Đề bài - bài 14 trang 135 sgk toán 9 tập 2

Đề bài

Dựng tam giác \(ABC\), biết \(BC = 4cm\), góc \(\widehat {A}= 60^0\), bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng \(1cm\).

Lời giải chi tiết

Phân tích:

Giả sử dựng được ΔABC thỏa mãn điều kiện.

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

\(\widehat {BOC} = 180^\circ - \left( {\widehat {OBC} + \widehat {OCB}} \right) \\= 180^\circ - \dfrac{1}{2}\left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right)\) \( = 180^\circ - \dfrac{1}{2}\left( {180^\circ - \widehat A} \right) \\= 180^\circ - \dfrac{1}{2}\left( {180^\circ - 60^\circ } \right) = 120^\circ \)

O thuộc cung chứa góc 120º dựng trên đoạn BC.

+ Bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC bằng 1

O cách BC 1cm

O thuộc d // BC và cách BC 1cm.

Vậy O là giao của cung chứa góc120º dựng trên đoạn BCvà đường thẳng d.

Cách dựng:

Dựng \(BC = 4cm\) và đường thẳng \((d)\) song song với \(BC\) và cách \(BC\) một khoảng là \(1cm.\)

Tâm \(O\) của đường tròn nội tiếp \(ABC\) là giao điểm của đường thẳng \((d)\) với cung chứa góc \({120^0}\)dựng trên đoạn \(BC\) cố định.

Qua \(B\) và \(C\) vẽ các tiếp tuyến với \((O;1cm)\), chúng cắt nhau tại \(A.\) Tam giác \(ABC\) là tam giác phải dựng.

Chứng minh:

+ Theo cách dựng có BC = 4cm .

+ O thuộc cung 120º dựng trên đoạn BC\( \Rightarrow \widehat {BOC} = {120^0}\)

+ A là giao của 2 tiếp tuyến

(O; 1cm) tiếp xúc với AB và AC

Mà khoảng cách từ O đến BC = 1cm

(O; 1cm) cũng tiếp xúc với BC

(O; 1cm) là đường tròn nội tiếp ΔABC

\( \Rightarrow \widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}\widehat {BOC} \)\(= \dfrac{{{{120}^0}}}{2} = {60^0}\)

(số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm)

Vậy ΔABC có BC = 4cm,\( \widehat {BAC} = {60^0}\)đường tròn nội tiếp có bán kính 1cm thỏa mãn yêu cầu.

Biện luận:

Vì d cắt m tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình \(ΔABC\) và \(ΔABC\) như hình vẽ.