Có bao nhiêu cách chia hết 10 món quà giống nhau cho 3 người

• 3 Tháng một 2019

• #1

Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Số cách chia 10 phần quà cho 3 bạn sao cho ai cũng có ít nhất 2 phần quà là

 

matheverytime

Học sinh tiến bộ

Thành viên

19 Tháng sáu 20171,1701,12620120Bình ĐịnhĐại học Khoa Học Tự Nhiên - ĐHQG TPHCM

• 3 Tháng một 2019

• #2

Hát Hai Ô

Học sinh chăm học

Thành viên

20 Tháng bảy 2018580337101Nghệ An..................................

• 3 Tháng một 2019

• #3

Last edited: 3 Tháng một 2019

Do mỗi người nhận được ít nhất một đồ vật nên trong 3 người có: 2 người nhận 1 đồ, 1 người nhận 2 đồ.

Bước 1: Chọn 2 đồ vật trong 4 đồ vật.

Bước 2: Hoán vị : 2 đồ vật + 1 nhóm 2 đồ vật (chia cho 3 người).

Có bao nhiêu cách chia hết 30 món quà như nhau cho 6 đứa trẻ sao cho các phần quà có số lượng khác nhau và mỗi phần quà có ít nhất 1 món quà.

Gọi $x_{1},x_{2},..,x_{6}$ là số quà mỗi phần. Không mất tính tổng quát, giả sử $ x_{1}< x_{2}< ...< x_{6}$ ta có:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=30 $ với $ x_{i}\geq 1 $

Đặt:

$x_{1}=z_{1}$

$x_{2}=x_{1}+z_{2}=z_{1}+z_{2}$

$x_{3}=x_{2}+z_{3}=z_{1}+z_{2}+z_{3}$

$x_{4}=x_{3}+z_{4}=z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}$

$x_{5}=x_{4}+z_{5}=z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}+z_{5}$

$x_{6}=x_{5}+z_{6}=z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}+z_{5}+z_{6}$

$\Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=6z_{1}+5z_{2}+4z_{3}+3z_{4}+2z_{5}+z_{6}=30$

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} 6z_{1}+5z_{2}+4z_{3}+3z_{4}+2z_{5}+z_{6}&=30 \\ z_{i}&\geq 1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 6z_{1}+5z_{2}+4z_{3}+3z_{4}+2z_{5}+z_{6}&=30-21=9 \\ z_{i}&\geq 0 \end{matrix}\right.$   $ (*)$

Theo qui tắc xoắn thì hàm sinh của $ (*)$ là 

$G\left ( z \right )=\frac{1}{\left ( 1-z \right )\left ( 1-z^{2} \right )\left ( 1-z^{3} \right )\left ( 1-z^{4} \right )\left ( 1-z^{5} \right )\left ( 1-z^{6} \right )}$

Khai triển $G\left ( z \right )=...+20z^{8}+26z^{9}+35z^{10}+...$

Vậy số cách chia quà thỏa yêu cầu là:

$\left [ z^{9} \right ].6!=26.720=18720\text{ cách}$

Bạn làm sai hoàn toàn rồi

Nếu chỉ giả sử số kẹo tăng dần từ $x_1 \to x_6$ thì nó cũng có thể giảm từ $x_6 \to x_1$ mà và còn nhiều trường hơp nữa.