Đề bài - bài 1.1 phần bài tập bổ sung trang 23 sbt toán 9 tập 1

Đề bài

Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh\(\dfrac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}\) với\(\sqrt 5 + 1\).

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} \\= \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}}\\
= \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{3 - 2}} = \sqrt 3 + \sqrt 2
\end{array}\)

So sánh\(\sqrt 3 + \sqrt 2 \) và\(\sqrt 5 + 1\)

Xét\(A = \sqrt 3 + \sqrt 2 >0\)

\({A^2} = {(\sqrt 3 + \sqrt 2 )^2} \)\(= 3+2\sqrt 3.\sqrt 2+2=5 + 2\sqrt 6 \)

\({A^2} - 5 = 2\sqrt 6 \)

Xét\(B = \sqrt 5 + 1>0\)

\({B^2} = {(\sqrt 5 + 1)^2} \)\(=5+2\sqrt 5.1+1= 6 + 2\sqrt 5 \)

\({B^2} - 5 = 1 + 2\sqrt 5 \)

Ta so sánh: \(2\sqrt 6 \) và \(1 + 2\sqrt 5 \)

\({(2\sqrt 6 )^2} = 24=21+3\)

\({(1 + 2\sqrt 5 )^2} \)\(=1+2.1.2\sqrt 5+20=21 + 4\sqrt 5 \)

Do \(3<4\) và \( \sqrt 5>1\) nên \(3 < 4\sqrt 5 \Rightarrow 24 < 21 + 4\sqrt 5 \)

\(\Rightarrow2\sqrt 6 <1 + 2\sqrt 5 \)

Vậy

\(\begin{array}{l}
{A^2} - 5 < {B^2} - 5\\
\Leftrightarrow {A^2} < {B^2}\\ \Rightarrow A\end{array}\)

Hay\(\dfrac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} < \sqrt 5 + 1\).