 − 8 13x−2 y= ⇔ 4 x − 3 y − 8 = 0 ⇒ d ( C ; BG ) == =R34551316922- Vậy đường tròn có tâm C(5;1) và có bán kính R= ⇒ ( C ) : ( x − 5 ) + ( y − 1) =525Bài 6: Trong mp (Oxy) cho đường thẳng (∆) có phương trình: x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A(-1;2); B (3;4). Tìm điểm M ∈ (∆) sao cho 2MA 2 + MB 2 có giá trị nhỏ nhấtBài làm :- M thuộc ∆ suy ra M(2t+2;t )nên (BG):- Ta có : MA2 = ( 2t + 3) + ( t − 2 ) = 5t 2 + 8t + 13 ⇒ 2MA2 = 10t 2 + 16t + 2622Tương tự : MB 2 = ( 2t − 1) + ( t − 4 ) = 5t 2 − 12t + 17222- Do dó : f(t)= 15t + 4t + 43 ⇒ f ' ( t ) = 30t + 4 = 0 → t = −2. Lập bảng biến thiên suy ra min f(t)152641 26 2 đạt được tại t = − ⇒ M ; − ÷1515 15 15 Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x - y - 2= 0, phương trình cạnh AC: x + 2y - 5 = 0. Biết trọng tâm của tam giác G(3; 2). Viết phương trìnhcạnh BCBài làm :- y - 2 = 0, phương trình cạnh AC: x + 2y - 5 = 0. Biết trọng tâm của tam giác G(3; 2). Viết phươngtrình cạnh BCx − y − 2 = 0⇔ A ( 3;1)- (AB) cắt (AC) tại A : ⇒ x + 2 y − 5 = 0=- B nằm trên (AB) suy ra B(t; t-2 ), C nằm trên (AC) suy ra C(5-2m;m)t − 2m + 8=3 xG =t − 2m = 1 m = 2 → C ( 1; 2 )3⇔⇔- Theo tính chất trọng tâm : t + m = 7 y = t + m −1 = 2t = 5 → B ( 5;3)G3Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phươngtrình x+y+1=0 trung tuyến từ đỉnh C có phương trình : 2x-y-2=0 . Viết phường trình đường trònngoại tiếp tam giác ABCBài làm :- Đường thẳng d qua A(3;0) và vuôngr góc với(BH) cho nên có véc tơ chỉ phương u = ( 1;1) doB2x-y-2=0x = 3 + tđó d : . Đường thẳng d cắt (CK) tại C :Ky = tx = 3 + tA(3;0)→ t = −4 ⇔ C ( −1; −4 )y = tCH2 x − y − 2 = 0x+y+1=0Gia sư Thành Đượcwww.daythem.edu.vn- Vì K thuộc (CK) : K(t;2t-2) và K là trung điểm của AB cho nên B đối xứng với A qua K suy raB(2t-3;4t-4) . Mặt khác K lại thuộc (BH) cho nên : (2t-3)+(4t-4)+1=0 suy ra t=1 và tạo độ B(-1;0) .22222Gọi (C) : x + y − 2ax − 2by + c = 0 ( a + b − c = R > 0 ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .1a=9 − 6a + c = 02⇒ b = 0Cho (C) qua lần lượt A,B,C ta được hệ : 4 + 4a + c = 05 + 2a + 8b + c = 0 c = −62125- Vậy (C) : x − ÷ + y 2 =24Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vuông có đỉnh (-4;5) và một đường chéo có phương trình :7x-y+8=0 . Viết phương trình chính tắc các cạnh hình vuôngBài làm :- Gọi A(-4;8) thì đường chéo (BD): 7x-y+8=0. Giả sử B(t;7t+8) thuộc (BD).- Đường chéo (AC) qua A(-4;8) và vuông góc với (BD) cho nên có véc tơ chỉ phươngr x = − 4 + 7tx+4 y −5u ( 7; −1) ⇒ ( AC ) : ⇔=⇔ x + 7 y − 39 = 0 . Gọi I là giao của (AC) và (BD)7−1y = 5−t x = −4 + 7t1 1 9→ t = ⇔ I − ; ÷ ⇔ C ( 3; 4 )thì tọa độ của I là nghiệm của hệ : y = 5 − t2 2 27 x − y + 8 = 0uuuruuur- Từ B(t;7t+8) suy ra : BA = ( t + 4;7t + 3) , BC = ( t − 3;7t + 4 ) . Để là hình vuông thì BA=BC :t = 02Và BAvuông góc với BC ⇔ ( t + 4 ) ( t − 3) + ( 7t + 3) ( 7t + 4 ) = 0 ⇔ 50t + 50t = 0 ⇔ t = −1t = 0 → B ( 0;8 ) B ( 0;8 ) → D ( −1;1)⇔. Tìm tọa độ của D đối xứng với B qua I ⇒ t = −1 → B ( −1;1) B ( −1;1) → D ( 0;8 )uuurx + 4 y −5=- Từ đó : (AB) qua A(-4;5) có u AB = ( 4;3) → ( AB ) :43uuurx+4 y −5=(AD) qua A(-4;5) có u AD = ( 3; −4 ) → ( AB ) :3−4uuurx y −8(BC) qua B(0;8) có u BC = ( 3; −4 ) ⇒ ( BC ) : =3−4uuurx +1 y −1=(DC) qua D(-1;1) có u DC = ( 4;3) ⇒ ( DC ) :43* Chú ý : Ta còn cách giải khác1x 31- (BD) : y = 7 x + 8 , (AC) có hệ số góc k = − và qua A(-4;5) suy ra (AC): y = + .77 7Gia sư Thành Đượcwww.daythem.edu.vn x A + xC = 2 xIy + y = 2yCI A⇒-Gọi I là tâm hình vuông : yI = 7 xI + 8 ⇒ C ( 3; 4 ) y = − xC + 31 C7 7rrrr r r0- Gọi (AD) có véc tơ chỉ phương u = ( a; b ) , ( BD ) : v = ( 1;7 ) ⇒ a + 7b = uv = u v cos45333⇒ ( AD ) : y = ( x + 4 ) + 5 = x + 8444441337Tương tự : ( AB ) : y = − ( x + 4 ) + 5 = − x − , ( BC ) : y = ( x − 3 ) + 4 = x + và đường thẳng33344444(DC): y = − ( x − 3) + 4 = − x + 833Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình đường thẳng AB, BC lần lượt là:x + 2y – 5= 0 và 3x – y + 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC, biết rằng AC đi qua điểm F(1; - 3).Bài làm :- Ta thấy B là giao của (AB) và (BC) cho nên tọa độ B9Ax=−x+2y−5=07⇒là nghiệm của hệ : x+2y-5=03 x − y + 7 = 0 y = − 22F(1;-3)7 9 22 ⇔ B − ; − ÷. Đường thẳng d' qua A vuông góc với7 BC 73x-y+7=0rr1(BC) có u = ( 3; −1) ⇒ n = ( 1;3) ⇔ k = − . (AB) có31k AB = − . Gọi (AC) có hệ số góc là k ta có phương211 11k =−− +k+83 ⇔ 1 = 3k + 1 ⇔ 15k + 5 = 3 − k ⇔ 15k + 5 = 3 − k ⇔ trình : 2 3 =11k5 3− k15k + 5 = k − 3k = − 41−1−233711- Với k=- ⇒ ( AC ) : y = − ( x − 1) − 3 ⇔ x + 8 y + 23 = 08844- Với k= ⇒ ( AC ) : y = − ( x + 1) − 3 ⇔ 4 x + 7 y + 25 = 077⇔ a + 7b = 5 a 2 + b 2 . Chọn a=1, suy ra b =Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng d1: 2x + y + 5 = 0, d2: 3x + 2y – 1 = 0 và điểmG(1;3). Tìm tọa độ các điểm B thuộc d1 và C thuộc d2 sao cho tam giác ABC nhận điểm G làmtrọng tâm. Biết A là giao điểm của hai đường thẳng d1 và d 2Bài làm :2x+y+5=0 x = −11⇔⇒ A ( −11;17 )- Tìm tọa độ A là nghiệm của hệ : 3 x + 2 y − 1 = 0 y = 17Gia sư Thành Được- Nếu C thuộcd1 ⇒ C ( t ; −2t − 5 )www.daythem.edu.vnC, B ∈ d 2 ⇒ B ( 1 + 2m; −1 − 3m )3x+2y-1=0- Theo tính chất trọng tâm của tam giác ABC khi G là t + 2m − 10=1Mt + 2m = 13A3G⇔trọng tâm thì : 11 − 2t − 3m = 3 2t + 3m = 232x+y+5=0t = 13 − 2mt = 13 − 2m t = −35B⇔⇔⇒2 ( 13 − 2m ) + 3m = 2m = 24 m = 24- Vậy ta tìm được : C(-35;65) và B( 49;-53).Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ độ Oxy, cho tam giác ABC có C(1;2), hai đường cao xuất phát từA và B lần lượt có phương trình là x + y = 0 và 2x – y + 1 = 0. Tính diện tích tam giác ABC.Bài làm :- (AC) qua C(1;2) và vuông góc với đường cao BK cho nên có :rx −1 y − 2u = ( 2; −1) ⇒ ( AC ) :=⇔ x + 2y −5 = 02−13x=2 x − y + 1 = 05 3 11 5⇔⇔ A ; ÷⇒ AC =- (AC) cắt (AH) tại A : 55 5 x + 2 y − 5 = 0 y = 115uuurx = 1+ t- (BC) qua C(1;2) và vuông góc với (AH) suy ra u BC = ( 1;1) ⇒ ( BC ) : y = 2+tx = 1+ t3 1 1- (BC) cắt đường cao (AH) tại B ⇔ y = 2 + t → t = − ⇔ B − ; ÷2 2 2x + y = 01− +1− 591 5 99- Khoảng cách từ B đến (AC) : 2=⇒S=.=2 5 2 5 2052 5 13 13 Bài 13: Trong mpOxy, cho ∆ABC có trục tâm H ; ÷, pt các đường thẳng AB và AC lần lượt5 5là: 4x − y − 3 = 0, x + y − 7 = 0. Viết pt đường thẳng chứa cạnh BC.Bài làm :4 x − y − 3 = 0- Tọa độ A là nghiệm của hệ : x + y − 7 = 0A(2;5)K4x-y-3=0Bx+y-7=0HECGia sư Thành Đượcwww.daythem.edu.vnuuur 3 12 rrSuy ra : A(2;5). ⇒ HA = − ; ÷// u ( 1; −4 ) . Suy ra (AH) có véc tơ chỉ phương u ( 1; −4 ) . (BC) 5 5r rvng góc với (AH) cho nên (BC) có n = u ( 1; −4 ) suy ra (BC): x-4y+m=0 (*).uuur 13uuur22 uuur- C thuộc (AC) suy ra C(t;7-t ) và CH = − t ; t − ÷⇒ u AB = ( 1; 4 ) ⊥ CH . Cho nên ta có :5 513 22 − t + 4 t − ÷ = 0 → t = 5 ⇔ C ( 5; 2 ) .55 r- Vậy (BC) qua C(5;2) có véc tơ pháp tuyến n = ( 1; −4 ) ⇒ ( BC ) : ( x − 5 ) − 4 ( y − 2 ) = 0Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ∆ABC có đỉnh A(4; 3), đường cao BH và trungtuyến CM có pt lần lượt là: 3x − y + 11 = 0, x + y − 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B, CBài làm : x = 4 + 3tĐường thẳng (AC) qua A(4;3) và vng góc với (BH) suy ra (AC) : y = 3−t x = 4 + 3t→ 2t + 6 = 0 → t = −3 ⇔ C ( −5;6 )(AC) cắt trung tuyến (CM) tại C : y = 3 − tx + y −1 = 0- B thuộc (BH) suy ra B(t;3t+11 ). Do (CM) là trung tuyến cho nên M là trung điểm của AB , đồng t + 4 3t + 14 B;thời M thuộc (CM) . ⇒ M ÷2 2t + 4 3t + 14MM ∈ ( CM ) ⇒+− 1 = 0 ⇒ t = −4 .x+y-1=022Do đó tọa độ của B(-4;-1) và M(0;1 ).CHA(4;3)Bài 15: Lập ph. trình các cạnh của ∆ ABC, biết đỉnhA(1 ; 3) và hai đường trung tuyến xuất phát từ B và Ccó ph.trình là: x– 2y +1= 0 và y –1= 0.Bài làm :Gọi G là trọng tâm tam giác thì tọa độ G là nghiệmx − 2 y +1 = 0⇒ G ( 1;1) . E(x;y) thuộccủa hệ y −1 = 0(BC),uuur theo tínhuuurchất trọng tâm ta cóuuur:uuurGA = ( 0; 2 ) , GE = ( x − 1; y − 1) ⇒ GA = −2GE0 = −2 ( x − 1)⇔⇒ E ( 1;0 ) . C thuộc (CN) cho2 = −2 ( y − 1)nên C(t;1), B thuộc (BM) cho nên B(2m-1;m) . DoB,C đối xứng nhau qua E cho nên ta có hệ phươngtrình :3x-y+11=0A(1;3)Ny-1=0BMx-2y+1=0GCEA'Gia sư Thành Đượcwww.daythem.edu.vn 2m + t − 1 = 2t = 5⇔⇒ B ( 5;1) , C ( −3; −1) . Vậy (BC) qua E(1;0) có véc tơ chỉ phươngm + 1 = 0 m = −1uuurrx −1 yBC ( −8; −2 ) // u = ( 4;1) ⇒ ( BC ) := ⇔ x − 4 y − 1 = 0 . Tương tự :41uuurrx −1 y − 3=⇔ x + 2y −7 = 0 .(AB) qua A(1;3) có AB = ( 4; −2 ) // u = ( 2; −1) ⇒ ( AB ) :2−1uuurrx −1 y − 3=⇔ x− y+2=0(AC) qua A(1;3) có AC = ( −4; −4 ) // u = ( 1;1) ⇒ ( AC ) :11* Chý ý : Hoặc gọi A' đối xứng với A qua G suy ra A'(1;-1) thì BGCA' là hình bình hành , từ đó tatìm được tọa độ của 2 đỉnh B,C và cách lập các cạnh như trên.Bài 16: Cho tam giác ABC có trung điểm AB là I(1;3), trung điểm AC là J(-3;1). Điểm A thuộcOy , và đường thẳng BC đi qua gốc tọa độ O . Tìm tọa độ điểm A , phương trình đường thẳng BCvà đường cao vẽ từ B ?Bài làm :- Do A thuộc Oy cho nên A(0;m). (BC) qua gốc tọa độO cho nên (BC): ax+by=0 (1).A- Vì IJ là 2 trung điểm của (AB) và (AC) cho nên IJH//BCursuy ra (BC) cóvéctơchỉphương:rJ(-3;1)⇔ IJ = ( −4; −2 ) // u = ( 2;1) ⇒ ( BC ) : x − 2 y = 0 .I(1;3)- B thuộc (BC) suy ra B(2t;t) và A(2-2t;6-t) . Nhưng Athuộc Oy cho nên : 2-2t=0 , t=1 và A(0;5). Tương tựBCC(-6;-3) ,B(0;1).ax+by=0- Đường cao BH qua B(0;1) và vuông góc với AC chonên cóuuurrx y −1AC = ( −6; −8 ) // u = ( 3; 4 ) ⇒ ( BH ) : =⇔ 4x − 3y + 3 = 034Bài 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x+2y-3=0 và hai điểm A(1;0) ,B(3;-4).uuur uuurHãy tìm trên d điểm M sao cho : MA + 3MB nhỏ nhấtBàiuuuruuurlàm :uuur- Trên d có M(3-2t;t) suy ra : MA = ( 2 − 2t ; t ) , MB = ( −2t; t + 4 ) ⇒ 3MB = ( −6t + 3t + 12 )uuur uuuruuur uuur22- Do vậy : MA + 3MB = ( 2 − 8t ; 4t + 12 ) ⇒ MA + 3MB = ( 2 − 8t ) + ( 4t + 12 )2uuur uuur2676 26- Hay : f(t)= MA + 3MB = 80t 2 + 64t + 148 = 80 t + ÷ +. Dấu đẳng thức xảy ra khi≥55 5262 19 2 t= − ⇒ M ; − ÷. Khi đó min(t)=.555 5Bài 18: Trong (Oxy) cho hình chữ nhật ABCD , biết phương trình chứa 2 đường chéo làd1 : 7 x + y − 4 = 0 và d 2 : x − y + 2 = 0 . Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh hình chữ nhật ,biết đường thẳng đó đi qua điểm M(-3;5).Bài làm :7 x + y − 4 = 01 9⇒I ; ÷- Tâm của hình chữ nhật có tọa độ là nghiệm của hệ : 4 4x − y + 2 = 0Gia s Thnh cwww.daythem.edu.vnrGi d l ng thng qua M(-3;5 ) cú vộc t phỏp tuyn : n ( a; b ) . Khi ú d : a ( x + 3) + b ( y 5 ) = 0 ( 1) . Gi cnh hỡnh vuụng (AB) qua M thỡ theo tớnh cht hỡnh ch nhtrurruurnn1nn27a + ba b a = 3b= 7a + b = 5 a b r : r ur = r uun n1n n250 a 2 + b 22 a 2 + b2b = 3a a = 3b d : 3 ( x + 3) + ( y 5 ) = 0 3 x y + 14 = 0Do ú : b = 3a ( x + 3) + 3 ( y 5 ) = 0 x + 3 y 12 = 0Bi 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1) , B (2; 5) , đỉnh C nằm trên đờng thẳng x 4 = 0 , và trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng 2 x 3 y + 6 = 0 . Tính diệntích tam giác ABC.Bi lm :Vì G nằm trên đờng thẳng x + y 2 = 0 nên G có tọa độ G = (t ; 2 t ) . Khi đó AG = (t 2;3 t ) ,AB = (1;1) Vậy diện tích tam giác ABG là2t 32Nếu diện tích tam giác ABC bằng 13,5 thì diện tích tam giác ABG bằng 13,5 : 3 = 4,5 . Vậy2t 3= 4,5 , suy ra t = 6 hoặc t = 3 . Vậy có hai điểm G : G1 = (6;4) , G 2 = (3;1) . Vì G là trọng2tâm tam giác ABC nên xC = 3 xG ( xa + xB ) và yC = 3 yG ( ya + y B ) .Với G1 = (6;4) ta có C1 = (15;9) , với G 2 = (3;1) ta có C2 = ( 12;18)Bi 20: Tam giỏc cõn ABC cú ỏy BC nm trờn ng thng : 2x 5y + 1 = 0, cnh bờn AB nmtrờn ng thng : 12x y 23 = 0 . Vit phng trỡnh ng thng AC bit rng nú i qua im(3;1)Bi lm :ng thng AC i qua im (3 ; 1) nờn cú phng trỡnh : a(x 3) + b( y 1) = 0 (a2 + b2 0)2a 5b2.12 + 5.1=Gúc ca nú to vi BC bng gúc ca AB to vi BC nờn : 2 22 + 5 . a 2 + b222 + 52 . 122 + 12S =12(AG 2 . AB 2 AG. AB)2=12[]2 (t 2) 2 +(3 t ) 2 1 = a = 12b 5 ( 2a 5b ) = 29 ( a + b ) 9a + 100ab 96b = 0 a = 8 b9Nghim a = -12b cho ta ng thng song song vi AB ( vỡ im ( 3 ; 1) khụng thuc AB) nờnkhụng phi l cnh tam giỏc . Vy cũn li : 9a = 8b hay a = 8 v b = 9Phng trỡnh cn tỡm l : 8x + 9y 33 = 02a 5b29=225a +b22222 |
