search

Bai tap thày nguyen thanh van toán cao cap năm 2024

Ngày đăng: 26/04/2024
Trả lời: 0
Lượt xem: 111

Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006), Bài tập Toán học cao cấp, tập 1: Đại số và hình học giải tích, NXB Giáo dục Hà Nội.

[3] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Trần Việt Dũng, Trần Xuân Hiển, Nguyễn Xuân Thảo(2015). Toán học cao cấp, tập 2: Giải tích, NXB Giáo dục Hà Nội.

[4] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Trần Việt Dũng, Trần Xuân Hiển, Nguyễn Xuân Thảo (2017). Bài tập Toán học cao cấp, tập 2: Giải tích, NXB Giáo dục Hà Nội.

  • Bài tập Xstk chọn lọc dành cho sinh viên ĐH ĐIỆN LỰC: download BT-XSTK.
  • Bài tập Toán cao cấp 1 dành cho sinh viên ĐH ĐIỆN LỰC(Chương trình mới): Tải bài tập toán 1;
  • Bài tập Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên ĐH ĐIỆN LỰC(Chương trình mới): Tải bài tập Toán 2.

@@@@@@@@@@@@@@@@@

  • Bài tập Toán cao cấp 1,2,3 chọn lọc dành cho sinh viên ĐH ĐIỆN LỰC(chương trình cũ): download BT-Toán 1; download BT-Toán 2; download BT-Toán 3.
  • PDE VNU-IS Sach 1, Sách 2, Slide
  • Bài tập Xstk chọn lọc dành cho sinh viên UEB-VNU: download BT-XSTK.

@@@@@@@@@@@@@@@@@

  • Slide bài giảng Toán cao cấp 1 download Ở ĐÂY
  • Slide bài giảng XSTK download Ở ĐÂY
  • Bài tập Xstk chọn lọc cho các trường kinh tế download Ở ĐÂY
  • Sách XSTK tiếng Anh: Probability & Statistics for Engineers & Scientists (9th Edition) – Walpole
  • Giáo trình XSTK(Nguyễn Cao Văn): 3. Lý Thuyết Xác Suất và Thống kê toán – Pgs.Ts.Nguyễn Cao Văn, 662 Trang
  • Sách bài tập XSTK (Nguyễn Cao Văn): btxsnguyencaovan1
  • Sách bài tập XSTK(Đào Hữu Hồ): giaibaitapxacsuatthongkedaohuuho-130209075521-phpapp01
  • Sách toán Cao cấp 1,2,3 Nguyễn Đình Trí: Toan cao cap 1; Toan cao cap2; TOANCAO CAP TAP 3
  • Bài tập toán Cao cấp 1,2,3 Nguyễn Đình Trí: Bài Tập Toán Cao Cấp 1- Phép Tính Giải Tích – Nguyễn Đình Trí; Bài Tập Toán Cao Cấp 2- Phép Tính Giải Tích – Nguyễn Đình Trí; Bài Tập Toán Cao Cấp 3- Đại Số Và Hình Học Giải Tích – Nguyễn Đình Trí.
  • Sách ôn tập Toán cao cấp theo dạng các đề thi: ontaptoancaocap tap1; ontaptoancaocap tap2; ontaptoancaocap tap3; ontaptoancaocap tap4
  • Sách tiếng Anh môn giải tích hay download
  • Sách Lý thuyết hàm biến phức: Cơ Sở Lý Thuyết Của Hàm Biết Phức – Nguyễn Thủy Thanh, 566 Trang; Sách tiếng Anh: giao-trinh-ham-phuc .
  • Bài tập hàm biến phức:bthamphucd

Đề cương chi tiết môn toán 1: DECUONG TOAN 1

Đề cương chi tiết môn toán 2: DECUONG Toan 2

Đề cương chi tiết môn toán 3 download ở đây

Đề cương chi tiết XSTK: DC_SXTK

Đề cương chi tiết Hàm Biến Phức: ĐỀ CƯƠNG HÀM PHỨC _Đã chỉnh sửa_

Bộ cài Latex download ở đây fullMilkTex hướng dẫn cài download ở đây truy tìm ngược pdf –> tex download ở đây

Tất cả ký hiệu trong LaTeX: symbols-a4, thông dụng: Golatex; LatexSymbol1.

Phần mềm đọc sách Djvu down ở đây

Tài liệu ôn thi Olympic Sinh viên

TaskbarHide Download

Tài liệu NCS

Mẫu đề thi latex

  • 1. THUY’ THANH B`AI TˆA. P TO´AN CAO CˆA ´ P Tˆa. p 2 Ph´ep t´ınh vi phˆan c´ac h`am NH`A XUˆA ´ T BA ’ N DA. C QUˆO ´ C GIA H`A NˆO. I HO. I
  • 2. 7 Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ 3 7.1 Gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay sˆo´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o.i di. nh ngh˜ıa gi´o.i ha. n . 5 7.1.2 Ch´u.ng minh su. . hˆo. cu’ a d˜ay sˆo´ du. i tu. .a trˆen c´ac nh l´y vˆe` gi´o.i ha. di. n . . . . . . . . . . . . . . . . 11 7.1.3 Ch´u.ng minh su. . hˆo. i tu. .a trˆen diˆe`u cu’ a d˜ay sˆo´ du. n du’ dˆe’ d˜ay hˆo. kiˆe. i tu. (nguyˆen l´y Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . . . . . . . . 17 7.1.4 Ch´u.ng minh su. . hˆo. i tu. .a trˆen diˆe`u cu’ a d˜ay sˆo´ du. n cˆa`n v`a du’ dˆe’ d˜ay hˆo. kiˆe. i tu. (nguyˆen l´y hˆo.i tu. Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7.2 Gi´o.i ha. n h`am mˆo. t biˆe´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 m v`a di. 7.2.1 C´ac kh´ai niˆe. nh l´y co. ba’n vˆe` gi´o.i ha. n . . 27 7.3 H`am liˆen tu.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7.4 Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am nhiˆe`u biˆe´n . . . . . . . . 51 t biˆe´n 60 8 Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo. 8.1 D-a. o h`am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.1.1 D-a. o h`am cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.1.2 D-a. o h`am cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 8.2 Vi phˆan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8.2.1 Vi phˆan cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
  • 3. LU. C 8.2.2 Vi phˆan cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 nh l´y co. ba’n vˆe` h`am kha’ vi. Quy t˘a´c l’Hospital. 8.3 C´ac di. i. Cong ˆthu.´c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 8.3.1 Cac ´dnh ly ´co. ba’n vˆe` h`am kha’ vi . . . . . . . . 84 8.3.2 Khu. ’ c´ac da.ng vˆo di. nh. Quy t˘a´c Lˆopitan (L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.3.3 Cˆong th´u.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 9 Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆe`u biˆe´n 109 9.1 D- a. o h`amriˆeng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 9.1.1 D- o h`am riˆeng cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . 110 a. 9.1.2 D- o h`am cu’ a h`am ho. a. .p . . . . . . . . . . . . . . 111 9.1.3 H`am kha’ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9.1.4 D- o h`am theo hu.´o.ng . . . . . . . . . . . . . . . 112 a. 9.1.5 D- o h`am riˆeng cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . 113 a. 9.2 Vi phˆan cu’ a h`am nhiˆe`u biˆe´n . . . . . . . . . . . . . . . 125 9.2.1 Vi phˆan cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 9.2.2 ´Ap du.ng vi phˆan dˆe’ t´ınh gˆa `n d´ung . . . . . . . 126 9.2.3 C´ac t´ınh chˆa´t cu’ a vi phˆan . . . . . . . . . . . . 127 9.2.4 Vi phˆan cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 9.2.5 Cˆong th´u.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.2.6 Vi phˆan cu’ a h`am ˆa’n . . . . . . . . . . . . . . . 130 .c tri. cu’ a h`am nhiˆe`u biˆe´n . . . . . . . . . . . . . . . 145 9.3 Cu. .c tri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 9.3.1 Cu. .c tri. c´o diˆe`u kiˆe. 9.3.2 Cu. n . . . . . . . . . . . . . . . . 146 9.3.3 Gi´a tri. l´o.n nhˆa´t v`a b´e nhˆa´t cu’ a h`am . . . . . . 147
  • 4. ha. n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ 7.1 Gi´o.i ha. n cu’a d˜ay sˆo´ . . . . . . . . . . . . . . 4 7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o.i di. nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7.1.2 Ch´u.ng minh su.. hˆo. i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du..a trˆen nh l´y vˆe ` gi´o.i ha. c´ac di. n . . . . . . . . . . . . 11 7.1.3 Ch´u.ng minh su.. hˆo. i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du..a n du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu. trˆen diˆe `u kiˆe. (nguyˆen l´y Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . 17 7.1.4 Ch´u.ng minh su.. hˆo. i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du..a trˆen n cˆa`n v`a du’ dˆe’ d˜ay hˆo. diˆe `u kiˆe. i tu. (nguyˆen l ´y hˆo.i tu. Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . 25 7.2 Gi´o.i ha. t biˆe´n . . . . . . . . . . . . 27 n h`am mˆo. m v`a di. 7.2.1 C´ac kh´ai niˆe. nh l´y co. ba’n vˆe` gi´o.i ha. n 27 . 7.3 H`aam liˆen tu.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7.4 Gi´o.i hn v`a liˆen tu.c cu’a h`am nhiˆe`u biˆe´n . 51
  • 5. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ 7.1 Gi´o.i ha. n cu’a d˜ay sˆo´ H`am sˆo´ x´ac di. nh trˆen tˆa. .p N du.o. p ho. .c go. i l`a d˜ay sˆo´ vˆo ha.n. D˜ay sˆo´ thu.`o.ng du.o. .c viˆe´t du . ´o.i da. ng: a1, a2, . . . ,an, . . . (7.1) ho˘a. c {an}, trong d´o an = f(n), n 2 N du.o. .c go. i l`a sˆo´ ha.ng tˆo’ng qu´at cu’ a d˜ay, n l`a sˆo´ hiˆe. u cu’a sˆo´ ha.ng trong d˜ay. Ta cˆa `n lu . u ´y c´ac kh´ai niˆe. m sau dˆay: i) D˜ay (7.1) du.o. .c go. n nˆe´u 9M 2 R+ : 8 n 2 N ) |an| 6 i l`a bi. ch˘a. n nˆe´u: 8M 2 R+ : 9 n 2 N ) |an|>M. M; v`a go. i l`a khˆong bi. ch˘a. ii) Sˆo´ a du.o. .c go. i l`a gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay (7.1) nˆe´u: 8" > 0, 9N(") : 8 n > N ) |an − a| < ". (7.2) iii) Sˆo´ a khˆong pha’ i l`a gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay (7.1) nˆe´u: 9" > 0, 8N : 9 n > N ) |an − a| > ". (7.3) iv) D˜ay c´o gi´o.i ha. n du.o. .c go. i l`a d˜ay hˆo. , trong tru.`o.ng ho. i tu. .p ngu.o. .c la. i d˜ay (7.1) go. i l`a d˜ay phˆan k`y. v) D˜ay (7.1) go. i l`a d˜ay vˆo c`ung b´e nˆe´u lim n!1 an = 0 v`a go. i l`a d˜ay vˆo c`ung l´o.n nˆe´u 8A > 0, 9N sao cho 8n > N ) |an| > A v`a viˆe´t lim an = 1. n cˆa`n dˆe’ d˜ay hˆo. vi) Diˆe`u kiˆe. i tu. l`a d˜ay d´o pha’i bi. ch˘a. n. Ch´u ´y: i) Hˆe.th´u.c (7.2) tu.o.ng du.o.ng v´o.i: −" < an −a < " , a − " < an < a+ ". (7.4)
  • 6. n cu’ a d˜ay sˆo´ 5 Hˆe. th´u.c (7.4) ch´u.ng to’ r˘a`ng mo.i sˆo´ ha.ng v´o.i chı’ sˆo´n > N cu’ a d˜ay hˆo. i tu. d`ˆeu n`a˘m trong khoa’ng (a − ", a + "), khoa’ng na`y go. i la` "-laˆn n cu’a diˆe’m a. Nhu. vˆa. cˆa. y, nˆe´u d˜ay (7.1) hˆo. i tu. dˆe´n sˆo´ a th`ı mo.i sˆo´ ha.ng cu’ a n´o tr`u. t sˆo´ h˜u.u ha. ra mˆo. n sˆo´ ha.ng dˆe`u n˘a`m trong "-lˆan cˆa. n bˆa´t k`y b´e bao nhiˆeu t`uy ´y cu’a diˆe’m a. ii) Ta lu.u ´y r˘a`ng d˜ay sˆo´ vˆo c`ung l´o.n khˆong hˆo. i tu. v`a k´y hiˆe. u lim an = 1 (−1) chı’ c´o ngh˜ıa l`a d˜ay an l`a vˆo c`ung l´o.n v`a k´y hiˆe. u d´o ho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa l`a d˜ay c´o gi´o.i ha. n. 7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o.i di. nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n Dˆe’ ch´u.ng minh liman = a b˘a`ng c´ach su. ’ du.ng di. nh ngh˜ıa, ta cˆa `n tiˆe´n h`anh theo c´ac bu.´o.c sau dˆay: p biˆe’ u th´u.c |an − a| i) Lˆa. .i) sao cho |an − a| 6 bn 8 n v`a ii) Cho.n d˜ay bn (nˆe´u diˆe`u d´o c´o l o. v´o.i " du’ b´e bˆa´t k`y bˆa´t phu . o.ng tr`ınh dˆo´i v´o . i n: bn < " (7.5) t c´ach dˆe˜ d`ang. Gia’ su. ’ (7.5) c´o nghiˆe.m l`a n > f("), c´o thˆe’ gia’i mˆo. f(") > 0. Khi d´o ta c´o thˆe’ lˆa´y n l`a [f(")], trong d´o [f(")] l`a phˆa ` n nguyˆen cu’ a f("). C´AC V´I DU. V´ı du. 1. Gia’ su’. an = n(−1)n. Ch´u.ng minh r˘a`ng: i) D˜ay an khˆong bi. ch˘a. n. ii) D˜ay an khˆong pha’i l`a vˆo c`ung l´o.n. Gia’ i. i) Ta ch´u.ng minh r˘a`ng an tho’a m˜an di. nh ngh˜ıa d˜ay khˆong bi. ch˘a. n. Thˆa. y, 8M >0 sˆo´ ha.ng v´o.i sˆo´ hiˆe. t vˆa. u n = 2([M] + 1) b˘a`ng n v`a l´o.n ho . n M. Diˆe`u d´o c´o ngh˜ıa l`a d˜ay an khˆong bi. ch˘a. n.
  • 7. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ ii) Ta ch´u.ng minh r˘a`ng an khˆong pha’ i l`a vˆo c`ung l´o.n. Thˆa. t vˆa. y, ta x´et khoa’ng (−2, 2). Hiˆe’n nhiˆen mo.i sˆo´ ha.ng cu’ a d˜ay v´o.i sˆo´ hiˆe. u le’ dˆe`u thuˆo. c khoa’ng (−2, 2) v`ı khi n le’ th`ı ta c´o: n(−1)n = n−1 = 1/n 2 (−2, 2). Nhu. vˆa. y trong kho’ng (−2, 2) c´o vˆo sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’ a d˜ay. T`u. d´o, nh ngh˜ıa suy ra an khˆong pha’ i l`a vˆo c`ung l´o.n. N theo di. V´ı du. nh ngh˜ıa gi´o.i ha. 2. D`ung di. n d˜ay sˆo´ dˆe’ ch´u.ng minh r˘a`ng: 1) lim n!1 (−1)n−1 n = 0. 2) lim n!1 n n + 1 = 1. Gia’ i. Dˆe’ ch´u.ng minh d˜ay an c´o gi´o.i ha. n l`a a, ta cˆa `n ch´u.ng minh r˘a`ng dˆo´i v´o . i mˆo˜ i sˆo´ " > 0 cho tru.´o.c c´o thˆe’ t`ım du.o. .c sˆo´ N (N phu. thuˆo. c ") sao cho khi n >N th`ı suy ra |an − a| < ". Thˆong thu.`o.ng ta c´o thˆe’ chı’ ra cˆong th´u.c tu . `o.ng minh biˆe’u diˆe˜n N qua ". 1) Ta c´o: |an − 0| =
  • 8.
  • 9.
  • 10.
  • 11.
  • 12.
  • 13. · Gia’ su’. " la` sˆo´ du.o.ng cho tru.o´.c tu`y y´. Khi do´: 1 n < " , n > 1 " · . nhiˆen n`ao d´o tho’a m˜an diˆe`u kiˆe. V`ı thˆe´ ta c´o thˆe’ lˆa´y N l`a sˆo´ tu. n: N > 1 " ) 1 N < ". (Ch˘a’ ng ha.n, ta c´o thˆe’ lˆa´y N = [1/"], trong d´o [1/"] l`a phˆa ` n nguyˆen cu’a 1/"). Khi d´o 8 n > N th`ı: |an − 0| = 1 n 6 1 N < ".
  • 14. n cu’ a d˜ay sˆo´ 7 Diˆe`u d´o c´o ngh˜ıa l`a lim n!1 (−1)n n = 0. . nhiˆen N(") sao cho 8n > 2) Ta lˆa´y sˆo´ " > 0 bˆa´t k`y v`a t`ım sˆo´ tu. N(") th`ı:
  • 15.
  • 16.
  • 17. 1 − 1
  • 18.
  • 19.
  • 20. d˘a’ng th´u.c |an − 1| < " , 1 n + 1 < " , 1 " − 1. Do d´o ta c´o thˆe’ lˆa´y sˆo´ N(") l`a phˆa ` n nguyˆen cu’ a 1 " − 1, t´u.c l`a: N(") = E((1/") − 1). Khi d´o v´o . i n > N ta c´o: i mo.
  • 21.
  • 22.
  • 23. 1 − 1
  • 24.
  • 25.
  • 26. + 1 6 1 N + 1 < " ) lim n!1 n n + 1 = 1. N V´ı du. 3. Ch´u.ng minh r˘a`ng c´ac d˜ay sau dˆay phˆan k`y: 1) an = n, n 2 N (7.6) 2) an = (−1)n, n2 N (7.7) 3) an = (−1)n + 1 n · (7.8) Gia’ i. 1) Gia’ su. ’ d˜ay (7.6) hˆo. i tu. v`a c´o gi´o.i ha.n l`a a. Ta lˆa´y " = 1. nh ngh˜ıa gi´o.i ha. Khi d´o theo di. n tˆo`n ta. i sˆo´ hiˆe.u N sao cho 8n > N th`ı ta c´o |an−a| < 1 ngh˜ıa l`a |n−a| < 1 8n >N. T`u. d´o −1 < n−a < 1 8n > N , a − 1 < n < a+ 1 8n > N. Nhu.ng bˆa´t d˘a’ ng th´u.c n < a+ 1, 8n > N l`a vˆo l´y v`ı tˆa. .p c´ac p ho. . nhiˆen khˆong bi. ch˘a. sˆo´ tu. n. 2) C´ach 1. Gia’ su. ’ d˜ay an hˆo. i tu. v`a c´o gi´o.i ha. n l`a a. Ta lˆa´y lˆan cˆa. n a − 1 2 , a + 1 2 cu’a diˆe’m a. Ta viˆe´t d˜ay d˜a cho du.´o.i da. ng: {an} = −1, 1,−1, 1, . . . . (7.9)
  • 27. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ V`ı dˆo. d`ai cu’ a khoa’ng a − 1 2 , a + 1 2 l`a b˘a`ng 1 nˆen hai diˆe’m −1 v`a +1 khˆong thˆe’ dˆo`ng th`o.i thuˆo. c lˆan cˆa. n a − 1 2 , a + 1 2 cu’a diˆe’m a, a. v`ı khoa’ng cach ´giu.˜a −1 v`a +1 ba`˘ng 2. Di`ˆeu do´ co´ ngh˜ıa la` o’. ngoa`i lan ˆcˆn a − 1 2 , a + 1 2 c´o vˆo sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay v`a v`ı thˆe´ (xem ch´u ´y o. ’ trˆen) sˆo´ a khˆong thˆe’ l`a gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay. Ca´ch 2. Gia’ su’. an ! a. Khi do´ 8 0 (lˆa´y = 1 2 ) ta c´o |an − a| 1 2 8 n N. V`ı an = ±1 nˆen |1 − a| 1 2 , | − 1 − a| 1 2 )2 = |(1 − a) + (1 + a)| 6 |1 − a| + |a+ 1| 6 1 2 + 1 2 = 1 )2 1, vˆo l´y. 3) Lu.u ´y r˘a`ng v´o.i n = 2m ) a2m = 1+ 1 2m . Sˆo´ ha.ng kˆe` v´o.i n´o c´o sˆo´ hiˆe. u le’ 2m+1 (hay 2m − 1) v`a a2m+1 = −1 + 1 2m + 1 0 (hay a2m−1 = −1 + 1 2m − 1 6 0). T`u. d´o suy r˘a`ng |an − an−1| 1. Nˆe´u sˆo´ a n`ao d´o l`a gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay (an) th`ı b˘a´t dˆa ` u t`u. sˆo´ hiˆe. u n`ao ng th´u.c |an − a| d´o (an) tho’a m˜an bˆa´t d˘a’ 1 2 . Khi d´o |an − an+1| 6 |an − a| + |an+1 − a| 1 2 + 1 2 = 1. Nhu.ng hiˆe. u gi˜u.a hai sˆo´ ha.ng kˆe ` nhau bˆa´t k`y cu’a d˜ay d˜a cho luˆon luˆon l´o.n ho . n 1. Diˆe`u mˆau thuˆa˜n n`ay ch´u.ng to’ r˘a`ng khˆong mˆo. t sˆo´ thu. .c n`ao c´o thˆe’ l`a gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay d˜a cho. N
  • 28. n cu’ a d˜ay sˆo´ 9 B`AI TˆA. P H˜ay su. ’ du.ng di. nh ngh˜ıa gi´o.i ha. n dˆe’ ch´u.ng minh r˘a`ng 1. lim n!1 an = 1 nˆe´u an = 2n − 1 2n + 2 2. lim n!1 an = 3 5 nˆe´u an = 3n2 + 1 5n2 − 1 B˘a´t dˆa ` u t`u. sˆo´ hiˆe. u N n`ao th`ı: |an − 3/5| 0, 01 (DS. N = 5) 3. lim n!1 an = 1 nˆe´u an = 3n + 1 3n . 4. lim n!1 cos n n = 0. 5. lim n!1 2n + 5 · 6n 3n + 6n = 5. 6. lim n!1 3 p n2 sin n2 n + 1 = 0. 7. Ch´u.ng minh r˘a`ng sˆo´ a = 0 khˆong pha’ i l`a gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay an = n2 − 2 2n2 − 9 . 8. Ch´u.ng minh r˘a`ng lim n!1 n2 + 2n + 1 + sinn n2 + n + 1 = 1. 9. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay: an = (−1)n + 1/n phˆan k`y. 10. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay; an = sin n0 phˆan k`y. 11. T`ım gi´o.i ha. n cu’ a da˜y: 0, 2; 0, 22; 0, 222; . . . , 0, |22{.z. . 2} n , . . . Chı’ dˆa˜n. Biˆe’u diˆe˜n an du.´o.i da. ng an = 0, 22 . . .2 = 2 10 + 2 10 2 + · · · + 2 10n (DS. lim an = 2/9)
  • 29. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ 12. T`ım gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay sˆo´: 0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; . . . , 0, 2 3|3{.z. . }3 n , . . . Chı’ dˆa˜n. Biˆe’u diˆe˜n an du.´o.i da. ng an = 2 10 + 3 102 + 3 103 + · · · + 3 10n (DS. 7/30) 13. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u d˜ay an hˆo. i tu. dˆe´n a, c`on d˜ay bn dˆa `n dˆe´n 1 th`ı d˜ay an/bn dˆa `n dˆe´n 0. 14. Ch´u.ng minh r˘a`ng i) lim n!1 n 2n = 0. ii) lim n!1 n an = 0 (a 1). Chı’ dˆa˜n. i) Su. ’ du.ng hˆe. th´u.c: 2n = (1 + 1)n = 1+n + n(n − 1) 2 + · · · + 1 n + n(n − 1) 2 n2 2 · v`a u.´o.c lu . .ng |an − 0|. o. ii) Tu.o.ng tu. . nhu. i). Su’. du.ng hˆe. th´u.c: an = [1+(a − 1)]n n(n − 1) 2 (a − 1). 15. Ch´u.ng minh r˘a`ng lim an = 2 nˆe´u an = 1+ 1 2 + · · · + 1 2n Chı’ dˆa˜n. ´Ap du.ng cˆong th´u.c t´ınh tˆo’ng cˆa´p sˆo´ nhˆan dˆe’ t´ınh an rˆo`i u.´o.c lu . .ng |an − 2|. o. 16. Biˆe´t r˘a`ng d˜ay an c´o gi´o.i ha. n, c`on d˜ay bn khˆong c´o gi´o.i ha. n. C´o thˆe’ n´oi g`ı vˆe` gi´o.i ha.n cu’ a d˜ay: i) {an + bn}. ii) {anbn}. (DS. i) lim{an + bn} khˆong tˆo`n ta. i. H˜ay ch´u.ng minh.
  • 30. n cu’ a d˜ay sˆo´ 11 ii) C´o thˆe’ g˘a. p ca’ hai tru.`o.ng ho. .p c´o gi´o.i ha. n v`a khˆong c´o gi´o.i ha. n, u. v´ı d: an = n − 1 n , bn = (−1)n; an = 1 n , bn = (−1)n. 7.1.2 Ch´u.ng minh su. . hˆo. i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du. .a trˆen c´ac di. nh l´y vˆe` gi´o.i ha. n Dˆe’ t´ınh gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay sˆo´, ngu.`o.i ta thu.`o.ng su. ’ du.ng c´ac di. nh l´y v`a kh´ai niˆe. m sau dˆay: Gia’ su’. liman = a, limbn = b. i) lim(an ± bn) = liman ± lim bn = a ± b. ii) lim anbn = lim an · lim bn = a · b. iii) Nˆe´u b6= 0 th`ı b˘a´t dˆa ` u t`u. mˆo. t sˆo´ hiˆe. u n`ao d´o d˜ay an/bn x´ac nh (ngh˜ıa l`a 9N : 8 n N ) bn6= 0) v`a: di. lim an bn = lim an lim bn = a b · iv) Nˆe´u liman = a, limbn = a v`a b˘a´t dˆa ` u t`u. mˆo. t sˆo´ hiˆe. u n`ao d´o an 6 zn 6 bn th`ı lim zn = a (Nguyˆen l´y bi. ch˘a. n hai phi´a). v) T´ıch cu’ a d˜ay vˆo c`ung b´e v´o.i d˜ay bi. ch˘a. n l`a d˜ay vˆo c`ung b´e. vi) Nˆe´u (an) l`a d˜ay vˆo c`ung l´o.n v`a an6= 0 th`ı d˜ay 1 an l`a d˜ay vˆo c`ung b´e; ngu.o. .c la. i, nˆe´u n l`a d˜ay vˆo c`ung b´e v`a n6= 0 th`ı d˜ay 1 n l`a vˆo c`ung l´o.n. n x´et. Dˆe’ ´ap du. ng d´ung d˘a´n c´ac di. Nhˆa. nh l´y trˆen ta cˆa `n lu . u ´y mˆo. t sˆo´ nhˆa. n x´et sau dˆay: nh l´y (iii) vˆe` gi´o.i ha. i) Di. n cu’a thu . o.ng s˜e khˆong ´ap du.ng du.o. .c nˆe´u tu. ’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ khˆong c´o gi´o.i ha. n h˜u.u ha. n ho˘a. c mˆa˜ u sˆo´ c´o gi´o.i ha. n b˘a`ng 0. Trong nh˜u.ng tru.`o.ng ho. .p d´o nˆen biˆe´n dˆo’i so . bˆo. d˜ay thu.o.ng, ch˘a’ ng ha.n b˘a`ng c´ach chia ho˘a. c nhˆan tu. ’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ v´o.i c`ung mˆo. t biˆe’u th´u.c.
  • 31. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ ii) Dˆo´i v´o . nh l´y (i) v`a (ii) c˜ung cˆa ` n pha’ i thˆa. i di. n tro.ng khi ´ap du. ng. Trong tru.`o.ng ho. .p n`ay ta cˆa ` n pha’i biˆe´n dˆo’i c´ac biˆe’u th´u.c an ± bn v`a an · bn tru.´o.c khi t´ınh gi´o.i ha. n (xem v´ı du. 1, iii). iii) Nˆe´u an = a const 8 n th`ı lim n!1 an = a. C´AC V´I DU. V´ı du. 1. T`ım lim an nˆe´u: . o 1) an = (1 + 7n+2)/(3 − 7n) 2) an = (2 + 4 +6+· · · + 2n)/[1 + 3 + 5+· · · + (2n + 1)] 3) an = n3/(12 + 22 + · · · + n2) Gia’ i. Dˆe’ gia’ i cac ´b`ai toan ´n`ay ta d`ung ly ´thuyˆe´t caˆ´p sˆo´ 1) Nhan ˆtu. ’ soˆ´ v`a maˆ˜u sˆo´ phan ˆthu.´c v´i 7−n ta co: ´an = 1 + 7n+2 3 − 7n = 7−n + 72 3 · 7−n − 1 Do d´o lim an = lim 7−n + 72 3 · 7−n − 1 = −49 v`ı lim 7−n = 0, n!1. 2) Tu. ’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ dˆe`u l`a cˆa´p sˆo´ cˆo. ng nˆen ta c´o: 2 + 4 + 6+· · · + 2n = 2 + 2n 2 · n; 1+3 + 5+· · · + (2n + 1) = 1 + (2n + 2) 2 (n + 1). Do d´o an = n n + 1 ) lim an = 1. 3) Nhu. ta biˆe´t: 12 + 22 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6
  • 32. n cu’ a d˜ay sˆo´ 13 v`a do d´o: lim an = lim 6n3 n(n + 1)(2n + 1) = lim 6 (1 + 1/n)(2 + 1/n) = 3. N V´ı du. 2. T`ım gi´o.i ha. n lim 1 + 1 2 + 1 4 + · · · + 1 2n 1 + 1 3 + 1 9 + · · · + 1 3n Gia’ i. Tu’. soˆ´ va` maˆ˜u sˆo´ d`ˆeu la` caˆ´p sˆo´ nhaˆn nˆen 1 + 1 2 + · · · + 1 2n = 2(2n − 1) 2n , 1 + 1 3 + · · · + 1 3n = 3(3n − 1) 2 · 3n v`a do d´o: lim an = lim 2(2n − 1) 2n · 2 · 3n 3(3n − 1) = 2 lim 2n − 1 2n · 2 3 lim 3n 3n − 1 = 2 lim[1 − (1/2)n] · 2 3 lim 1 1 − (1/3)n = 2· 1 · 2 3 ·1 = 4 3 · N V´ı du. 3. 1) an = p n2 + n − n 2) an = 3 p n + 2 − 3 p n 3) an = 3 p n2 − n3 + n Gia’ i. 1) Ta biˆe´n dˆo’i an b˘a`ng c´ach nhˆan v`a chia cho da. i lu . .ng liˆen ho. o. .p an = ( p n2 + n − n)( p n2 + n + n) p n2 + n + n = n p n2 + n + n = 1 p 1 + 1/n + 1 Do d´o lim an = 1 lim n!1 ( p 1 + 1/n + 1) = 1 2 ·
  • 33. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ 2) Biˆe´n dˆo’i an tu.o.ng tu. . nhu. 1) ta c´o: an = 3 p 3 n + 2 − 3 p 3 n 3 p 2 n + 2 + 3 p n + 2 · 3 p n + 3 p 2 n an = 2 3 p 2 n + 2 + 3 p n + 2 · 3 p n + 3 p 2 n Biˆe’u th´u.c mˆa˜ u sˆo´ b˘a`ng: n2/3 3 p 1 + 2/n 2 + 3 p 1 + 2/n + 1 !1 khi n!1v`a do d´o lim an = 0. 3) Ta c´o thˆe’ viˆe´t n = 3 p n3 v`a ´ap du.ng cˆong th´u.c: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) suy ra an = 3 p 3 p n2 − n3 + n n2 − n3 2 − n 3 p n2 − n3 + n2 3 p n2 − n3 2 − n 3 p n2 − n3 + n2 = n2 3 p n2 − n3 2 − n 3 p n2 − n3 + n2 = 1 [1/n − 1]2/3 − [1/n − 1]1/3 + 1 suy ra lim an = 1 3 · N V´ı du. 4. T`ım gi´o.i ha. n cu’ a c´ac d˜ay sau an = n p n2 + n , bn = n p n2 + 1 , cn = 1 p n + 1 + 1 p n2 + 2 + · · · + 1 p n2 + n · Gia’ i. Dˆa `u tiˆen ta ch´u.ng minh lim an = 1. Thˆa. t vˆa. y: lim an = lim n p n 1 + 1/n = lim 1 p 1 + 1/n = 1.
  • 34. n cu’ a d˜ay sˆo´ 15 Tu.o.ng tu. . lim bn = 1. Dˆe’ t`ım gi´o.i ha. n cu’ a cn ta s˜e ´ap du.ng Nguyˆen l´y bi. ch˘a. n hai ph´ıa. Mˆo. t m˘a. t ta c´o: cn 1 p n2 + 1 + 1 p n2 + 1 + · · · + 1 p n2 + 1 = n p n2 + 1 = bn nhu.ng m˘a. t kh´ac: cn 1 p n2 + n + 1 p n2 + n + · · · + 1 p n2 + n = an. Nhu. vˆa. y an cn bn v`a lim n!1 an = lim n!1 bn = 1. T`u. d´o suy ra lim n!1 cn = 1. N V´ı du. 5. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay (qn) l`a: 1) d˜ay vˆo c`ung l´o.n nˆe´u |q| 1; 2) d˜ay vˆo c`ung b´e khi |q| 1. Gia’ i. 1) Gia’ su’. |q| 1. Ta lˆa´y sˆo´ A 0 baˆ´t ky`. Tu`. da˘’ng thu´.c |q|n Ata thu du.o. .c n log|q|A. Nˆe´u ta lˆa´y N = [log|q|A] th`ı 8n N ta c´o |q|n A. Do d´o d˜ay (qn) l`a d˜ay vˆo c`ung l´o.n. 2) Gia’ su’. |q| 1, q6= 0. Khi do´ qn = h1 q ni−1 . V`ı
  • 35.
  • 36.
  • 37.
  • 38.
  • 39.
  • 40. 1 q n l`a d˜ay vˆo c`ung l´o.n v`a do d´o d˜ay h1 q n i−1 l`a vˆo c`ung b´e, t´u.c l`a d˜ay (qn) l`a d˜ay vˆo c`ung b´e khi |q| 1. 3) Nˆe´u q = 0 th`ı qn = 0, |q|n 8 n v`a do d´o (qn) l`a vˆo c`ung b´e. N B`AI TˆA.P T`ım gi´o.i ha. n lim n!1 an nˆe´u 1. an = n2 − n n − p n . (DS. 1) 2. an = n2(n − p n2 + 1). (DS. −1)
  • 41. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ 3. an = 1 + 2 + 3+· · · + n p 9n4 + 1 . (DS. 1/6) 4. an = p n cos n n + 1 . (DS. 0) 5. an = 5n n + 1 + sin n n . (DS. 5) 6. an = n3 n2 + 1 − 3n2 3n + 1 . (DS. 1/3) 7. an = n n + 11 − cos n 10n . (DS. 1) 8. an = n3 + 1 n2 − 1 (DS. 1) 9. an = cos n3 n − 3n 6n + 1 . (DS. − 1 2 ) 10. an = (−1)n 5 p n + 1 . (DS. 0) 11. an = p n2 + 1+ p n 3 p n3 + n − p n . (DS. +1) 12. an = 3 p 1 − n3 + n. (DS. 0) 13. an = p n2 + 4n 3 p n3 − 3n2 . (DS. 1) 14. an = (n + 3)! 2(n + 1)! − (n + 2)! . (DS. −1) 15. an = 2 + 4+· · · + 2n n + 2 − 2. (DS. −1) 16. an = n − 3 p n3 − n2. (DS. 1 3 ) 17. an = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − ·· ·−2n p n2 + 1+ p 4n2 + 1 . (DS. − 1 3 ) 18. an = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + · · · + 1 n(n + 1) . Chı’ dˆa˜n. ´Ap du. ng 1 n(n + 1) = 1 n − 1 n + 1 (DS. 1)
  • 42. n cu’ a d˜ay sˆo´ 17 19. an = 1− 1 3 + 1 9 − 1 27 + · · · + (−1)n−1 3n−1 . (DS. 3 4 ) 20. an = 2n+1 + 3n+1 2n + 3n . (DS. 3) 21. an = n + (−1)n n − (−1)n. (DS. 1) 22. an = 1 p n 1 p 1 + p 3 + 1 p 3 + p 5 + · · · + 1 p 2n − 1 + p 2n + 1 Chı’ dˆa˜n. Tru. c c˘an th´u.c o. ’ mˆa˜u sˆo´ c´ac biˆe’u th´u.c trong dˆa´u ngo˘a. c. (DS. 1 p 2 ) 23. an = 1 1 · 2 · 3 + 1 2 · 3 · 4 + · · · + 1 n(n + 1)(n + 2) Chı’ dˆa˜n. Tru.´o.c hˆe´t ta ch´u.ng minh r˘a`ng 1 n(n + 1)(n + 2) = 1 2 h 1 n(n + 1) − 1 (n + 1)(n + 2) i (DS. 1 4 ) 24. an = 1 a1a2 + 1 a2a3 + · · · + 1 anan+1 . (DS. 1 a1d ) ng v´o.i cˆong sai d6= 0, an6= 0. trong d´o {an} l`a cˆa´p sˆo´ cˆo. 25. an = (1 − 1/4)(1 − 1/9) · · · (1 − 1/(n + 1)2). (DS. 1 2 ) Chı’ dˆa˜n. B˘a`ng quy na.p to´an ho.c ch´u.ng to’ r˘a`ng an = n + 2 2n + 2 . 7.1.3 Ch´u.ng minh su. . hˆo. i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du. .a trˆen n du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu. diˆe`u kiˆe. (nguyˆen l´y Bolzano-Weierstrass) D˜ay sˆo´ an du.o. .c go. i l`a: i) D˜ay t˘ang nˆe´u an+1 an 8 n ii) D˜ay gia’m nˆe´u an+1 an 8 n C´ac d˜ay t˘ang ho˘a.c gia’m c`on du.o. .c go. i l`a d˜ay do.n diˆe. u. Ta lu.u ´y r˘a`ng d˜ay do.n diˆe. u bao gi`o. c˜ung bi. ch˘a. t ph´ıa. Nˆe´u d˜ay n ´ıt nhˆa´t l`a mˆo.
  • 43. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ do.n diˆe. n du . u t˘ang th`ı n´o bi. ch˘a. ´o.i bo . ’ i sˆo´ ha.ng dˆa ` u tiˆen cu’ a n´o, d˜ay do.n diˆe. n trˆen bo. ’ i sˆo´ ha.ng dˆa ` u. Ta c´o di. u gia’m th`ı bi. ch˘a. nh l´y sau dˆay thu.`o.ng du.o. .c su . ’ du.ng dˆe’ t´ınh gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay do.n diˆe. u. D- nh l´y Bolzano-Weierstrass. D˜ay do.n diˆe. i. u v`a bi. ch˘a. n th`ı hˆo. i tu. . Di. nh l´y n`ay kh˘a’ ng di. nh vˆe` su. . tˆo`n ta. i cu’ a gi´o.i ha. n m`a khˆong chı’ ra du.o. .c phu . o.ng ph´ap t`ım gi´o.i ha. y, trong nhiˆe`u tru.`o.ng n d´o. Tuy vˆa. ho. .p khi biˆe´t gi´o.i ha. i, c´o thˆe’ chı’ ra phu.o.ng ph´ap t´ınh n cu’ a d˜ay tˆo`n ta. c t´ınh to´an thu.`o.ng du. n´o. Viˆe. .a trˆen d˘a’ ng th´u.c d´ung v´o.i mo. i d˜ay hˆo. i tu. : lim n!1 an+1 = lim n!1 an. Khi t´ınh gi´o.i ha. .a trˆen d˘a’ ng th´u.c v`u.a n du. .i ho . n ca’ la` su’. nˆeu ti ˆe.n lo. du. ng c´ach cho d˜ay b˘a`ng cˆong th´u.c truy hˆo `i. C´AC V´I DU. V´ı du. 1. Ch´u.nh minh r˘a`ng d˜ay: an = 1 5 + 1 + 1 52 + 1 + · · · + 1 5n + 1 hˆi . ut. o.Gia’ i. D˜ay d˜a cho do.n diˆe. u t˘ang. Thˆa. t vˆa. y v`ı: an+1 = an + 1 5n+1 + 1 nˆen an+1 an. D˜ay d˜a cho bi. ch˘a. n trˆen. Thˆa. t vˆa. y: an = 1 5 + 1 + 1 52 + 1 + 1 53 + 1 + · · · + 1 5n + 1 1 5 + 1 52 + · · · + 1 5n = 1 5 − 1 5n+1 1 − 1 5 = 1 4 1 − 1 5n 1 4 · Nhu. vˆa. y d˜ay an d˜a cho do.n diˆe. u t˘ang v`a bi. ch˘a. n trˆen nˆen n´o hˆo. i tu. . N
  • 44. n cu’ a d˜ay sˆo´ 19 V´ı du. 2. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay an = 2n n! hˆo. i tu. v`a t`ım gi´o.i ha. n cu’ a n´o. Gia’ i. D˜ay d˜a cho c´o da.ng 2 1 , 22 2 , . . . , 2n n! , . . . D˜ay an do.n diˆe. u gia’m. Thˆa. t vˆa. y an+1 an = 2n+1 (n + 1)! : 2n n! = 2 n + 1 1 8n 1. n trˆen bo. ’ i phˆa ` n tu . Do d´o an+1 an v`a d˜ay bi. ch˘a. ’ a1. Ngo`ai ra n du . an 0, 8 n nˆen d˜ay bi. ch˘a. ´o.i. Do d´o d˜ay do.n diˆe. u gia’m v`a bi. ch˘a. n. N´o hˆo. i tu. nh l´y Weierstrass. Gia’ su. ’ a l`a gi´o.i ha. theo di. n cu’ a n´o. Ta c´o: an+1 an = 2 n + 1 ) an+1 = 2 n + 1 an. T`u. d´o lim an+1 = lim 2an n + 1 = lim 2 n + 1 lim an v`a nhu. vˆa. y: a = 0· a ! a = 0. Vˆa. y: lim 2n n! = 0. N V´ı du. 3. Cho d˜ay an = p 2, an+1 = p 2an. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay hˆo. i tu. v`a t`ım gi´o.i ha. n cu’ a n´o. Gia’ i. Hiˆe’n nhiˆen r˘a`ng: a1 a2 a3 · · · . D´o l`a d˜ay do.n diˆe. u n du . t˘ang v`a bi. ch˘a. ´o.i bo . ’ i sˆo´ p 2. Ta ch´u.ng minh r˘a`ng n´o bi. ch˘a. n trˆen bo’.i sˆo´ 2. Thˆa. t vˆa. y a1 = p 2; a2 = p 2a1 p 2 · 2 = 2. Gia’ su. ’ d˜a ch´u.ng minh du.o..c r˘a`ng an 6 2. Khi d´o: an+1 = p 2an 6 p 2 ·2 = 2.
  • 45. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ e. Vˆy theo tiˆen d`ˆe quy na.p ta co´ an 6 2 8 n. Nhu. thˆe´ day ˜an do.n dia. ˆn nˆen n´o c´o gi´o.i ha. u t˘ang v`a bi. ch˘a. n d´o l`a a. Ta c´o: an+1 = p 2an ) a2 n+1 = 2an. Do d´o: lim a2 n+1 = 2 lim an hay a2 − 2a = 0 v`a thu du.o. .c a1 = 0, a2 = 2. V`ı d˜ay do.n diˆe. u t˘ang 8 n nˆen gi´o.i ha. n a = 2. N V´ı du. 4. Ch´u.ng minh t´ınh hˆo. i tu. v`a t`ım gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay x1 = p a; x2 = q a + p a, . . . , xn = r a + q a + · · · + p a, a 0, n dˆa´u c˘an. Gia’ i. i) R˜o r`ang: x1 x2 x3 · · · xn xn+1 .. . ngh˜ıa l`a d˜ay d˜a cho l`a d˜ay t˘ang. ii) Ta ch´u.ng minh d˜ay xn l`a d˜ay bi. ch˘a. n. Thˆa. t vˆa. y, ta c´o: x1 = p a p a+ 1 x2 = q a + p a q a + p a+ 1 q p a+ 1 = a + 2 p a + 1. Gia’ su. ’ d˜a ch´u.ng minh du.o..c r˘a`ng: xn p a + 1. Ta cˆa `n ch´u.ng minh xn+1 p a + 1. Thˆa. t vˆa. y, ta c´o: xn+1 = p a + xn q a + p a + 1 q p a + 1 = a+ 2 p a + 1. Do d´o nh`o. ph´ep quy na.p to´an ho.c ta d˜a ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay d˜a cho bi. ch˘a.n trˆen bo’.i p a+ 1.
  • 46. n cu’ a d˜ay sˆo´ 21 iii) Dˆe’ t`ım gi´o.i ha. n ta x´et hˆe. th´u.c xn = p a + xn−1 hay x2 n = a + xn−1. T`u. d´o: lim x2 n = lim(a + xn−1) = a + lim xn−1 hay nˆe´u gia’ thiˆe´t limxn = A th`ı: A2 = a + A ! A2 − A − a = 0 v`a A1 = 1 + p 1 + 4a 2 , A2 = 1 − p 1 + 4a 2 · V`ı A2 0 nˆen gi´a tri. A2 bi. loa.i v`ı xn 0. Do d´o; lim xn = 1 + p 1 + 4a 2 · N V´ı du. 5. T`ım gi´o.i ha. n cu’ a d˜ay an du.o. .c x´ac di. nh nhu. sau: a1 l`a sˆo´ t`uy ´y m`a 0 a1 1, an+1 = an(2 − an) 8 n 1. (7.10) Gia’ i. i) Dˆa ` u tiˆen ch´u.ng minh r˘a`ng an bi. ch˘a. n, m`a cu. thˆe’ l`a b˘a`ng ph´ep quy na.p to´an ho.c ta ch´u.ng minh r˘a`ng 0 an 1. (7.11) Ta c´o 0 a1 1. Gia’ su. ’ (7.11) d˜a du.o. .c ch´u.ng minh v´o.i n v`a ta s˜e ch´u.ng minh (7.11) d´ung v´o.i n + 1 . T`u. (7.10) ta c´o; an+1 = 1− (1 − an)2. T`u. hˆe. th´u.c n`ay suy ra 0 (1 − an)2 1, v`ı 0 an 1. . aa. T`u. do ´suy ra: 0 an+1 1 8 n. ii) Bay ˆgi`o. ta chu.´ng minh r˘a`ng an l`a day ˜tang. ˘Thˆt vˆy, v`ı an 1 nˆen 2 − an 1. Chia (7.10) cho an ta thu du.o. .c: an+1 an = 2− an 1.
  • 47. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ T`u. d´o an+1 an 8 n. Nhu . vˆa. y d˜ay an do.n diˆe. u t˘ang v`a bi. ch˘a. n. nh l´y Weierstrass, limAn tˆo`n ta. Do d´o theo di. i v`a ta k´y hiˆe. u n´o l`a a. iii) T`u. (7.10) ta c´o: lim an+1 = lim an · lim(2 − an) hay a = a(2 − a). T`u. d´o a = 0 v`a a = 1. V`ı x1 0 v`a d˜ay an t˘ang nˆen a = 1 = liman. N V´ı du. 6. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay an = n! nn hˆo. i tu. v`a t`ım gi´o.i ha. n cu’ a n´o. Gia’ i. i) Ta ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay an do.n diˆe. u gia’m, thˆa. t vˆa. y: an+1 = (n + 1)! (n + 1)n+1 = n! (n + 1)n = n! nn · nn (n + 1)n = nn (n + 1)n an v`ı nn (n + 1)n 1 nˆen an+1 an. n du . V`ı an 0 nˆen n´o bi. ch˘a. ´o.i v`a do d´o lim an tˆo`n ta. i, k´y hiˆe. u lim an = a v`a r˜o r`ang l`a a = lim an 0. ii) Ta ch´u.ng minh a = 0. Thˆa. t vˆa. y ta c´o: (n + 1)n nn = n + 1 n n = 1 + 1 n n 1 + n n = 2. Do d´o: nn (n + 1)n 1 2 v`a an+1 1 2 an. Chuyˆe’n qua gi´o.i ha. .c a 6 a n ta du.o. 2 ) a = 0. N B`AI TˆA. P
  • 48. n cu’ a d˜ay sˆo´ 23 1. Cho c´ac d˜ay sˆo´: 1) an = 5n2 n2 + 3 · 2) bn = (−1)n 2n n + 1 sin n. 3) cn = n cos n. H˜ay chı’ ra d˜ay n`ao bi. ch˘a. n v`a d˜ay n`ao khˆong bi. ch˘a. n. (DS. 1) v`a 2) bi. ch˘a. n; 3) khˆong bi. ch˘a. n) 2. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay: a1 = a0 a + a0 , a2 = a1 a + a1 , a3 = a2 a + a2 , . . . , an = an−1 a + an−1 , . . . (a 1, a0 0) hˆo. i t. . u3. Ch´u.ng minh c´ac d˜ay sau dˆay hˆo. i tu. 1) an = n2 − 1 n2 2) an = 2+ 1 2! + 1 3! + · · · + 1 n! n du.o. Chı’ dˆa˜n. T´ınh bi. ch˘a. .c suy t`u. n! 2n−1 v`a do d´o an 6 2 + 1 2 + 1 22 + · · · + 1 2n−1 = 3− 1 2n−1 3. 4. Ch´u.ng minh c´ac d˜ay sau dˆay hˆo. i tu. v`a t`ım gi´o.i ha. n a cu’a ch´ung 1) a1 = k p 5, an+1 = k p 5an, k 2 N. (DS. k−1 p 5) 2) an = 2n (n + 2)! Chı’ dˆa˜n. an+1 an = 2 n + 3 1. (DS. a = 0) 3) an = E(nx) n trong d´o E(nx) l`a phˆa ` n nguyˆen cu’ a nx. Chı’ dˆa˜n. Su. ’ du.ng hˆe. th´u.c: nx−1 E(nx) 6 nx. (DS. a = x) 5. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay: an = a1/2n hˆo. i tu. v`a t`ım gi´o.i ha. n cu’a n´o (a 1).
  • 49. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ (DS. a = 1. Chı’ dˆa˜n. Ch´u.ng minh r˘a`ng an l`a d˜ay do.n diˆe. u gia’m v`ı an+1 = a1/2n+1 = a1/(2n·2) = p an, an 1) 6. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay an = 1+ 1 22 + 1 32 + · · · + 1 n2 hˆo. i t. . uChı’ dˆa˜n. Ch´u.ng to’ r˘a`ng d˜ay do.n diˆe. n cu’a n´o u t˘ang, t´ınh bi. ch˘a. du.o. .c x´ac lˆa. p b˘a`ng c´ach su. ’ du.ng c´ac bˆa´t d˘a’ ng th´u.c: 1 n2 1 n(n − 1) = 1 n − 1 − 1 n , n 2. 7. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay an = 1 3 + 1 + 1 32 + 2 + · · · + 1 3n + n c´o gi´o.i ha. n h˜u.u ha. n. n cu’ a an du.o. Chı’ dˆa˜n. T´ınh bi. ch˘a. .c x´ac lˆa. p b˘a`ng c´ach so s´anh an v´o.i tˆo’ ng mˆo. t cˆa´p sˆo´ nhˆan n`ao d´o. 8. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay 1 + 1 n n+1 do.n diˆe. u gia’m v`a lim n!1 1 + 1 n n+1 = e. 9. T´ınh lim n!1 an, nˆe´u 1) an = 1 + 1 n + k n , k 2 N. (DS. e) 2) an = n n + 1 n . (DS. 1 e ) 3) an = 1 + 1 2n n . (DS. p e) 4) an = 2n + 1 2n 2n . (DS. e)
  • 50. n cu’ a d˜ay sˆo´ 25 7.1.4 Ch´u.ng minh su. . hˆo. i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du. .a trˆen n cˆa`n v`a du’ dˆe’ d˜ay hˆo. diˆe`u kiˆe. i tu. (nguyˆen l´y hˆo. i tu. Bolzano-Cauchy) Trˆen dˆay ta d˜a nˆeu hai phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh su. . hˆo. i tu. cu’ a d˜ay. Hai phu.o.ng ph´ap n`ay khˆong ´ap du.ng du.o. .c dˆo´i v´o . i c´ac d˜ay khˆong do.n u du.o. diˆe. .c cho khˆong b˘a`ng phu.o.ng ph´ap gia’ i t´ıch m`a du.o. .c cho b˘a`ng phu.o.ng ph´ap kh´ac (ch˘a’ ng ha.n b˘a`ng phu.o.ng ph´ap truy hˆo `i). M˘a. t kh´ac, trong nhiˆe`u tru.`o.ng ho. .p ngu.`o.i ta chı’ quan tˆam dˆe´n su. . hˆo. i tu. hay phˆan k`y cu’ a d˜ay m`a thˆoi. Sau dˆay ta ph´at biˆe’u mˆo. t tiˆeu chuˆa’n c´o t´ınh chˆa´t “nˆo. i” cho ph´ep kˆe´t luˆa. i ta. . hˆo. n su. i tu. cu’ a d˜ay chı’ du. .a trˆen gi´a tri. cu’a c´ac sˆo´ ha. ng cu’ a d˜ay: Nguyˆen l´y hˆo. . D˜ay (an) c´o gi´o.i ha. i tu. n h˜u.u ha. n khi v`a chı’ khi n´o tho’a m˜an diˆe`u kiˆe. n: 8 0, 9N0 = N0() 2 N : 8n N0 v`a 8 p 2 N ) |an − an+p| . T`u. nguyˆen l´y hˆo. i tu. r´ut ra: D˜ay (an) khˆong c´o gi´o.i ha.n khi v`a chı’ khi n´o tho’a m˜an diˆe`u kiˆe. n: 9 0, 8N 2 N 9 n N 9m N ! |an − am| . C´AC V´I DU. V´ı du. 1. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay an = cos 1 3 + cos 2 32 + · · · + cos n 3n , n2 N hˆo. i t. . u
  • 51. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ Gia’ i. Ta u.´o.c lu . .ng hiˆe. o. u |an+p − an| =
  • 52.
  • 53.
  • 54. 3n+1 + · · · + cos(n + p) 3n+p
  • 55.
  • 56.
  • 57. + · · · + 1 3n+p = 1 3n+1 1 − 1 3p 1 − 1 3 1 2 · 1 3n 1 3n · Gia’ su’. la` sˆo´ du.o.ng tu`y y´. V`ı lim n!1 1 3n = 0 nˆen v´o.i sˆo´ 0 d´o, i sˆo´ N 2 N sao cho 8 n N ta c´o tˆo`n ta. 1 3n . Ngh˜ıa l`a nˆe´u n N, . nhiˆen t`uy ´y th`ı c`on p l`a sˆo´ tu. |an+p − an| 1 3n . Do d´o theo tiˆeu chuˆa’n hˆo. i tu. d˜ay d˜a cho hˆo. . N i tu. V´ı du. 2. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay an = 1 p 1 + 1 p 2 + · · · + 1 p n phˆan k`y. Gia’ i. Ta u.´o.c lu . .ng hiˆe. o. u |an − an+p| =
  • 58.
  • 59.
  • 60. + 1 + 1 p n + 2 + · · · + 1 p n + p
  • 61.
  • 62.
  • 63. + p 8 n, p 2 N. D˘a. t v´o . c biˆe. i p = n ta c´o |an − a2n| p n p 2 1 p 2 8 n. (*) Ta lˆa´y = 1 p 2 i nh˜u.ng gi´a tri. n N v`a . Khi d´o 8N 2 N tˆo`n ta. 9 p 2 N sao cho |an − an+p| . Thˆa. y, theo bˆa´t d˘a’ng th´u.c (*) ta t vˆa.
  • 64. n h`am mˆo. t biˆe´n 27 chı’ cˆa `n lˆa´y sˆo´n N bˆa´t k`y v`a p = n. T`u. d´o theo mˆe. nh dˆe` phu’ di. nh nguyˆen l´y hˆo. i tu. ta c´o d˜ay d˜a cho phˆan k`y. N B`AI TˆA. P Su. ’ du.ng tiˆeu chuˆa’n hˆo. i tu. dˆe’ ch´u.ng minh su. . hˆo. i tu. cu’ a d˜ay (an) nˆe´u 1. an = Pn k=1 sin n 2n , 2 R. 2. an = Pn k=1 akqk, |q| 1, |ak| M 8 k,M 0. 3. an = Pn k=1 (−1)k−1 k(k + 1) · 4. an = Pn k=1 (−1)k k! · 5. an = 0, |77{.z. . 7} nch˜u. sˆo´ . 6. an = Pn k=1 1 2k + k · Ch´u.ng minh r˘a`ng c´ac d˜ay sau dˆay phˆan k`y: 7. an = 1+ 1 2 + · · · + 1 n , n 2 N. 8. an = 1 ln2 + 1 ln3 + · · · + 1 lnn , n = 2, . . . 7.2 Gi´o.i ha. t biˆe´n n h`am mˆo. 7.2.1 C´ac kh´ai niˆe.m v`a di. nh l´y co . ba’n vˆe` gi´o.i ha. n nh ngh˜ıa gi´o.i ha. Di. n cu’ a c´ac h`am dˆo´i v´o . i n˘am tru.`o.ng ho. .p: x ! a, x ! a ± 0, x!±1du.o. .c ph´at biˆe’u nhu . sau.
  • 65. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ 1) Sˆo´ A du.o. .c go. i l`a gi´o.i ha. i diˆe’m a (khi x ! a) n cu’ a h`am f(x) ta. nˆe´u 8 0 b´e bao nhiˆeu t`uy ´y t`ım du.o. .c sˆo´ = () 0 (9 = () 0) sao cho 8 x m`a x 2 Df {x; 0 |x − a| ()} th`ı |f(x) − A| . K´y hiˆe. u: lim x!a f(x) = A. 2) Sˆo´ A du.o. .c go. i l`a gi´o.i ha. . an bˆen pha’ i (bˆen tr´ai) cu’ a h`am f(x) ti diˆe’m x = a nˆe´u 8 0, 9 = () 0 sao cho v´o.i mo. i x tho’a m˜an diˆe`u kiˆe. n x 2 Df {x : a x a+ } (x 2 Df {x : a − x a}) th`ı |f(x) − A| . K´y hiˆe. u: lim x!a+0 f(x) = f(a + 0) lim x!a−0 f(x) = f(a − 0) . Tu.o.ng tu. .: 3) lim x!+1 f(x) = A, 8 0 9 0 : 8 x 2 Df {x : x } ) |f(x) − A| . nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n khi x!−1du.o. Di. .c ph´at biˆe’u tu . o.ng tu. .. 4) Nˆe´u lim x!+1 f(x) = lim x!−1 f(x) = A th`ı ngu.`o.i ta viˆe´t lim x!1 f(x) = A.
  • 66. n h`am mˆo. t biˆe´n 29 Tru.`o.ng ho. .p d˘a. t nˆe´u A = 0 th`ı h`am f(x) du.o. c biˆe. .c go. i l`a h`am vˆo c`ung b´e khi x ! a (x ! a ± 0, x!±1). m h`am vˆo c`ung l´o.n ta. Kh´ai niˆe. i diˆe’m a c˜ung du.o. .c ph´at biˆe’u dˆo´i v´o.i ca’ n˘am tru.`o.ng ho. .p. Ch˘a’ ng ha.n, h`am f(x) du.o. .c go. i l`a h`am vˆo c`ung l´o.n ta. i diˆe’m a nˆe´u 8M 0 9 = (M) 0 : 8 x 2 Df {x : 0 |x − a| } ) |f(x)|M. Ngo`ai ra, nˆe´u f(x) 0 (f(x) 0) 8 x 2 Df {x : 0 |x−a| } th`ı ta viˆe´t lim x!a f(x) = +1 lim x!a f(x) = −1 . Ta lu.u ´y r˘a`ng c´ac k´y hiˆe. u v`u.a nˆeu chı’ ch´u.ng to’ f(x) l`a vˆo c`ung l´o.n ch´u. ho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa r˘a`ng f c´o gi´o.i ha. n. Khi t´ınh gi´o.i ha. n ta thu . `o.ng su. ’ du.ng c´ac diˆe`u kh˘a’ ng di. nh sau dˆay. D- nh l´y 7.2.1. Nˆe´u c´ac gi´o.i ha. i. n lim x!a f1(x), lim x!a i h˜u . f2(x) tˆo`n ta. u ha. n th`ı 1) lim [f1(x) + f2(x)] = lim x!a x!a f1(x) + lim x!a f2(x) 2) lim [f1(x) · f2(x)] = lim x!a x!a f1(x) · lim x!a f2(x) 3) Nˆe´u lim x!a f2(x)6= 0 th`ı lim x!a f1(x) f2(x) = lim x!a f1(x) lim x!a f2(x) 4) Nˆe´u trong lˆan cˆa. n U(a; ) = {x : 0 |x − a| } ta c´o f1(x) 6 f(x) 6 f2(x) v`a lim x!a f1(x) = lim x!a f2(x) = A th`ı lim x!a f(x) = A (nguyˆen l´y bi. ch˘a. n hai phi´a). nh ngh˜ıa gi´o.i ha. Di. n h`am sˆo´ c´o thˆe’ ph´at biˆe’u du . ´o.i da. ng ngˆon ng˜u. d˜ay nhu. sau. D- nh l´y 7.2.2. Gia’ su. ’ D R, a 2 R l`a diˆe’m tu. i. cu’a n´o; A 2 R, f : D ! R. Khi d´o lim x!a f(x) = A
  • 67. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ khi v`a chı’ khi 8(an), an 2 D {a}, an ! a f(an) ! A T`u. d´o dˆe’ ch´u.ng minh mˆo. t h`am n`ao d´o khˆong c´o gi´o.i ha. n khi x ! a, ta chı’ cˆa `n ch´u.ng minh r˘a`ng 9(an), 9(a0 n) dˆe`u hˆo. i tu. dˆe´n a nhu.ng lim x!a f(an)6= lim x!a f0(an). nh l´y co . C´ac di. ba’n vˆe` gi´o.i ha. n d˜a ph´at biˆe’u trˆen dˆay khˆong ´ap du. ng du.o. .c dˆo´i v´o . i c´ac gi´o.i ha. n sau dˆay khi x ! a, a 2 R. 1) lim x!a [f(x)+g(x)]; f, g l`a c´ac vˆo c`ung l´o.n (vˆo di. nh da.ng “1±1”). 2) lim x!a f(x) g(x) ; f, g ho˘a. c dˆo`ng th`o.i l`a hai vˆo c`ung b´e, ho˘a. c dˆo`ng th`o.i l`a hai vˆo c`ung l´o.n (vˆo di. nh da.ng “0/0” ho˘a. c “1/1”). 3) lim x!a f(x) ·g(x); f l`a vˆo c`ung b´e, c`on g l`a vˆo c`ung l´o.n ho˘a. c ngu.o. .c la.i (vˆo di. nh da.ng “0 · 1”). 4) lim x!a f(x) g(x) : nh da.ng “11”) a) khi f(x) ! 1, g(x)!1(vˆo di. b) khi f(x) ! 0, g(x) ! 0 (vˆo di. nh da.ng “00”) c) khi f(x)!1, g(x) ! 0 (vˆo di. nh da.ng “10”) c t´ınh gi´o.i ha. Viˆe. n trong c´ac tru.`o.ng ho. .p n`ay thu.`o.ng du.o. .c gi . ola` khu’. da. ng voˆ d.inh. Trong nhi`ˆeu tru.o`.ng ho. .p khi t´ınh gi´o.i ha. n ta thu.`o.ng su. ’ du.ng c´ac gi´o.i ha. n quan tro.ng sau dˆay: lim x!0 sin x x = 1, (7.12) lim x!0 (1 + x) 1 x = e (7.13)
  • 68. n h`am mˆo. t biˆe´n 31 v`a c´ac hˆe. qua’ cu’ a (7.13) lim x!1 1 + 1 x x = e, (7.14) lim x!0 loga(1 + x) x = 1 lna , 0 a6= 1, (7.15) lim x!0 ax − 1 x = lna, 0 a6= 1. (7.16) C´AC V´I DU. V´ı du. 1. Su. ’ du.ng ( − ) - di. nh ngh˜ıa gi´o.i ha. n dˆe’ ch´u.ng minh r˘a`ng lim x!−3 x2 = 9. Gia’ i. Ta cˆa `n ch´u.ng minh r˘a`ng 8 0, 9 0 sao cho v´o.i |x+ 3| th`ı ta c´o |x2 − 9| . Ta cˆa `n u.´o.c lu . .ng hiˆe. o. u |x2 − 9|. ta c´o |x2 − 9| = |x − 3||x + 3|. Do th`u.a sˆo´ |x − 3| khˆong bi. ch˘a. n trˆen to`an tru.c sˆo´ nˆen dˆe’ u.´o.c lu . .ng o. t´ıch do.n gia’n ho . n cu’a diˆe’m a = −3 t´u.c l`a n ta tr´ıch ra 1 - lˆan cˆa. khoa’ng (−4;−2). V´o.i mo. i x 2 (−4;−2) ta c´o |x − 3| 7 v`a do d´o |x2 − 9| 7|x + 3|. n diˆe’m a = −3 [t´u.c l`a khoa’ng (−3 − ;−3 + )] khˆong V`ı -lˆan cˆa. du.o. .c vu . .t ra kho’i ranh gi´o.i cu’ a 1-lˆan cˆa.n nˆen ta lˆa´y = min o. 1, 7 . Khi d´o v´o . i 0 |x + 3| ) |x2 − 9| . Do vˆa. y lim x!−3 x2 = 9. N V´ı du. 2. Ch´u.ng minh r˘a`ng lim x!2 p 11 − x = 3. Gia’ i. Gia’ su’. 0 la` sˆo´ du.o.ng cho tru.o´.c b´e bao nhiˆeu tu`y y´. Ta x´et bˆa´t phu . o.ng tr`ınh p 11 − x − 3| . (7.17) |
  • 69. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ Ta c´o (7.17),− p 11 − x − 3 , 8 p 11 − x − 3 − p 11 − x − 3 : , 8 : x − 11 −(3 − )2 x − 11 −(3 + )2 , 8 : x − 2 6 − 3 x − 2 −(6 + 2). V`ı 6 − 2 | − (6 + )2| = 6 + 2 nˆen ta c´o thˆe’ lˆa´y () l`a sˆo´ 6 6 − 2. V´o . i sˆo´ d´o ta thˆa´y r˘a`ng khi x tho’a m˜an bˆa´t d˘a’ ng th´u.c p 11 − x − 3| v`a 0 |x − 2| th`ı | lim x!2 p 11 − x = 3. N V´ı du. 3. T´ınh c´ac gi´o.i ha. n 1) lim x!2 2x − x2 x − 2 (vˆo di. nh da.ng 0 0 ); 2) lim x! 4 cotg2x · cotg 4 − x (vˆo di. nh da.ng 0 · 1); 3) lim x!1 e 1 x + 1 x x nh da.ng 11). (vˆo di. Gia’ i 1) Ta c´o 2x − x2 x − 2 = 2x − 22 − (x2 − 22) x − 2 = 4 · 2x−2 − 1 x − 2 − x2 − 4 x − 2 · T`u. d´o suy r˘a`ng lim x!2 2x − x2 x − 2 = 4 lim x!2 2x−2 − 1 x − 2 − lim x!2 x2 − 4 x − 2 = 4ln2 − 4. 2) D˘a. t y = 4 − x. Khi d´o lim x! 4 cotg2x · cotg 4 − x = lim y!0 cotg 2 − 2y cotgy = lim y!0 sin 2y sin y · cos y cos 2y = 2.
  • 70. n h`am mˆo. t biˆe´n 33 3) D˘a. t y = 1 x . Khi d´o lim x!1 e 1 x + 1 x x = lim y!0 (ey + y) lim y!0 1 y = e ln(ey+y) y ; lim y!0 ln(ey + y) y = lim y!0 ln[1 + (ey + y − 1)] ey + y − 1 · ey + y − 1 y = lim t!0 ln(1 + t) t · lim y!0 1 + ey − 1 y = 2. T`u. d´o suy r˘a`ng lim y!0 ey + y 1 y = e2. N V´ı du. 4. Ch´u.ng to’ r˘a`ng h`am f(x) = sin 1 x khˆong c´o gi´o.i ha. n khi x ! 0. Gia’ i. Ta lu.u ´y mˆe. nh dˆo´i v´o . nh dˆe` phu’ di. nh ngh˜ıa gi´o.i ha. i di. n: lim x!a f(x)6= A, 90 0 8 0 9 x (0 |x − a| ) ! |f(x0) − A| 0. Nˆe´u A = 0 ta lˆa´y 0 = 1 2 v`a xk = 2 2 + 2k . Khi d´o 8 0, 9 k 2 N : 0 xk v`a |f(xk) − 0| = |f(xk)| = 1 0 v`a nhu. vˆa. y A = 0 khˆong pha’ i l`a gi´o.i ha. n cu’a h`am d˜a cho khi x ! 0. Nˆe´u A6= 0 th`ı ta lˆa´y 0 = |A| 2 v`a xk = 1 2k . Khi d´o 8 0, 9 k 2 N : 0 xk th`ı |f(xk) − A| = |A| . Nhu . vˆa. i sˆo´ y mo. A6= 0 dˆe`u khˆong l`a gi´o.i ha. n cu’ a h`am sin 1 x khi x ! 0. N V´ı du. 5. H`am Dirichlet D(x): D(x) = 8 : 1 nˆe´u x 2 Q, 0 nˆe´u x 2 R Q
  • 71. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ khˆong c´o gi´o.i ha. i 8 a 2 R. n ta. Gia’ i. Ta ch´u.ng minh r˘a`ng ta.i mo. i diˆe’m a 2 R h`am D(x) khˆong nh l´y 2. Dˆe’ l`am viˆe. tho’a m˜an Di. c d´o, ta chı’ cˆa `n chı’ ra hai d˜ay (an) v`a (a0 n) c`ung hˆo. i tu. dˆe´n a sao cho lim n!1 D(an)6= lim n!1 D(a0 n). Dˆa ` u tiˆen ta x´et d˜ay c´ac diˆe’m h˜u.u ty’ (an) hˆo. i tu. dˆe´n a. Ta c´o D(an) = 1 8 n v`a do d´o lim n!1 D(an) = 1. Bˆay gi`o. ta x´et d˜ay (a0 n) - d˜ay c´ac diˆe’m vˆo ty’ hˆo. dˆe´n a. Ta c´o D(a0 i tu. n) = 0 8 n v`a do vˆa. y lim n!1 D(a0 n) = 0. Nhu. vˆa. y lim n!1 D(an)6= lim n!1 n). T`u. d´o suy ra r˘a`ng ta.i diˆe’m a D(a0 h`am D(x) khˆong c´o gi´o.i ha. n . N V´ı du. 6. Gia’ su’. lim x!a f(x) = b, lim x!a g(x) = +1. Ch´u.ng minh r˘a`ng lim x!a [f(x) + g(x)] = +1. Gia’ i. Ta cˆa `n ch´u.ng minh r˘a`ng 8M 0, 9 0 sao cho 8 x : 0 |x − a| th`ı f(x) + g(x)M. V`ı lim x!a f(x) = b nˆen tˆo`n ta. n U(a, 1) cu’a diˆe’m a sao cho i 1-lˆan cˆa. |f(x)| C, x6= a (7.18) trong d´o C l`a h˘a`ng sˆo´ du.o.ng n`ao d´o. Gia’ su’. M 0 la` sˆo´ cho tru.o´.c tu`y y´. V`ı lim x!a g(x) = +1 nˆen dˆo´i v´o.i sˆo´ M + C, 9 0 ( 6 1) sao cho 8 x : 0 |x − a| th`ı g(x) M + C (7.19) T`u. c´ac bˆa´t d˘a’ ng th´u.c (7.18) v`a(7.19) ta thu du.o. .c l`a: v´o.i x tho’a n 0 |x − a| 6 1 th`ı m˜an diˆe`u kiˆe. f(x) + g(x) g(x) − |f(x)|M + C − C = M. N B`AI TˆA. P
  • 72. n h`am mˆo. t biˆe´n 35 1. Su. ’ du.ng di. nh ngh˜ıa gi´o.i ha. n h`am sˆo´ dˆe’ ch´u.ng minh c´ac d˘a’ ng th´u.c sau dˆay: 1) lim x! 6 sin x = 1 2 ; 2) lim x! 2 sin x = 1; 3) lim x!0 x sin 1 x = 0; 4) lim x!+1 arctgx = 2 . Chı’ dˆa˜n. D`ung hˆe. th´u.c 2 − arctgx tg 2 − arctgx = 1 x ) 5) lim x!1 x − 1 3x + 2 = 1 3 ; 6) lim x!+1 logax = +1; 7) lim x!+1 p x2 + 1 − x = 0; 8) lim x!−5 x2 + 2x − 15 x + 5 = −8; 9) lim x!1 (5x2 − 7x + 6) = 4; 10) lim x!2 x2 − 3x + 2 x2 + x − 6 = 1 5 ; 11) lim x!+1 x sin x x2 − 100x + 3000 = 0. 2. Ch´u.ng minh c´ac gi´o.i ha. n sau dˆay khˆong tˆo`n ta. i: 1) lim x!1 sin 1 x − 1 ; 2) lim x!1 sin x; 3) lim x!o 2 1 x ; 4) lim x!0 e 1 x ; 5) lim x!1 cos x. Nˆe´u tu . ’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ cu’ a phˆan th´u.c h˜u.u ty’ dˆe`u triˆe. t tiˆeu ta.i diˆe’m x = a th`ı c´o thˆe’ gia’n u.´o.c phˆan th´u.c cho x − a (6= 0) mˆo. t ho˘a. c mˆo. t sˆo´ lˆa ` n. Su. ’ du. ng phu.o.ng ph´ap gia’n u.´o.c d´o, h˜ay t´ınh c´ac gi´o.i ha. n sau dˆay (3-10). 3. lim x!7 2x2 − 11x − 21 x2 − 9x + 14 (DS. 17 5 ) 4. lim x!1 x4 − x3 + x2 − 3x + 2 x3 − x2 − x + 1 (DS. 2) 5. lim x!1 x4 + 2x2 − 3 x2 − 3x + 2 (DS. −8) 6. lim x!1 xm − 1 xn − 1 ; m, n 2 Z (DS. m n )
  • 73. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ 7. lim x!1 1 1 − x − 3 1 − x3 (DS. −1) 8. lim x!1 a 1 − xa − b 1 − xb ; a, b 2 N (DS. a − b 2 ) 9. lim x!1 (xn − 1)(xn−1 − 1) · · · (xn−k+1 − 1) (x − 1)(x2 − 1) · · · (xk − 1) (DS. Ck n) 10. lim x!a (xn − an) − nan−1(x − a) (x − a)2 , n 2 N (DS. n(n − 1) 2 an−1) Chı’ dˆa˜n. Dˆo’i biˆe´n x − a = t. C´ac b`ai to´an sau dˆay c´o thˆe’ du.a vˆe` da.ng trˆen nh`o. ph´ep dˆo’i biˆe´n (11-14) 11. lim x!1 p x q − 1 x r s − 1 (DS. ps qr ) 12. lim x!−1 1 + 3 p x 1 + 5 p x (DS. 5 3 ) 13. lim x!0 3 3 p 1 + x − 4 4 p 1 + x + 1 2 − 2 p 1 + x + x (DS. 1 6 ) 14. lim x!0 n p 1 + x − 1 x (DS. 1 n ) Mˆo. t trong c´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh gi´o.i ha. n cu’ a c´ac biˆe’u th´u.c vˆo ty’ l`a chuyˆe’n vˆo ty’ t`u. mˆa˜u sˆo´ lˆen tu. ’ sˆo´ ho˘a. c ngu.o. .c la. i (15-26) 15. lim x!0 p 1 + x + x2 − 1 x (DS. 1 2 ) 16. lim x!2 p 3 + x + x2 − p 9 − 2x + x2 x2 − 3x + 2 (DS. 1 2 ) 17. lim x!0 5x 3 p 1 + x − 3 p 1 − x (DS. 15 2 ) 18. lim x!0 3 p 1 + 3x − 3 p 1 − 2x x + x2 (DS. 2) 19. lim x!1 p x2 + 1 − p x2 − 1 (DS. 0)
  • 74. n h`am mˆo. t biˆe´n 37 20. lim x!1 3 p 1 − x3 + x (DS. 0) 21. lim x!+1 p x2 + 5x + x (DS. +1) 22. lim x!−1 p x2 + 5x + x (DS. − 5 2 ) 23. lim x!+1 p x2 + 2x − x (DS. 1) 24. lim x!−1 p x2 + 2x − x . (DS. +1) 25. lim x!1 h (x + 1) 2 3 − (x − 1) 2 3 i (DS. 0) 26. lim x!+1 n p (x + a1)(x + a2) · · · (x + an) − x (DS. a1 + a2 + · · · + an n ) Khi gia’ i c´ac b`ai to´an sau dˆay ta thu.`o.ng su. ’ du.ng hˆe. th´u.c lim t!0 (1 + t) − 1 t = (27-34) 27. lim x!0 5 p 1 + 3x4 − p 1 − 2x 3 p 1 + x − p 1 + x (DS. −6) 28. lim x!0 n p a + x − n p a − x x , n 2 N (DS. 2 n a 1 n −1) 29. lim x!0 p 1 + 3x + 3 p 1 + x − 5 p 1 + x − 7 p 1 + x 4 p 1 + 2x + x − 6 p 1 + x (DS. 313 280 ) 30. lim x!0 3 p a2 + ax + x2 − 3 p a2 − ax + x2 p a + x − p a − x (DS. 3 2 a 1 6 ) 31. lim x!0 p 1 + x2 + x n − p 1 + x2 − x n x (DS. 2n) 32. lim x!0 n p a + x − n p a − x x , n 2 N, a 0 (DS. 2 n p a na ) 33. lim x!0 1 + ax − k p 1 + bx n p x , n 2 N, a 0 (DS. ak − bn nk ) 34. lim x!1 n p (1 + x2)(2 + x2) · · · (n + x2) − x2 (DS. n + 1 2 )
  • 75. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ Khi t´ınh gi´o.i ha. n c´ac biˆe’u th´u.c lu . .ng gia´c ta thu.o`.ng su’. du.ng cˆong o. th´u.c co . ba’n lim x!0 sin x x = 1 c`ung v´o.i su. . kˆe´t ho. .p c´ac phu.o.ng ph´ap t`ım gi´o.i ha. n da˜ nˆeu o’. trˆen (35-56). 35. lim x!1 x 2 x sin (DS. 0) 36. lim x!1 arctgx 2x (DS. 0) 37. lim x!−2 x2 − 4 arctg(x + 2) (DS. −4) 38. lim x!0 tgx − sin x x3 (DS. 1 2 ) 39. lim x!0 xcotg5x (DS. 1 5 ) 40. lim x!1 (1 − x)tg x 2 (DS. 2 ) 41. lim x!1 1 − x2 sin x (DS. 2 ) 42. lim x! sin x 2 − x2 (DS. 1 2 ) 43. lim x!0 cos mx − cos nx x2 (DS. 1 2 (n2 − m2)) 44. lim x!1 x2 h cos 1 x − cos 3 x i (DS. 4) 45. lim x!0 sin(a + x) + sin(a − x) − 2 sin a x2 (DS. −sin a) 46. lim x!0 cos(a + x) + cos(a − x) − 2 cos a 1 − cos x (DS. −2 cos a) 47. lim x!1 sin p x2 + 1 − sin p x2 − 1 (DS. 0)
  • 76. n h`am mˆo. t biˆe´n 39 48. lim x!0 p cos x − 1 x2 (DS. − 1 4 ) 49. lim x! 2 cos x 2 − sin x 2 cos x (DS. 1 p 2 ) 50. lim x! 3 sin x − 3 1 − 2 cos x (DS. 1 p 3 ) 51. lim x! 4 p 2 cos x − 1 1 − tg2x (DS. 1 4 ) 52. lim x!0 p 1 + tgx − p 1 − tgx sin x (DS. 1) 53. lim x!0 p m cos x − m p cos
  • 77.
  • 78. 2m ) 54. lim x!0 cos x − 3 p cos x sin2 x (DS. − 1 3 ) 55. lim x!0 1 − cos x p cos 2x tgx2 (DS. 3 2 ) 56. lim x!0 p 1 + x sin x − cos x sin2 x 2 (DS. 4) Dˆe’ t´ınh gi´o.i ha. n lim x!a [f(x)]'(x), trong d´o f(x) ! 1, '(x) ! 1 khi x ! a ta c´o thˆe’ biˆe´n dˆo’i biˆe’u th´u.c [f(x)]'(x) nhu. sau: lim x!a [f(x)]'(x) = lim x!a n [1 + (f(x) − 1)] 1 f(x)−1 o'(x)[f(x)−1] = e lim x!a '(x)[f(x)−1] o’. daˆy lim x!a '(x)[f(x)−1] du.o. .c t´ınh theo c´ac phu.o.ng ph´ap d˜a nˆeu trˆen dˆay. Nˆe´u lim x!a '(x)[f(x) − 1] = A th`ı lim x!a [f(x)]'(x) = eA (57-68).
  • 79. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ 57. lim x!1 2x + 3 2x + 1 x+1 (DS. e) 58. lim x!1 x2 − 1 x2 x4 (DS. 0) 59. lim x!0 (1 + tgx)cotgx (DS. e) 60. lim x!0 (1 + 3tg2x)cotg2x (DS. e3) 61. lim x!0 cos x cos 2x 1 x2 (DS. e 3 2 ) 62. lim x! 2 (sin x) 1 cotgx (DS. −1) 63. lim x! 2 (tgx)tg2x (DS. e−1) 64. lim x!0 h tg 4 + x icotg2x (DS. e) 65. lim x!0 cos x 1 x2 (DS. e−1 2 ) 66. lim x!0 cos 3x 1 sin2 x (DS. e−9 2 ) 67. lim x!0 1 + tgx 1 + sin x 1 sin x (DS. 1) 68. lim x! 4 sin 2x tg22x (DS. e−1 2 ) Khi t´ınh gi´o.i ha. n c´ac biˆe’u th´u.c c´o ch´u.a h`am lˆodarit v`a h`am m˜u ta o . . athu.o`.ng su’. du.ng ca´c coˆng thu´.c (7.15) va` (7.16) va` ca´c phu.o.ng pha´p t´ınh gio.´i hn da ˜nˆeu ’ trˆen (69-76). 69. lim x!e lnx − 1 x − e (DS. e−1) 70. lim x!10 lgx − 1 x − 10 (DS. 1 10ln10 ) 71. lim x!0 ex2 − 1 p 1 + sin2 x − 1 (DS. 2) 72. lim x!0 ex2 − cos x sin2 x (DS. 3 2 )
  • 80. tu. c 41 73. lim x!0 ex − e
  • 81. − sin
  • 82. 74. lim x!0 esin 5x − esin x ln(1 + 2x) (DS. 2) 75. lim x!0 ax2 − bx2 ln cos 2x , a 0, b 0 (DS. − 1 2 ln a b ) 76. lim x!0 hasin x + bsinx 2 i1 x , a 0, b 0 (DS. p ab) 7.3 H`am liˆen tu. c D-i. nh ngh˜ıa 7.3.1. H`am f(x) x´ac di. n cu’a diˆe’m x0 nh trong lˆan cˆa. du.o. .c go. i diˆe’m d´o nˆe´u i l`a liˆen tu.c ta. lim x!x0 f(x) = f(x0). nh ngh˜ıa 7.3.1 tu.o.ng du.o.ng v´o.i Di. D-i. nh ngh˜ıa 7.3.1. H`am f(x) x´ac di. n cu’a diˆe’m x0 nh trong lˆan cˆa. du.o. .c go. i diˆe’m x0 nˆe´u i l`a liˆen tu.c ta. 8 0 9 0 8 x 2 Df : |x − x0| ) |f(x) − f(x0)| . u x − x0 = x du.o. Hiˆe. .c go. i l`a sˆo´ gia cu’a dˆo´i sˆo´, c`on hiˆe. u f(x) − f(x0) = f du.o. .c go. i l`a sˆo´ gia cu’a h`am sˆo´ ta. i x0 tu.o.ng ´u.ng v´o.i sˆo´ gia x, t´u.c l`a x = x − x0, f(x0) = f(x0 +x) − f(x0). V´o.i ngˆon ng˜u. sˆo´ gia di. nh ngh˜ıa 7.3.1 c´o da.ng D-i. nh ngh˜ıa 7.3.1. H`am f(x) x´ac di. nh trong lˆan cˆa. n cu’a diˆe’m x0 du.o. .c go. i x0 nˆe´u i l`a liˆen tu.c ta. lim x!0 f = 0.
  • 83. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ B˘a`ng “ngˆon ng˜u. d˜ay” ta c´o di. nh ngh˜ıa tu.o.ng du.o.ng D-i. nh ngh˜ıa 7.3.1. H`am f(x) x´ac di. n diˆe’m x0 2 Df nh trong lˆan cˆa. du.o. .c go. i diˆe’m x0 nˆe´u i l`a liˆen tu.c ta. 8(xn) 2 Df : xn ! x0 ) lim n!1 f(xn) = f(x0). D-i. n cˆa`n v`a du’ dˆe’ h`am f(x) liˆen tu.c ta. nh l´y 7.3.1. Diˆe`u kiˆe. i diˆe’m x0 l`a h`am f(x) tho’a m˜ac c´ac diˆe`u kiˆe. n sau dˆay: i) H`am pha’ i x´ac di.nh ta.i mˆo. n n`ao d´o cu’a diˆe’m x0. t lˆan cˆa. ii) H`am c´o c´ac gi´o.i ha. t ph´ıa nhu. nhau n mˆo. lim x!x0−0 f(x) = lim x!x0+0 f(x). iii) lim x!x0−0 = lim x!x0+0 = f(x0). Gia’ su. ’ h`am f(x) x´ac di. nh trong nu. ’ a lˆan cˆa. n bˆen pha’ i (bˆen tr´ai) cu’ a diˆe’m x0, ngh˜ıa la` trˆen nu’.a khoa’ng [x0, x0 + ) (tu.o.ng u´.ng: trˆen (x0 − , x0]) n`ao d´o. H`am f(x) du.o. .c go. i l`a liˆen tu.c bˆen pha’i (bˆen tr´ai) ta.i diˆe’m x0 nˆe´u f(x0 + 0) = f(x0) (tu.o.ng ´u.ng: f(x0 − 0) = f(x0)). D- i. i diˆe’m x0 2 Df khi v`a chı’ khi nh l´y 7.3.2. H`am f(x) liˆen tu.c ta. n´o liˆen tu.c bˆen pha’i v`a bˆen tr´ai ta.i diˆe’m x0. H`am liˆen tu.c ta. t diˆe’m c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau. i mˆo. i diˆe’m x0 th`ı f(x) ± g(x), I) Nˆe´u c´ac h`am f(x) v`a g(x) liˆen tu.c ta. f(x) · g(x) liˆen tu.c ta. i x0 nˆe´u g(x0)6= 0. i x0, v`a f(x)/g(x) liˆen tu.c ta. II) Gia’ su. ’ h`am y = '(x) liˆen tu. c ta. i x0, c`on h`am u = f(y) liˆen tu.c ta. .p u = f['(x)] liˆen tu.c ta. i y0 = '(x0). Khi d´o h`am ho. i x0. T`u. d´o suy ra r˘a`ng lim x!x0 f['(x)] = f lim x!x0 '(x) . i diˆe’m x0 nˆe´u n´o x´ac di. H`am f(x) go.i l`a gi´an doa.n ta. nh ta.i nh˜u.ng . ediˆe’m g.oa` ˆn x0 bao nhiˆeu t`uy y ´nhu.ng ta.i ch´ınh x0 h`am khong ˆtho’a man ˜´ıt nhaˆ´t mˆt trong cac ´diˆe`u kiˆn liˆen tu. c o’. trˆen.
  • 84. tu. c 43 Diˆe’m x0 du.o. .c go. i l`a 1) Diˆe’m gi´an doa. n khu. ’ du.o. .c cu’ a h`am f(x) nˆe´u tˆo`n ta. i lim x!x0 f(x) = b nhu.ng ho˘a. nh ta.i diˆe’m x0 ho˘a. c f(x) khˆong x´ac di. c f(x0)6= b. Nˆe´u bˆo’ sung gi´a tri. f(x0) = b th`ı h`am f(x) tro. ’ nˆen liˆen tu. c ta. i x0, t´u.c l`a khu. ’ du.o. gi´an doa.n c´o thˆe’ .c. 2) Diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’u I cu’ a h`am f(x) nˆe´u 9 f(x0+0) v`a 9 f(x0−0) nhu.ng f(x0 + 0)6= f(x0 − 0). 3) Diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’u II cu’ a h`am f(x) nˆe´u ta. i diˆe’m x0 mˆo. t trong c´ac gi´o.i ha. n lim x!x0+0 f(x) ho˘a. c lim x!x0−0 f(c) khˆong tˆo `n ta. i. H`am f(x) du.o. .c go. i l`a h`am so. cˆa´p nˆe´u n´o du.o. .c cho bo . t biˆe’u ’i mˆo. th´u.c gia’ i t´ıch lˆa. p nˆen nh`o. mˆo. t sˆo´ h˜u.u ha. n ph´ep t´ınh sˆo´ ho.c v`a c´ac .p h`am thu. ph´ep ho. .c hiˆe. n trˆen c´ac h`am so. cˆa´p co . ba’n. Mo. i h`am so. cˆa´p x´ac di. n cu’a mˆo. nh trong lˆan cˆa. t diˆe’m n`ao d´o l `a i diˆe’m d´o. liˆen tu.c ta. Lu.u ´y r˘a`ng h`am khˆong so. cˆa´p c´o thˆe’ c´o gi´an doa.n ta. i nh˜u.ng diˆe’m nh c˜ung nhu. ta.i nh˜u.ng diˆe’m m`a n´o x´ac di. n´o khˆong x´ac di. nh. D˘a.c biˆe.t l`a nˆe´u h`am du.o. .c cho bo . ’ i nhiˆe`u biˆe’ u th´u.c gia’ i t´ıch kh´ac nhau trˆen c´ac i nh˜u.ng diˆe’m thay dˆo’i khoa’ng kh´ac nhau th`ı n´o c´o thˆe’ c´o gi´an doa.n ta. biˆe’u th´u.c gia’ i t´ıch. C´AC V´I DU. V´ı du. 1. Ch´u.ng minh r˘a`ng h`am f(x) = sin(2x−3) liˆen tu. c 8 x 2 R. Gia’ i. Ta lˆa´y diˆe’m x0 2 R t`uy ´y. X´et hiˆe.u sin(2x − 3) − sin(2x0 − 3) = 2 cos(x + x0 − 3) sin(x − x0) = (x). . V`ı | o a. cos(x + x0 − 3)| 6 1 v`a sin(x − x0)| |x − x0| nˆen khi x ! x0 h`am sin(x − x0) l`a h`am vo ˆc`ung b´e. T`u. do ´suy ra`˘ng (x) l`a t´ıch cu’ a h`am bi. ch˘n v´i vo ˆc`ung b´e v`a lim x!x0 sin(2x − 3) = sin(2x0 − 3). N
  • 85. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ V´ı du. 2. Ch´u.ng minh r˘a`ng h`am f(x) = p x + 4 liˆen tu.c ta. i diˆe`m x0 = 5. Gia’ i. Ta c´o f(5) = 3. Cho tru.´o.c sˆo´ 0. Theo di. nh ngh˜ıa 1 ta lˆa. p hiˆe. u f(x) − f(5) = p x+ 4 − 3 v`a u.´o.c lu . .ng mˆodun cu’ a n´o. Ta o. c´o p x + 4 − 3| = | |x − 5| p x + 4 + 3| | |x − 5| 3 (*) Nˆe´u ta cho.n = 3 th`ı v´o.i nh˜u.ng gi´a tri. x m`a |x − 5| = 3 p x + 4 −3| . T`u. d´o suy r˘a`ng h`am f(x) liˆen tu.c ta. ta s˜e c´o | i diˆe’m x0 = 5. N V´ı du. 3. Ch´u.ng minh r˘a`ng h`am f(x) = . p x aliˆen tu. c bˆen pha’i ti diˆe’m x0 = 0. p x−0| Gia’ i. Gia’ su. ’ cho tru.´o.c sˆo´ 0 t`uy ´y. Bˆa´t d˘a’ ng th´u.c | tu.o.ng du.o.ng v´o.i bˆa´t d˘a’ ng th´u.c 0 6 x 2. Ta lˆa´y = 2. Khi d´o t`u. bˆa´t d˘a’ ng th´u.c 0 6 x suy r˘a`ng p x . Diˆe`u d´o c´o ngh˜ıa r˘a`ng lim x!0+0 p x = 0. N V´ı du. 4. Ch´u.ng minh r˘a`ng h`am y = x2 liˆen tu. c trˆen to`an tru.c sˆo´. Gia’ i. Gia’ su’. x0 2 R la` diˆe’m tu`y y´ trˆen tru. c soˆ´ va` 0 la` sˆo´ cho tru.´o.c t`uy ´y. Ta x´et hiˆe. u |x2 − x20 | = |x + x0||x − x0| v`a cˆa `n u.´o.c lu . .ng n´o. V`ı |x + x0| khˆong bi. ch˘a. o. n trˆen R nˆen dˆe’ u.´o.c lu.o. .ng hiˆe. u trˆen ta x´et mˆo. t lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’ a x0, ch˘a’ ng ha.n U(x0; 1) = (x0 − 1; x0 + 1). V´o.i x 2 U(x0; 1) ta c´o |x + x0| = |x − x0 + 2x0| 6 |x − x0| + 2|x0| 1 + 2|x0| v`a do d´o |x2 − x20 | (1 + 2|x0|)|x − x0|.
  • 86. tu. c 45 n cu’a diˆe’m x0 cˆa ` n pha’i n˘a`m trong U(x0; 1) nˆen ta lˆa´y V`ı -lˆan cˆa. = min 1 + 2|x0| v`a v´o.i |x − x0| = min ; 1 1 + 2|x0| ta s˜e ; 1 c´o |x2 − x20 | . N V´ı du. nh v`a phˆan loa.i diˆe’m gi´an doa.n cu’ a h`am 5. X´ac di. f(x) = 1 1 + 2 1 x−1 · nh 8 x6= 1. Nhu. vˆa. Gia’ i. H`am d˜a cho x´ac di. y diˆe’m gi´an doa.n l`a diˆe’m x0 = 1. Nˆe´u (xn) l`a d˜ay hˆo. i tu. dˆe´n 1 v`a xn 1 th`ı 1 xn − 1 l`a d˜ay vˆo c`ung l´o.n v´o . i sˆo´ ha.ng dˆe`u du . i mo. o.ng. Do d´o 1 + 2 1 xn−1 l`a d˜ay vˆo c`ung l´o.n. T`u. d´o suy r˘a`ng f(xn) = 1 1 + 2 1 xn−1 l`a d˜ay vˆo c`ung b´e, t´u.c l`a lim n!1 f(xn) = 0 v`a lim x!1+0 f(x) = 0. Nˆe´u (xn) ! 1 v`a xn 1 th`ı 1 xn − 1 l`a d˜ay vˆo c`ung l´o.n v´o . i c´ac sˆo´ ha.ng dˆe`u ˆam. Do vˆa. y 2 1 xn−1 ! 0 (n!1) v`a f(xn) = 1 1 + 2 1 xn−1 !1 (n!1), t´u.c l`a lim x!1−0 u I. N f(x) = 1. Do d´o diˆe’m x0 = 1 l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’ V´ı du. nh v`a phˆan loa.i diˆe’m gi´an doa.n cu’ a h`am 6. X´ac di. f(x) = 8 : x cos 1 x khi x 0 0 khi x = 0 cos 1 x khi x 0.
  • 87. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ Gia’ i. Diˆe’m gi´an doa.n c´o thˆe’ c´o cu’ a h`am l`a x0 = 0. Ta x´et c´ac gi´o.i t ph´ıa ta.i diˆe’m x0 = 0. ha.n mˆo. i) Ta ch´u.ng minh r˘a`ng lim x!0−0 f(x) = 0. Thˆa. y, nˆe´u d˜ay (xn) t vˆa. hˆo. i tu. dˆe´n 0 v`a xn 0 8 n th`ı
  • 88.
  • 89.
  • 90. = |xn| cos 1 xn
  • 91.
  • 92.
  • 93. |xn| ! 0 khi n!1 nˆen lim n!1 f(xn) = 0. ii) H`am d˜a cho khˆong c´o gi´o.i ha. i diˆe’m x0 = 0. Dˆe’ n bˆen pha’i ta. ch´u.ng minh diˆe`u d´o t a x´et hai d˜ay hˆo. i tu. p nˆen t`u. c´ac d˜ay dˆe´n 0 lˆa. sˆo´ du.o.ng xn = 1 2 + n v`a x0 n = 1 2n . Nˆe´u nhu . h`am f c´o gi´o.i ha. n i diˆe’m x0 = 0 th`ı hai d˜ay f(xn) v`a f(x0 bˆen pha’i ta. n) pha’i hˆo. i tu. dˆe´n t gi´o.i ha. c`ung mˆo. n. Thˆe´ nhu.ng f(x0 n) = cos2n = 1 hˆo. i tu. dˆe´n 1, c`on f(xn) = cos 2 + n = 0 hˆo. i tu. dˆe´n 0. T`u. d´o suy r˘a`ng h`am c´o gi´an doa.n kiˆe’ i diˆe’m x0 = 0. N u II ta. V´ı du. 7. T`ım v`a phˆan loa.i c´ac diˆe’m gi´an doa.n cu’ a c´ac h`am: 1) y = (signx)2; 2) y = [x] Gia’ i 1) T`u. di. nh ngh˜ıa h`am signx suy r˘a`ng (signx)2 = 8 : 1, x6= 0 0, x= 0. T`u. d´o suy r˘a`ng h`am y = (signx)2 liˆen tu. c 8 x6= 0 (h˜ay du. .ng d`oˆ o. . thi. cu’ a u h`am) v`a ta.i diˆe’m x0 = 0 ta co ´y(0 − 0) = y(0 + 0)6= y(0). Diˆe`u do ´co ´ngh˜ıa r˘a`ng x0 = 0 l`a diˆe’m gian ´doa.n kh’ du..c. 2) Gia’ su’. n 2 Z. Nˆe´u n − 1 6 x n th`ı [x] = n − 1, nˆe´u n 6 x n + 1 th`ı [x] = n (h˜ay du. .ng dˆo` thi. cu’ a h`am phˆa ` n nguyˆen [x]). Nˆe´u x062 Z th`ı tˆo`n ta. n cu’a diˆe’m x0 (khˆong ch´u.a c´ac sˆo´ i lˆan cˆa.
  • 94. tu. c 47 nguyˆen) sao cho ta.i d´o h`am b˘a`ng h˘a`ng sˆo´. Do vˆa. y n´o liˆen tu.c ta. i x0. Nˆe´u x0 = n l`a sˆo´ nguyˆen th`ı [n − 0] = n − 1, [n + 0] = n. T`u. d´o suy r˘a`ng x0 = n l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’ u I. N V´ı du. 8. Kha’o s´at su. . liˆen tu. c v`a phˆan loa.i diˆe’m gi´an doa.n cu’ a c´ac h`am 1) f(x) = x2 x , 2) f(x) = e−1 x , 3) f(x) = 8 x nˆe´u x 6 1 lnx nˆe´u x 1. : Gia’ i 1) H`am f(x) = x nˆe´u x6= 0 v`a khˆong x´ac di. nh khi x = 0. V`ı 8 a ta c´o lim x!a x = a nˆen khi a6= 0: lim x!a f(x) = a = f(a) v`a do vˆa. y h`am f(x) liˆen tu. c 8 x6= 0. Ta.i diˆe’m x = 0 ta c´o gi´an doa.n khu. ’ du.o. . .c av`ı tˆo`n ti lim x!0 f(x) = lim x!0 x = 0. x l`a h`am so. cˆa´p v`ı n´o l`a ho. 2) H`am f(x) = e−1 .p cu’ a c´ac h`am y = −x−1 v`a f = ey. Hiˆe’ n nhiˆen l`a h`am f(x) x´ac di.nh 8 x6= 0 v`a do d´o n´o liˆen tu. c 8 x6= 0. V`ı h`am f(x) x´ac di. n diˆe’m nh trong lˆan cˆa. nh ta.i ch´ınh diˆe’m x = 0 nˆen diˆe’m x = 0 l`a diˆe’m x = 0 v`a khˆong x´ac di. gi´an doa. n. Ta t´ınh f(0 + 0) v`a f(0 − 0). Ta x´et d˜ay vˆo c`ung b´e t`uy ´y (xn) sao cho xn 0 8 n. V`ı lim x!1 − 1 xn = −1nˆen lim x!1 e− 1 xn = 0. T`u. d´o suy r˘a`ng lim x!0+0 e−1 x = 0. Bˆay gi`o. ta x´et d˜ay vˆo c`ung b´e bˆa´t k`y (x0 n) sao cho x0 0 0 8 n. V`ı lim n!1 − 1 x0 n = +1 nˆen lim x!0 − 1 e x0 n = +1. Do d´o lim x!0−0 e−1 x = +1 t´u.c l`a f(0 − 0) = +1. Nhu. vˆa. y gi´o.i ha. i diˆe’m x = 0 khˆong tˆo`n n bˆen tr´ai cu’ a h`am f(x) ta. ta.i do d´o diˆe’m x = 0 l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’ u II.
  • 95. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ 3) Ta ch´u.ng minh r˘a`ng f(x) liˆen tu.c ta. i diˆe’m x = a6= 1. Ta lˆa´y n cu’a diˆe’m x = a khˆong ch´u.a diˆe’m |a − 1|, 0. Khi d´o -lˆan cˆa. x = 1 nˆe´u |a − 1|. Trong -lˆan cˆa. n n`ay h`am f(x) ho˘a. c tr`ung v´o.i h`am '(x) = x nˆe´u a 1 ho˘a. c tr`ung v´o.i h`am '(x) = lnx nˆe´u a 1. V`ı c´ac h`am so. cˆa´p co . ba’n n`ay liˆen tu.c ta. i diˆe’m x = a nˆen h`am f(x) i diˆe’m x = a6= 1. liˆen tu.c ta. i diˆe’m x = a = 1. Dˆe’ l`am Ta kha’o s´at t´ınh liˆen tu.c cu’ a h`am f(x) ta. c d´o ta cˆa ` n t´ınh c´ac gi´o.i ha. viˆe. t ph´ıa cu’ a f(x) ta. n mˆo. i diˆe’m x = a = 1. Ta c´o f(1 + 0) = lim x!1+0 f(x) = lim x!1+0 lnx = 0, f(1 − 0) = lim x!1−0 f(x) = lim x!1−0 x = lim x!1 x = 1. Nhu. vˆa. y f(1 +0)6= f(1−0) v`a do d´o h`am f(x) c´o gi´an doa.n kiˆe’u I ta. i x = a = 1. B`AI TˆA. P Kha’o s´at t´ınh liˆen tu. c v`a phˆan loa.i diˆe’m gi´an doa.n cu’ a h`am 1. f(x) = |2x − 3| 2x − 3 (DS. H`am x´ac di. nh v`a liˆen tu. c 8 x6= 3 2 ; ti . ax0 = 3 2 h`am c´o gi´an doa.n kiˆe’ u I) 2. f(x) = 8 : 1 x nˆe´u x6= 0 1 nˆe´u x = 0. (DS. H`am liˆen tu. c 8 x 2 R) i hay khˆong gi´a tri. a dˆe’ h`am f(x) liˆen tu.c ta. 3. C´o tˆo`n ta. i x0 nˆe´u: 1) f(x) = 8 : 4 · 3x nˆe´u x 0 2a + x khi x 0. (DS. H`am f liˆen tu. c 8 x 2 R nˆe´u a = 2)
  • 96. tu. c 49 2) f(x) = 8 : x sin 1 x , x6= 0; a, x = 0, x0 = 0. . (DS. a = 0) 3) f(x) = 8 : 1 + x 1 + x3, x6= −1 a, x = −1, x0 = −1. (DS. a = 1 3 ) 4) f(x) = 8 : cos x, x 6 0; a(x − 1), x 0; x0 = 0. (DS. a = −1) 4. f(x) = | sin x| sin x i x = k, k 2 Z v`ı: (DS. H`am c´o gi´an doa.n ta. f(x) = 8 : 1 nˆe´u sinx 0 −1 nˆe´u sinx 0) 5. f(x) = E(x) − E(−x) (DS. H`am c´o gi´an doa.n khu . ’ du.o. .c ta. i x = n, x 2 Z v`ı: f(x) = 8 : −1 nˆe´u x = n 0 nˆe´u x6= n.) 6. f(x) = 8 : e1/x khi x6= 0 0 khi x = 0. (DS. Ta.i diˆe’m x = 0 h`am c´o gi´an doa.n kiˆe’u II; f(−0) = 0, f(+0) = 1) T`ım diˆe’m gi´an doa.n v`a t´ınh bu.´o.c nha’y cu’ a c´ac h`am: 7. f(x) = x + x + 2 |x + 2| (DS. x = −2 l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’ u I, (−2) = 2)
  • 97. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ 8. f(x) = 2|x − 1| x2 − x3 (DS. x = 0 l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’ u II, x = 1 l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’ u I, (1) = −4) H˜ay bˆo’ sung c´ac h`am sau daˆy ta. i diˆe’m x = 0 dˆe’ chu´ng tro’. tha`nh liˆen tu. c 9. f(x) = tgx x (DS. f(0) = 1) 10. f(x) = p 1 + x − 1 x (DS. f(0) = 1 2 ) 11. f(x) = sin2 x 1 − cos x (DS. f(0) = 2) u cu’ a c´ac gi´o.i ha. 12. Hiˆe. t ph´ıa cu’ a h`am f(x): n mˆo. d = lim x!x0+0 f(x) − lim x!x0−0 f(x) du.o. .c go. i l`a bu.´o.c nha’y cu’ a h`am f(x) ta. i diˆe’m x0. T`ım diˆe’m gi´an doa. n v`a bu.´o.c nha’y cu’ a h`am f(x) nˆe´u: 1) f(x) = 8 : − 1 2 x2 nˆe´u x 6 2, x nˆe´u x 2. (DS. x0 = 2 l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’ u I; d = 4) 2) f(x) = 8 : p 2 x nˆe´u 0 6 x 6 1; 4 − 2x nˆe´u 1 x 6 2, 5; 2x −7 nˆe´u 2, 5 6 x +1. (DS. x0 = 2,5 l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’ u I; d = −1) 3) f(x) = 8 : 2x + 5 nˆe´u −1 x −1, 1 x nˆe´u − 1 6 x +1. (DS. x0 = 0 l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’ u II; diˆe’m x0 = −1 l`a diˆe’m gi´an doa.n kiˆe’u I, d = −4)
  • 98. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am nhiˆe`u biˆe´n 51 7.4 Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’a h`am nhiˆe`u biˆe´n 1. Gia’ su. ’ u = f(M) = f(x, y) x´ac di. nh trˆen tˆa. .p D. Gia’ su’. p ho. M0(x0, y0) l`a diˆe’m cˆo´ di. nh n`ao d´o cu’a m˘a. t ph˘a’ ng v`a x ! x0, y ! y0, khi d. u o ´diˆe’m M(x, y) ! M0(x0, y0). Diˆe`u n`ay tu.o.ng du.o.ng vo.´i khoa’ng cach ´(M,M0) giu.˜a hai diˆe’m M v`a M0 d`a ˆn dˆe´n 0. Ta lu y ´r˘a`ng (M,M0) = [(x − x0)2 + (y − y0)2]1/2. Ta c´o c´ac di. nh ngh˜ıa sau dˆay: nh ngh˜ıa gi´o.i ha. i) Di. n (theo Cauchy) Sˆo´ b du.o. .c go. i l`a gi´o.i ha. n cu’ a h`am f(M) khi M ! M0 (hay ta. i diˆe’m M0) nˆe´u 8 0, 9 = () 0 : 8M 2 {D : 0 (M,M0) ()} ) |f(M) − b| . nh ngh˜ıa gi´o.i ha. ii) Di. n (theo Heine) Sˆo´ b du.o. .c go. i l`a gi´o.i ha. i diˆe’m M0 nˆe´u dˆo´i v´o . n cu’ a h`am f(M) ta. i d˜ay diˆe’m {Mn} bˆa´t k`y hˆo. i tu. dˆe´n M0 sao cho Mn 2 D, Mn6= M0 8 n 2 N th`ı d˜ay c´ac gi´a tri. tu.o.ng ´u.ng cu’ a h`am {f(Mn)} hˆo. i tu. dˆe´n b. K´y hiˆe. u: i) lim M!M0 f(M) = b, ho˘a. c ii) lim x ! x0 y ! y0 f(x, y) = b Hai di. nh ngh˜ıa gi´o.i ha. n trˆen dˆay tu.o.ng du.o.ng v´o.i nhau. nh r˘a`ng theo di. Ch´u ´y. Ta nhˆa´n ma. nh ngh˜ıa, gi´o.i ha. n cu’ a h`am khˆong phu. thuˆo. c v`ao phu.o.ng M dˆa `n t´o . i M0. Do d´o nˆe´u M ! M0 theo . acac ´hu.o.´ng khac ´nhau m`a f(M) da`ˆn dˆe´n cac ´gia ´tri. khac ´nhau th`ı khi M ! M0 h`am f(M) khong ˆco ´gio.´i hn.
  • 99. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ iii) Sˆo´ b du.o. .c go. i l`a gi´o.i ha. n cu’ a h`am f(M) khi M !1nˆe´u 8 0, 9R 0 : 8M 2 {D : (M,0) R} ) |f(M) − b| . Dˆo´i v´o . i h`am nhiˆe`u biˆe´n, c`ung v´o.i gi´o.i ha. . n tho ˆong thu.`o.ng d˜a nˆeu ’ trˆen (gi´o.i ha. n k´ep !), ngu.`o.i ta c`on x´et gi´o.i ha. n l˘a. p. Ta s˜e x´et kh´ai m n`ay cho h`am hai biˆe´n u = f(M) = f(x, y). Gia’ su. ’ u = f(x, y) x´ac di. niˆe. nh trong h`ınh ch˜u. nhˆa. t Q = {(x, y) : |x − x0| d1, |y − y0| d2} c´o thˆe’ tr`u. ra ch´ınh c´ac diˆe’m x = x0, y = y0. Khi cˆo´ di. nh mˆo. t gi´a tri. y th`ı h`am f(x, y) tro. ’ th`anh h`am mˆo. t biˆe´n. Gia’ su. ’ dˆo´i v´o . i gi´a tri. cˆo´ nh y bˆa´t k`y tho’a m˜an diˆe`u kiˆe. di. i gi´o.i ha. n 0 |y − y0| d2 tˆo`n ta. n lim x!x0 y cˆo´ di. nh f(x, y) = '(y). Tiˆe´p theo, gia’ su’. lim y!y0 i. Khi d´o ngu.`o.i ta n´oi r˘a`ng '(y) = b tˆo`n ta. i gi´o.i ha. tˆo`n ta. p cu’ a h`am f(x, y) ta. n l˘a. i diˆe’m M0(x0, y0) v`a viˆe´t lim y!y0 lim x!x0 f(x, y) = b, trong d´o gi´o.i ha. n lim x!x0 y cˆo´ di. nh 0|y−y0|d2 i l`a gi´o.i ha. f(x, y) go. n trong. Tu.o.ng tu. ., ta nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n l˘a. c´o thˆe’ ph´at biˆe’u di. p kh´ac lim x!x0 lim y!y0 f(x, y) trong d´o gi ´o.i ha. n lim y!y0 x cˆo´ di. nh 0|x−x0|d1 f(x, y) l`a gi´o.i ha. n trong. Mˆo´i quan hˆe. gi˜u.a gi´o.i ha. n k´ep v`a c´ac gi´o.i ha. p du.o. n l˘a. .c thˆe’ hiˆe. n trong di. nh l´y sau dˆay:
  • 100. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am nhiˆe`u biˆe´n 53 Gia’ su. ’ ta. i diˆe’m M0(x0, y0) gi´o.i ha. n k´ep v`a c´ac gi´o.i ha. n trong cu’a c´ac gi´o.i ha. p cu’a h`am tˆo`n ta. n l˘a. i. Khi d´o c´ac gi´o.i ha. p tˆo`n ta. n l˘a. i v`a lim x!x0 lim y!y0 f(x, y) = lim y!y0 lim x!x0 = lim x!x0 y!y0 f(x, y). T`u. di. c thay dˆo’i th´u. tu. nh l´y n`ay ta thˆa´y r˘a`ng viˆe. . trong c´ac gi´o.i ha.n khˆong pha’ i bao gi`o. c˜ung du.o. .c ph´ep. Dˆo´i v´o . i h`am nhiˆe`u biˆe´n ta c˜ung c´o nh˜u.ng di. nh l´y vˆe` c´ac t´ınh chˆa´t sˆo´ ho.c cu’ a gi´o.i ha. n tu . o.ng tu. . c´ac di. nh l´y vˆe` gi´o.i ha. n cu’ a h`am mˆo. t biˆe´n. 2. T`u. kh´ai niˆe. m gi´o.i ha. m vˆe` t´ınh liˆen tu. c n ta s˜e tr`ınh b`ay kh´ai niˆe. cu’ a h`am nhiˆe`u biˆe´n. H`am u = f(M) du.o. .c go. i l`a liˆen tu. c ta.i diˆe’m M0 nˆe´u: nh ta.i ch´ınh diˆe’m M0 c˜ung nhu. trong mˆo. i) f(M) x´ac di. t lˆan cˆa. n n`ao d´o cu’a diˆe’m M0. ii) Gi´o.i ha. n lim M!M0 f(M) tˆo`n ta. i. iii) lim M!M0 f(M) = f(M0). . liˆen tu.c v`u.a du.o. Su. .c di. . liˆen tu. c theo tˆa.p ho. nh ngh˜ıa go. i l`a su. .p biˆe´n sˆo´. i diˆe’m cu’ a H`am f(M) liˆen tu. c trong miˆe`n D nˆe´u n´o liˆen tu.c ta.i mo. miˆe`n d´o. Diˆe’m M0 du.o. .c go. . o i l`a diˆe’m gian ´doa. n cu’ a h`am f(M) nˆe´u doˆ´i v´i diˆe’m M0 c´o ´ıt nhˆa´t mˆo. t trong ba diˆe`u kiˆe. n trong di. nh ngh˜ıa liˆen tu. c l`a nh˜u.ng khˆong tho’a m˜an. Diˆe’m gi´an doa.n cu’ a h`am nhiˆe `u biˆe´n c´o thˆe’ diˆe’m cˆo lˆa. t du.`o.ng (du.`o.ng gi´an doa. n). p, v`a c˜ung c´o thˆe’ l`a ca’ mˆo. i diˆe’m M0(x0, y0) theo tˆa. Nˆe´u h`am f(x, y) liˆen tu.c ta. .p biˆe´n sˆo´ p ho. th`ı n´o liˆen tu. c theo t`u.ng biˆe´n sˆo´. Diˆe`u kh˘a’ ng di. nh ngu.o. .c la. i l`a khˆong d´ung. C˜ung nhu. dˆo´i v´o . t biˆe´n, tˆo’ng, hiˆe. i h`am mˆo. u v`a t´ıch c´ac h`am liˆen i diˆe’m M0 l`a h`am liˆen tu.c ta. tu. c hai biˆe´n ta. i diˆe’m d´o; thu.o.ng cu’ a hai h`am liˆen tu.c ta. i M0 nˆe´u ta. i M0 c˜ung l`a h`am liˆen tu.c ta. i diˆe’m M0 h`am
  • 101. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ mˆa˜u sˆo´ kh´ac 0. Ngo`ai ra, di. .p vˆa˜n nh l´y vˆe ` t´ınh liˆen tu.c cu’ a h`am ho. d´ung trong tru.`o.ng ho. .p n`ay. n x´et. Tu.o.ng tu. Nhˆa. . nhu. trˆen ta c´o thˆe’ tr`ınh b`ay c´ac kh´ai niˆe. m co . ba’n liˆen quan dˆe´n gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am ba biˆe´n,... C´AC V´I DU. V´ı du. 1. Ch´u.ng minh r˘a`ng h`am f(x, y) = (x + y) sin 1 x sin 1 y l`a vˆo c`ung b´e ta.i diˆe’m O(0, 0). nh ngh˜ıa vˆo c`ung b´e (tu.o.ng tu. Gia’ i. Theo di. . nhu. dˆo´i v´o . i h`am mˆo. t biˆe´n) ta cˆa `n ch´u.ng minh r˘a`ng lim x!0 y!0 f(x, y) = 0. Ta ´ap du. nh ngh˜ıa gi´o.i ha. ng di. n theo Cauchy. Ta cho sˆo´ 0 t`uy ´y v`a d˘a. t = 2 . Khi d´o nˆe´u M(x, y),O(0, 0) = p x2 + y2 th`ı |x| , |y| . Do d´o |f(x, y) − 0| =
  • 102.
  • 103.
  • 104. sin 1 x sin 1 y
  • 105.
  • 106.
  • 107. |y| 2 = . Diˆe`u d´o ch´u.ng to’ r˘a`ng lim x!0 y!0 f(x, y) = 0. V´ı du. 2. T´ınh c´ac gi´o.i ha.n sau dˆay: 1) lim x!0 y!2 1 + xy 2 x2 + xy , 2) lim x!0 y!2 p x2 + (y − x)2 + 1 − 1 x2 + (y − 2)2 , 3) lim x!0 y!0 x4 + y4 x2 + y2 .
  • 108. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am nhiˆe`u biˆe´n 55 Gia’ i. 1) Ta biˆe’u diˆe˜n h`am du.´o.i dˆa´u gi´o.i ha. n du . ´o.i da. ng h 1 + xy 1 xy i 2y x + y . V`ı t = xy ! 0 khi x ! 0 y ! 0 ! nˆen lim x!0 y!2 1 + xy 1 xy = lim t!0 1 + t 1 t = e. Tiˆe´p theo v`ı lim x!0 y!2 2 x + y nh l´y thˆong thu.`o.ng vˆe ` gi´o.i ha. = 2 (theo di. n cu’a thu . o.ng), do d´o gi´o.i ha. n cˆa` n t`ım b˘a`ng e2. 2) Ta t`ım gi´o.i ha. n v´o . i diˆe`u kiˆe. n M(x, y) ! M0(0, 2). Khoa’ng c´ach gi˜u.a hai diˆe’m M v`a M0 b˘a`ng = p x2 + (y − 2)2 . Do d´o lim x!0 y!2 f(x, y) = lim !0 p 2 + 1 − 1 2 = lim !0 (2 p + 1) − 1 2( 2 + 1 + 1) = lim !0 1 p 2 + 1 + 1 = 1 2 · .c ta c´o x = cos ', y = sin '. Ta c´o 3) Chuyˆe’n sang to.a dˆo. cu. x4 + y4 x2 + y2 = 4(cos4 ' + sin4 ') 2(cos2 ' + sin2 ') = 2(cos4 ' + sin4 '). V`ı cos4 ' + sin4 ' 6 2 nˆen lim x!0 y!0 x4 + y4 x2 + y2 = lim !0 2(cos4 ' + sin4 ') = 0.
  • 109. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ V´ı du. 3. 1) Ch´u.ng minh r˘a`ng h`am f1(x, y) = x − y x + y khˆong c´o gi´o.i ha. i diˆe’m (0, 0). n ta. 2) H`am f2(x, y) = xy x2 + y2 c´o gi´o.i ha. i diˆe’m (0, 0) hay khˆong ? n ta. nh kh˘a´p no . Gia’ i. 1) H`am f1(x, y) x´ac di. i ngoa.i tr`u. du.`o.ng th˘a’ ng x + y = 0. Ta ch´u.ng minh r˘a`ng h`am khˆong c´o gi´o.i ha. n ta. i (0, 0). Ta lˆa´y hai d˜ay diˆe’m hˆo. i tu. dˆe´n diˆe’m (0, 0): Mn = 1 n , 0 ! (0, 0), n!1, M0 n = 0, 1 n ! (0, 0), n!1. Khi d´o thu du.o. .c lim n!1 f1(Mn) = lim n!1 1 n − 0 1 n + 0 = 1; lim n!1 f1(M0 n) = lim n!1 0 − 1 n 0 + 1 n = −1. Nhu. vˆa. y hai d˜ay diˆe’m kh´ac nhau c`ung hˆo. i tu. dˆe´n diˆe’m (0, 0) nhu.ng hai d˜ay gi´a tri. tu.o.ng ´u.ng cu’ a h`am khˆong c´o c`ung gi´o.i ha. n. Do d´o nh ngh˜ıa h`am khˆong c´o gi´o.i ha. theo di. n ta. i (0, 0). 2) Gia’ su. ’ diˆe’m M(x, y) dˆa ` n dˆe´n diˆe’m (0, 0) theo du.`o.ng th˘a’ ng y = kx qua gˆo´c to. a dˆo. . Khi d´o ta c´o lim x!0 y!0 (y=kx) xy x2 + y2 = lim x!0 kx2 x2 + k2x2 = k 1 + k2 ·
  • 110. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am nhiˆe`u biˆe´n 57 Nhu. vˆa. y khi dˆa `n dˆe´n diˆe’m (0, 0) theo c´ac du.`o.ng th˘a’ ng kh´ac nhau (tu.o.ng ´u.ng v´o.i c´ac gi´a tri. k kh´ac nhau) ta thu du.o. .c c´ac gi´a tri. gi´o.i ha.n kh´ac nhau, t´u.c l`a h`am d˜a cho khˆong c´o gi´o.i ha. i (0, 0). N n ta. V´ı du. 4. Kha’o s´at t´ınh liˆen tu.c cu’ a c´ac h`am 1) f(x, y) = x2 + 2xy + 5 y2 − 2x + 1 2) f(x, y) = 1 x2 + y2 − z 3) f(x, y) = x + y x3 + y3 Gia’ i. 1) Diˆe`u kiˆe. i nh˜u.ng n liˆen tu.c cu’a h`am d˜a cho bi. vi pha.m ta. t ph˘a’ ng R2 m`a to.a dˆo. cu’a ch´ung tho’a m˜an phu.o.ng tr`ınh diˆe’m cu’a m˘a. y2−2x+1 = 0. D´o l`a phu . o.ng tr`ınh du.`o.ng parabon ˆvo. ´i d’ınh ta. i diˆe’m 1 , 0 . Nhva. ˆy cac ´diˆe’m cu’ a parabon ˆn`ay l`a nhu.˜ng diˆe’m gian ´doa.n 2 . u - d´o l`a du.`o.ng gi´an doa.n cu’ a h`am. Nh˜u.ng diˆe’m cu’a m˘a. t ph˘a’ ng R2 c parabˆon d´o l`a nh˜u.ng diˆe’m liˆen tu. c. khˆong thuˆo. 2) H`am d˜a cho liˆen tu.c ta. i diˆe’m cu’ a khˆong gian R3 m`a to.a dˆo. i mo. n x2 + y2 − z6= 0. D´o l`a phu.o.ng tr`ınh cu’a ch´ung tho’a m˜an diˆe`u kiˆe. t paraboloit tr`on xoay. Trong tru.`o.ng ho. m˘a. .p n`ay m˘a. t paraboloit l`a t gi´an doa.n cu’ a h`am. 3) V`ı tu’. soˆ´ va` maˆ˜u sˆo´ la` nhu˜.ng ha`m liˆen tu. c nˆen thu.o.ng la` ha`m m˘a. i nh˜u.ng diˆe’m m`a mˆa˜ u sˆo´ x3+y36= 0. H`am c´o gi´an doa.n ta. liˆen tu.c ta. i a’ nhu.˜ng diˆe’m m`a x3 + y3 = 0 hay y = −x. Ngh˜ıa l`a h`am co ´gian ´doa.n trˆen du.`o.ng th˘ng y = −x. Gia’ su’. x06= 0, y06= 0. Khi do´ lim x!x0 y!y0 x + y x3 + y3 = lim x!x0 y!y0 1 x2 − xy + y2 = 1 x20 − x0y0 + y2 0 · T`u. d´o suy ra r˘a`ng c´ac diˆe’m cu’a du.`o.ng th˘a’ ng y = x (x6= 0) l`a
  • 111. Gi´o.i ha. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am sˆo´ .ng diˆe’m gi´an doa.n khu . nhu. ’ du.o. .c. V`ı lim x!0 y!0 x + y x3 + y3 = lim x!0 y!0 1 x2 − xy + y2 = +1 nˆen diˆe’m O(0, 0) l`a diˆe’m gi´an doa.n vˆo c`ung. B`AI TˆA. P Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay (1-10) h˜ay t`ım miˆe `n x´ac di. nh cu’ a c´ac h`am nˆe´u: 1. w = p x2 − y2. (DS. |y| 6 |x|) 2. w = p xy. (DS. x 0, y 0 ho˘a. c x 6 0, y 6 0) 3. w = p a2 − x2 − y2. (DS. x2 + y2 6 a2) 4. w = 1 p x2 + y2 − a2 . (DS. x2 + y2 a2) 5. w = r 1 − x2 a2 − y2 b2. (DS. x2 a2 + y2 b2 6 1) 6. w = ln(z2 − x2 − y2 − 1). (DS. x2 + y2 − z2 −1) 7. w = arcsin x 2 + p xy. (DS. Hai nu. ’ a b˘ang vˆo ha.n th˘a’ ng d´u.ng {0 6 x 6 2, 0 6 y +1} v`a {−2 6 x 6 0,−1 y 6 0}) 8. w = p x2 + y2 − 1 + ln(4 − x2 − y2). (DS. V`anh tr`on 1 6 x2 + y2 4) 9. w = p sin (x2 + y2). (DS. Tˆa. .p c´ac v`anh dˆo`ng tˆam p ho. 0 6 x2 + y2 6 1; 2 6 x2 + y2 6 3; . . . ) 10. w = p ln(1 + z − x2 − y2). t paraboloid z = x2 + y2 − 1). (DS. Phˆa ` n trong cu’a mˆa. Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay (11-18) h˜ay t´ınh c´ac gi´o.i ha. n cu’ a h`am
  • 112. n v`a liˆen tu.c cu’ a h`am nhiˆe`u biˆe´n 59 11. lim x!0 y!0 sin xy xy . (DS. 1) 12. lim x!0 y!0 sin xy x . (DS. 0) 13. lim x!0 y!0 xy p xy + 1 − 1 . (DS. 2) 14. lim x!0 y!0 x2 + y2 p x2 + y2 + 1 − 1 . (DS. 2) Ch’ı daˆ˜n. Su’. du.ng khoa’ng ca´ch = p x2 + y2 ho˘a. c nhˆan - chia v´o.i da. i lu . .ng liˆen ho. o. .p v´o . i mˆa˜ u sˆo´. 15. lim x!0 y!3 1 + xy2 y x2y + xy2. (DS. e3) 16. lim x!0 y!0 x2y x2 + y2. (DS. 0) 17. lim x!0 y!5 p (x2 + (y − 5)2 + 1 − 1 x2 + (y − 5)2 . (DS. 1 2 ) 18. lim x!1 y!0 tg(2xy) x2y . (DS. 2).
  • 113. t´ınh vi phˆan h`am mˆo. t biˆe´n 8.1 D-a. o h`am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.1.1 D-a. o h`am cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.1.2 D-a. o h`am cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . . 62 8.2 Vi phˆan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8.2.1 Vi phˆan cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8.2.2 Vi phˆan cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . . 77 nh l´y co. ba’n vˆe` h`am kha’ vi. Quy 8.3 C´ac di. i. t´˘ac l’Hospital. Cˆong thu.´c Taylor . . . . . . 84 8.3.1 Cac ´dnh ly ´co. ba’n vˆe` h`am kha’ vi . . . . . 84 8.3.2 Khu. ’ cac ´da.ng vo ˆdnh. Quy t´a˘c Lopitan i.ˆ(L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.3.3 Cˆong th´u.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 96
  • 114. h`am 61 8.1 D-a. o h`am 8.1.1 D-a. o h`am cˆa´p 1 Gia’ su. ’ h`am y = f(x) x´ac di. n cu’a diˆe’m x0 (U(x0; ) = nh trong -lˆan cˆa. {x 2 R : |x − x0| ) v`a f(x0) = f(x0 +x) − f(x0) l`a sˆo´ gia cu’ a n´o ta.i diˆe’m x0 tu.o.ng ´u.ng v´o.i sˆo´ gia x = x − x0 cu’a dˆo´i sˆo´. nh ngh˜ıa: Nˆe´u tˆo`n ta. Theo di. i gi´o.i ha. n h˜u.u ha. n lim x!0 f(x0+x) − f(x0) x khi x ! 0 th`ı gi´o.i ha. n d´o du.o. .c go. i l`a da. . o h`aam cu’ a h`am f(x) ti diˆe’m x0 v`a du.o. .c chı’ bo. ’ i mˆo. t trong c´ac k´y hiˆe. u: lim x!0 f(x0+x) − f(x0) x dy dx d dx f(x) f0(x) y0. i lu . Da. .ng o. f0 +(x0) = f0(x0 + 0) = lim x!0 x0 y x = lim x!0+0 y x v`a f0 −(x0) = f0(x0 − 0) = lim x!0 x0 y x = lim x!0−0 y x du.o. .c go. o h`am bˆen pha’ i v`a da. i l`a da. o h`am bˆen tr´ai cu’ a h`am y = f(x) ta.i diˆe’m x0 nˆe´u c´ac gi´o.i ha. n d˜a nˆeu tˆo`n ta. i. Su. ’ du.ng kh´ai niˆe. m gi´o.i ha. n mˆo. t ph´ıa ta c´o: D- i. nh l´y 8.1.1. H`am y = f(x) c´o da. o h`am ta.i diˆe’m x khi v`a chı’ khi c´ac da. o h`am mˆo. i v`a b˘a`ng nhau: t ph´ıa tˆo`n ta. f0(x+ 0) = f0(x − 0) = f0(x). H`am f(x) kha’ vi nˆe´u n´o c´o da. o h`am f0(x) h˜u.u ha. n. H`am f(x) kha’ vi liˆen tu. c nˆe´u da. i v`a liˆen tu. c. Nˆe´u h`am f(x) kha’ o h`am f0(x) tˆo`n ta. vi th`ı n´o liˆen tu. c. Diˆe`u kh˘a’ nh ngu.o. ng di. .c la. i l`a khˆong d´ung.
  • 115. Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo. t biˆe´n 8.1.2 D-a. o h`am cˆa´p cao Da. o h`am f0(x) du.o. .c go. i l`a da. o h`am cˆa´p 1 (hay da. c nhˆa´t). o h`am bˆa. Da. o h`am cu’ a f0(x) du.o. .c go. i l`a da. o h`am cˆa´p hai (hay da. o h`am th´u. hai) cu’ a h`am f(x) v`a du.o. .c k´y hiˆe. u l`a y00 hay f00(x). Da. o h`am cu’ a f00(x) du.o. .c go. i l`a da. o h`am cˆa´p 3 (hay da. o h`am th´u. ba) cu’ a h`am f(x) v`a du.o. .c k´y hiˆe. u y000 hay f000(x) (hay y(3), f(3)(x) v.v... Ta c´o ba’ng da. o h`am cu’ a c´ac h`am so. cˆa´p co . ba’n f(x) f0(x) f(n)(x) xa axa−1 a(a − 1)(a − 2) · · · (a − n + 1)xa−n, x 0 ex ex ex ax axlna ax(lna)n lnx 1 x (−1)n−1(n − 1)! 1 xn , x 0 logax 1 xlna (−1)n−1(n − 1)! 1 xnlna , x 0 sin x cos x sin x + n 2
  • 116. h`am 63 f(x) f0(x) f(n)(x) cos x −sin x cos x + n 2 tgx 1 cos2 x cotgx − 1 sin2 x arc sin x 1 p 1 − x2 , |x| 1 arccosx − 1 p 1 − x2 , |x| 1 arctgx 1 1 + x2 arccotgx − 1 1 + x2 Viˆe. c t´ınh da. o h`am du.o. .c du. .a trˆen c´ac quy t˘a´c sau dˆay. 1+ d dx [u + v] = d dx u + d dx v. 2+ d dx (u) = du dx , 2 R. 3+ d dx (uv) = v du dx + u dv dx . 4+ d dx u v = 1 v2 v du dx − u dv dx , v6= 0. 5+ d dx f[u(x)] = df du · du dx (da. .p). o h`am cu’ a h`am ho. 6+ Nˆe´u h`am y = y(x) c´o h`am ngu.o. .c x = x(y) v`a dy dx y0 x6= 0 th`ı dx dy x0 y = 1 y0x ·
  • 117. Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo. t biˆe´n 7+ Nˆe´u h`am y = y(x) du.o. .c cho du.´o.i da. ng ˆa’n bo . th´u.c kha’ vi ’i hˆe. F(x, y) = 0 v`a F0 y6= 0 th`ı dy dx = − F0 x F0 y trong d´o F0 x v`a F0 y l`a da. o h`am theo biˆe´n tu . o.ng ´u.ng cu’ a h`am F(x, y) khi xem biˆe´n kia khˆong dˆo’i. 8+ Nˆe´u h`am y = y(x) du.o. .c cho du . ´o.i da. ng tham sˆo´ x = x(t), y = y(t) (x0(t)6= 0) th`ı dy dx = y0(t) x0(t) · 9+ dn dxn (u +
  • 118. dnu dxn +
  • 119. dn dxn uv = Xn k=0 Ck n dn−k dxn−k u dk dxk v (quy t˘a´c Leibniz). n x´et. 1) Khi t´ınh da. Nhˆa. t biˆe’u th´u.c d˜a cho ta c´o thˆe’ o h`am cu’a mˆo. biˆe´n dˆo’i so . bˆo. biˆe’u th´u.c d´o sao cho qu´a tr`ınh t´ınh da.o h`am do.n gia’n ho.n. Ch˘ng ha.n na. ˆe´u biˆe’u thu´.c do´ la` logarit th`ı co´ thˆe’ su’. du.ng ca´c t´ınh chaˆ´t cu’ a logarit dˆe’ biˆe´n do’i... ˆro`ˆi t´ınh do h`am. Trong nhiˆe`u a’ tru.`o.ng ho. .p khi t´ınh da. o h`am ta nˆen lˆa´y logarit h`am d˜a cho rˆo `i ´ap du. ng cˆong th´u.c da. o h`am loga d dx lny(x) = y0(x) y(x) · 2) Nˆe´u h`am kha’ vi trˆen mˆo. t khoa’ng du.o. .c cho bo . ’i phu . o.ng tr`ınh F(x, y) = 0 th`ı da. o h`am y0(x) c´o thˆe’ t`ım t`u. phu.o.ng tr`ınh d dx F(x, y) = 0. C´AC V´I DU.
  • 120. h`am 65 V´ı du. o h`am y0 nˆe´u: 1. T´ınh da. r 1) y = ln 3 ex 1 + cos x ; x6= (2n + 1), n 2 N 2) y = 1 + x2 3 p x4 sin7 x , x6= n, n 2 N. Gia’ i. 1) Tru.´o.c hˆe´t ta do.n gia’n biˆe’u th´u.c cu’ a h`am y b˘a`ng c´ach .a v`ao c´ac t´ınh chˆa´t cu’ a logarit. Ta c´o du. y = 1 3 lnex − 1 3 ln(1 + cos x) = x 3 − 1 3 ln(1 + cos x). Do d´o y0 = 1 3 − 1 3 (cos x)0 1 + cos x = 1 3 + 1 3 sin x 1 + cosx = 1 + tg x 2 3 · ’. dˆay tiˆe. 2) O .i ho . n ca’ l`a x´et h`am z = ln|y|. Ta c´o n lo. dz dx = dz dy · dy dx = 1 y dy dx ) dy dx = y dz dx · (*) Viˆe´t h`am z du.´o.i da. ng x = ln|y| = ln(1 + x2) − 4 3 ln|x| − 7ln| sin x| ) dz dx = 2x 1 + x2 − 4 3x − 7 cos x sin x · Thˆe´ biˆe’u th´u.c v`u.a thu du.o. .c v`ao () ta c´o dy dx = 1 + x2 3 p x4 sin7 x 2x 1 + x2 − 4 3x − 7 cos x sin x . N V´ı du. o h`am y0 nˆe´u: 1) y = (2+cos x)x, x 2 R; 2) y = x2x, 2. T´ınh da. x 0. Gia’ i. 1) Theo di. nh ngh˜ıa ta c´o y = exln(2+cosx).
  • 121. Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo. t biˆe´n T`u. d´o y0 = exln(2+cosx) xln(2 + cos x) 0 = exln(2+cosx) h ln(2 + cos x) − x sin x 2 + cos x i , x2 R. 2) V`ı y = e2xlnx nˆen v´o.i x 0 ta c´o y0 = e2xlnx[2xlnx]0 = e2xlnx h1 x i 2x + 2xln2 · lnx = 2xx2x 1 x + ln2 · lnx . N V´ı du. 3. T´ınh da. o h`am cˆa´p 2 cu’ a h`am ngu.o. .c v´o . i h`am y = x + x5, x 2 R. Gia’ i. H`am d˜a cho liˆen tu.c v`a do.n diˆe. u kh˘a´p no . i, da. o h`am y0 = t tiˆeu ta.i bˆa´t c´u. diˆe’m n`ao. Do d´o 1 + 5x4 khˆong triˆe. x0 y = 1 y0x = 1 1 + 5x4 · Lˆa´y da. o h`am d˘a’ng th´u.c n`ay theo y ta thu du.o. .c x00 yy = 1 1 + 5x4 0 x · x0 y = −20x3 (1 + 5x4)3 · N V´ı du. 4. Gia’ su. ’ h`am y = f(x) du.o. .c cho du . ´o.i da.ng tham soˆ´ bo’.i ca´c coˆng thu´.c x = x(t), y = y(t), t 2 (a; b) va` gia’ su’. x(t), y(t) kha’ vi caˆ´p 2 v`a x0(t)6= 0 t 2 (a, b). T`ım y00 xx. Gia’ i. Ta c´o dy dx = dy dt dx dt = y0 t x0 t ) y0 x = y0 t x0 t · Lˆa´y da. o h`am hai vˆe´ cu’a d˘a’ng th´u.c n`ay ta c´o y00 xx = y0 t x0 t 0 t · t0 x = y0 t x0 t 0 t · 1 x0 t = x0 ty00 tt − y0 tx00 tt x0 t 3 · N
  • 122. h`am 67 V´ı du. 5. Gia’ su’. y = y(x), |x| a la` ha`m gia´ tri. du.o.ng cho du.o´.i da.ng ˆa’n bo . ’i phu . o.ng tr`ınh x2 a2 − y2 b2 = 1. T´ınh y00 xx. Gia’ i. Dˆe’ t`ım y0 ta ´ap du.ng cˆong th´u.c d dx F(x, y) = 0. Trong tru.`o.ng ho. .p n`ay ta c´o d dx x2 a2 − y2 b2 − 1 = 0. Lˆa´y da. o h`am ta c´o 2x a2 − 2y b2 y0 x = 0, (8.1) )y0 x = b2x a2y , |x| 0, y 0. (8.2) Lˆa´y da. o h`am (8.1) theo x ta thu du.o. .c 1 a2 − 1 b2 y0 x 2 − y b2y00 xx = 0 v`a t`u. (8.2) ta thu du.o. .c y00 x: y00 xx = 1 y h b2 a2 − y0 x 2 i = 1 y hb2 a2 − b4 a4 x2 y2 i = − b4 a2y3 hx2 a2 − y2 b2 i = − b4 a2y3, y0. N V´ı du. 6. T´ınh y(n) nˆe´u: 1) y = 1 x2 − 4 ; 2) y = x2 cos 2x. Gia’ i. 1) Biˆe’u diˆe˜n h`am d˜a cho du . ´o.i da. ng tˆo’ng c´ac phˆan th´u.c co . ba’n 1 x2 − 4 = 1 4 h 1 x − 2 − 1 x + 2 i
  • 123. Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo. t biˆe´n v`a khi d´o 1 x2 − 4 (n) = 1 4 h 1 x − 2 (n) − 1 x + 2 (n)i . Do 1 x ± 2 (n) = (−1)(−2) · · · (−1 − n + 1)(x ± 2)−1−n = (−1)nn! 1 (x ± 2)n+1 nˆen 1 x2 − 4 (n) = (−1)nn! 4 h 1 (x − 2)n+1 − 1 (x+ 2)n+1 i . 2) Ta ´ap du.ng cˆong th´u.c Leibniz dˆo´i v´o . i da. o h`am cu’a t´ıch (x2 cos 2x) = C0 nx2(cos 2x)(n) + C1 n(x2)0(cos 2x)n−1 + C2 n(x2)0(cos 2x)n−2. Ca´c sˆo´ ha.ng co`n la. i d`ˆeu = 0 v`ı x2(k) = 0 8k 2. ´Ap du. ng cˆong th´u.c (cos 2x)(n) = 2n cos 2x + n 2 ta thu du.o. .c (x2 cos 2x)(n) = 2n x2 − n(n − 1) 4 cos 2x + n 2 + 2nnx sin 2x + n 2 . N V´ı du. 7. V´o.i gi´a tri. n`ao cu’ a a v`a b th`ı h`am f(x) = 8 : ex, x6 0, x2 + ax + b, x 0
  • 124. h`am 69 o h`am trˆen to`an tru.c sˆo´. Gia’ i. R˜o r`ang l`a h`am f(x) c´o da. c´o da. o h`am 8x 0 v`a 8x 0. Ta chı’ cˆa `n x´et diˆe’m x0 = 0. i diˆe’m x0 = 0 nˆen V`ı h`am f(x) pha’ i liˆen tu.c ta. lim x!0+0 f(x) = lim x!0−0 f(x) = lim x!0 f(x) t´u.c l`a lim x!0+0 (x2 + ax + b) = b = e0 = 1 ) b = 1. Tiˆe´p d´o, f0 +(0) = (x0 + ax + b)0
  • 125.
  • 126. x0=0 = a v`a f0
  • 127.
  • 128. i nˆe´u a = 1 v`a b = 1. Nhu. vˆa. Do d´o f0(0) tˆo`n ta. y v´o . i a = 1, b = 1 h`am d˜a cho c´o da. o h`am 8 x 2 R. N B`AI TˆA. P T´ınh da. o h`am y0 cu’ a h`am y = f(x) nˆe´u: 1. y = 4 p x3 + 5 x2 − 3 x3 + 2. (DS. 3 4 4 p x − 10 x3 + 9 x4 ) 2. y = log2x + 3log3x. (DS. ln24 xln2 · ln3 ) 3. y = 5x + 6x + 1 7 x . (DS. 5xln5 + 6xln6 − 7−xln7) 4. y = ln(x+ 1+ p x2 + 2x + 3). (DS. 1 p x2 + 2x + 3 ) 5. y = tg5x. (DS. 10 sin 10x ) p x). (DS. 6. y = ln(ln 1 p x 2xln ) r 7. y = ln 1 + 2x 1 − 2x . (DS. 2 1 − 4x2 )
  • 129. Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo. t biˆe´n 8. y = xarctg p 2x − 1 − p 2x − 1 2 . (DS. arctg p 2x − 1) 9. y = sin2 x3. (DS. 3x2 sin 2x3) 10. y = sin4 x + cos4 x. (DS. −sin 4x) 11. y = p xe p x. (DS. p x(1 + e p x) 2 p x ) 12. y = e 1 cos x. (DS. e 1 cos x sin x cos2 x ) 13. y = e 1 lnx. (DS. −e 1 lnx xln2x ) e2x + 14. y = ln p e4x + 1. (DS. 2e2x p e4x + 1 ) r 15. y = ln e4x e4x + 1 . (DS. 2 e4x + 1 ) 16. y = log5 cos 7x. (DS. − 7tg7x ln5 ) 17. y = log7 cos p 1 + x. (DS. − tg p 1 + x 2 p 1 + xln7 ) 18. y = arccos e − x2 2 . (DS. − xe x2 2 p 1 − e−x2 ) 19. y = tg sin cos x. (DS. −sin cos(cos x) cos2(sin cos x) ) 20. y = ex2cotg3x. (DS. xec2cotg3x sin2 3x (sin 6x − 3x)) p 1+lnx. (DS. 21. y = e e p 1+lnx 2x p 1 + lnx ) 22. y = x 1 x. (DS. x 1 x −2(1 − lnx)) 23. y = ex. (DS. xx(1 + lnx))
  • 130. h`am 71 24. y = xsin x. (DS. xsin x cos x · lnx + xsin x−1 sin x) 25. y = (tgx)sin x. (DS. (tgx)sin x h cos xlntgx + 1 cos x i ) 26. y = xsin x. (DS. xsin x hsin x x + lnx · cos x i ) 27. y = xx2. (DS. xx2+1(1 + 2lnx)) 28. y = xex. (DS. exxex 1 x + lnx)) 29. y = logx7. (DS. − 1 xlnxlog7x ) 30. y = 1 2a
  • 131.
  • 132.
  • 133. a x + a
  • 134.
  • 135.
  • 136. x2 − a2 ) 31. y = sin ln|x|. (DS. cos ln|x| x ) 32. y = ln| sin x|. (DS. cotgx) 33. y = ln|x + p x2 + 1|. (DS. 1 p x2 + 1 ). Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay (34-40) t´ınh da. o h`am cu’ a h`am y du.o. .c cho du.´o.i da. ng tham sˆo´. 34. x = a cos t, a sin t, t 2 (0, ). y00 xx? (DS. − 1 a sin3 t ) 35. x = t3, y = t2. y00 xx? (DS. − 2 9t4 ) 36. x = 1+eat, y = at + e−at. y00 xx? (DS. 2e−3at − e−2at) 37. x = a cos3 t, y = a sin3 t. y00 xx? (DS. 1 3a sin t cos4 t ) 38. x = et cos t, y = et sin t. y00 xx? (DS. 2 et(cos t − sin t)3 ) 39. x = t − sin t, y = 1 − cos t. y00 xx? (DS. − 1 4 sin4 t 2 ) 40. x = t2 + 2t, y = ln(1 + t). y00 xx? (DS. −1 4(1 + t)4 ).

mẹo hay

Bài Viết Liên Quan

Thu tiền sử dụng đất là gì năm 2024
Thu tiền sử dụng đất là gì năm 2024

là ai Hỏi Đáp Là gì
Dđề thi học sinh giỏi hóa học 9 năm 2024
Dđề thi học sinh giỏi hóa học 9 năm 2024

mẹo hay Học Tốt Học
Top 10 may anh dslr tam gia 7 trieu năm 2024
Top 10 may anh dslr tam gia 7 trieu năm 2024

mẹo hay Top List Top Máy ảnh cũ Nikon D3500
Nguyễn văn tuấn non-parametric methods in biology statistics là gì năm 2024
Nguyễn văn tuấn non-parametric methods in biology statistics là gì năm 2024

là ai Hỏi Đáp Là gì Cryto Eth
Lỗi kbhxh không tìm thấy chữ ký số năm 2024
Lỗi kbhxh không tìm thấy chữ ký số năm 2024

mẹo hay
Dự toán thử tĩnh cọc tính theo văn bản nào năm 2024
Dự toán thử tĩnh cọc tính theo văn bản nào năm 2024

mẹo hay
Giải bài 45 sgk toán 7 tập 2 năm 2024
Giải bài 45 sgk toán 7 tập 2 năm 2024

mẹo hay
Hội chứng thắt lưng hông là gì năm 2024
Hội chứng thắt lưng hông là gì năm 2024

là ai Hỏi Đáp Là gì Điểm đau valleix?
Khắc phục lỗi is not accessible win 7 năm 2024
Khắc phục lỗi is not accessible win 7 năm 2024

mẹo hay
Đàn bầu có tên gọi khác là gì năm 2024
Đàn bầu có tên gọi khác là gì năm 2024

là ai Hỏi Đáp Là gì
Toán 10 hệ thức lượng trong tam giác năm 2024
Toán 10 hệ thức lượng trong tam giác năm 2024

mẹo hay
Vở bài tập toán lớp 5 bài 81 trang 99 năm 2024
Vở bài tập toán lớp 5 bài 81 trang 99 năm 2024

mẹo hay Khỏe Đẹp Bài tập
Bài văn nghị luận về người lái đò năm 2024
Bài văn nghị luận về người lái đò năm 2024

mẹo hay
Bài tập on in at có đáp an năm 2024
Bài tập on in at có đáp an năm 2024

mẹo hay Khỏe Đẹp Bài tập In on at Crowd In tiếng Anh
Bê tông nhựa nóng c19 là gì năm 2024
Bê tông nhựa nóng c19 là gì năm 2024

là ai Hỏi Đáp Là gì
Lỗi không nhập được dữ liệu trên word năm 2024
Lỗi không nhập được dữ liệu trên word năm 2024

mẹo hay
Bài tập về phép liên kết trong văn bản năm 2024
Bài tập về phép liên kết trong văn bản năm 2024

mẹo hay Khỏe Đẹp Bài tập
Công bố quy định an toàn thực phẩm là gì năm 2024
Công bố quy định an toàn thực phẩm là gì năm 2024

là ai Hỏi Đáp Là gì
Giải bài tập toán 11 bài 2 chương 2 năm 2024
Giải bài tập toán 11 bài 2 chương 2 năm 2024

mẹo hay Khỏe Đẹp Bài tập VietJack 11
Đề cương ôn tập hè toán 5 lên 6 năm 2024
Đề cương ôn tập hè toán 5 lên 6 năm 2024

mẹo hay

Quảng Cáo

Có thể bạn quan tâm

Bài tập vật lí 9 bài 1.2 năm 2024
1 ngày trước . bởi DysfunctionalNovella
Soạn văn 9 bài những ngôi sao xa xôi năm 2024
1 ngày trước . bởi MindfulHostility
Dđoơn vị tính của nước uống aquabest là gì năm 2024
1 ngày trước . bởi ImaginableFlashing
Quyền sở hữu của công dân là gì gdcd 7 năm 2024
1 ngày trước . bởi ManagerialLaborer
Dầu gội đầu thái lan loại nào tốt năm 2024
1 ngày trước . bởi WastedRanger
Vì sao crack photoshop thiếu lỗi.file tai ve năm 2024
1 ngày trước . bởi SubstandardIrrigation
Hướng dẫn lấy hóa đơn điện thoại vnpt tp.hcm năm 2024
1 ngày trước . bởi UndulatingIntercourse
Lúc nào cũng buồn nôn là bệnh gì năm 2024
1 ngày trước . bởi ManicInactivity
Cách vô hiệu hóa messenger tạm thời trên iphone năm 2024
1 ngày trước . bởi LividBrowsing
Nên uống thuốc tăng chiều cao vào lúc nào năm 2024
1 ngày trước . bởi SpaciousJuggernaut

Toplist được quan tâm

#1
Top 9 tập bản đồ lớp 8 bài 31 2023
5 tháng trước
#2
Top 6 kết quả thi hsg đà nẵng 2022 2023
5 tháng trước
#3
Top 9 tủ nhựa đài loan 4 cánh 3d 2023
5 tháng trước
#4
Top 9 chất khí có thể làm mất màu dung dịch nước brom là: a. so2. b. co2. c. o2. d. hcl. 2023
5 tháng trước
#5
Top 8 tìm việc làm tiện, phay bảo q7 2023
5 tháng trước
#6
Top 3 tôi xuyên thành tiểu kiều the của lão đại phản 2 2023
5 tháng trước
#7
Top 9 đổi mới phong cách, thái độ phục vụ của cán bộ y tế hướng tới sự hài lòng của người bệnh 2023
5 tháng trước
#8
Top 2 bài the dục phát triển chung lớp 6 2022 2023
6 tháng trước
#9
Top 3 bài giảng vũ điệu sắc màu (lớp 4) 2023
6 tháng trước

Quảng cáo

Xem Nhiều

Mục đích sử dụng đất 2l 19 năm là gì năm 2024
2 ngày trước . bởi UnreliableBounds
Ngày 14 3 là ngày gì năm 2024
1 ngày trước . bởi UnrealConspiracy
Nghiệp vụ tín dụng ngân hàng là gì năm 2024
8 giờ trước . bởi NutritionalBuilding
Bài tập cấu hình electron nguyên tử khó năm 2024
18 giờ trước . bởi HumidTiger
Chuỗi phương trình hóa hữu cơ có lời giải năm 2024
5 ngày trước . bởi BenevolentCondominium
Ip6 plus và 6s plus khác nhau như thế nào năm 2024
6 ngày trước . bởi Front-pageNoodle
Top 10 luong cau thu cao nhat the gioi năm 2024
4 ngày trước . bởi OngoingInspiration
Giải toán nâng cao lớp 2 có đáp án năm 2024
1 tuần trước . bởi BrusqueSpoiler
Danh ngôn trong tiếng anh là gì năm 2024
6 ngày trước . bởi MarvelousEmancipation
Soạn bài rằm tháng giêng ngữ văn lớp 7 năm 2024
1 tuần trước . bởi HuntedUniversity

Quảng cáo

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội

DMCA.com Protection Status
Bản quyền © 2021 Xây Nhà Inc.