Công thức tổ hợp tam giác Pascals
|
Nếu bạn thấy thông báo này, điều đó có nghĩa là chúng tôi đang gặp sự cố khi tải các tài nguyên bên ngoài trên trang web của mình Show Nếu bạn đang sử dụng bộ lọc web, vui lòng đảm bảo rằng các miền *. kastatic. tổ chức và *. kasandbox. org được bỏ chặn Lưu ý tính đối xứng, ngoài số đầu và số cuối mỗi số hạng 1 là tổng của hai số hạng trên Xét lại Tam giác Pascal trong đó mỗi số nhận được bằng tổng của hai số lân cận ở hàng trước. Cách các mục được xây dựng trong bảng dẫn đến Công thức Pascal Định lý 6. 6. 1 Công thức Pascal topCho n và r là các số nguyên dương và giả sử r � n. sau đó  Ví dụ 6. 6. 5 Rút ra công thức mới từ công thức PascalSử dụng công thức Pascal để rút ra công thức cho n +2Cr theo nCr, nCr - 1, nCr - 2, trong đó n và r không âm . Giải pháp. Theo công thức Pascal, n +2Cr = n + 1Cr - 1 + n + 1CrÁp dụng lại công thức Pascal cho mỗi số hạng ở vế phải (RHS) của phương trình này, n +2Cr = nCr - 2 + nCr - 1 + nCr - 1 + nCr,với mọi số nguyên không âm n và r sao cho 2 � r � n + 2. 5 C3 = 3C1 + 2(3C2) + 3C35 C3 = 3 + 2(3) + 1 = 10Chúng ta có thể sử dụng công thức mới này để tính 5C4 không? Bây giờ hãy sử dụng công thức này để tính giá trị của 7C5 7 C5 = 5C3 + 2(5C4) + 5C57 C5 = 10 + 2(5) + 1 = 21Nhị thức là đa thức có hai số hạng. Có thể học một phương pháp nhanh chóng để nâng một nhị thức lên lũy thừa bằng cách nhìn vào các mẫu liên quan đến khai triển nhị thức. Để bắt đầu, chúng ta xem xét khai triển của (x + y)n cho một số giá trị của n (x + y)0 = 1 (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 (x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 Chúng ta có thể thực hiện một số quan sát
Thử nó. (x + c)3 = x3 + 3x2c + 3xc2 + c3 trái ngược với phương pháp tay dài tẻ nhạt hơn x + c * x + c ------------------------ cx c2 + x 2x c------------------------ x 22xc c2 * x + c ------------------------------- x 2c2xc2 c3 + x 32x2c x c2------------------------------- x 3 + 3x2c + 3xc2 + c3Khai triển nhị thức của một hiệu cũng dễ dàng, chỉ cần đổi dấu. Nói chung khai triển của nhị thức (x + y)n được cho bởi Định lý nhị thức. Bạn có thể thấy cách công thức này xen kẽ các dấu hiệu để mở rộng sự khác biệt không? Ví dụ 6. 7. 1 Thay thế vào Định lý nhị thứcMở rộng các biểu thức sau bằng định lý nhị thức. a. (a + b)5 b. (x - 4y)4. Giải pháp a. (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 Giải pháp b. (x - 4y)4 = x4 + 4x3(-4y) + 6x2(-4y)2 + 4x(-4y)3 + (-4y)4 (x - 4y)4 = x4 - 16x3y + 6(16)x2y2 - 4(64)xy3 + 256y4 (x - 4y)4 = x4 - 16x3y + 96x2y2 - 256xy3 + 256y4 Ví dụ 6. 7. 3 Rút ra một đẳng thức tổ hợp khác từ định lý nhị thứcSử dụng định lý nhị thức để chứng minh rằng với mọi số nguyên n ³ 0 Dung dịch. Vì 2 = (1 + 1) và 2n = (1 + 1)n, hãy áp dụng định lý nhị thức cho biểu thức này vì 1n - r = 1 và 1r = 1 Số tập hợp con của một tập hợp Định lý 5. 3. 6 Với mọi số nguyên n ³ 0, nếu tập X có n phần tử thì lũy thừa của X, kí hiệu là P(X), có 2n phần tử. Bằng chứng. Giả sử S là tập hợp có n phần tử. Khi đó mọi tập con của S đều có một số phần tử k, trong đó k nằm trong khoảng từ 0 đến n. Theo đó, tổng số tập con của S, lực lượng của tập lũy thừa của S, có thể được biểu diễn dưới dạng tổng sau. Số
Số
Số
Số Lúc này số tập con cấp k của tập có n phần tử là nCk. Do đó số tập con của S Tam giác Pascal trong các kết hợp là gì?Các mục trong tam giác Pascal, đơn giản là một chồng các hệ số nhị thức , thực ra là số tổ hợp của N lấy n trong đó N .
Công thức của tam giác Pascal là gì?Công thức tam giác Pascal là (n+1r)=(nr−1)+(nr) ( n + 1 r ) = ( .
3 mẫu trong tam giác Pascal là gì?Mô hình đường chéo trong tam giác Pascal được tạo bởi các số đếm, tam giác và tứ diện |
