Đề bài
Tìm số tự nhiên \[\overline {abc} \]có ba chữ số khác nhau, chia hết cho các số nguyên tố \[a, b, c.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Số chia hết cho cả \[2\] và \[5\] phải có chữ số tận cùng là \[0\].
+] Số chia hết cho \[3\] là có tổng các chữ số chia hết \[3\]
+] Dấu hiệu chia hết cho \[2\]: Chữ số tận cùng là chữ số chẵn.
+] Dấu hiệu chia hết cho \[5\]: Chữ số tận cùng là \[0\] hoặc \[5\].
Lời giải chi tiết
Do \[a, b, c\] là các số nguyên tố nên \[a, b, c \in \left\{ {2;3;5;7} \right\}\].
Nếu trong ba số \[a, b, c\] có cả \[2\] và \[5\] thì \[\overline {abc} \; \; 10\] [vì \[\overline {abc}\] chia hết cho cả \[2\] và \[5\]] nên \[c = 0\] [ loại]
Vậy \[a, b, c \in\left\{ {2;3;7} \right\}\]hoặc \[a, b, c \in\left\{ {3;5;7} \right\}\]
Trường hợp \[a, b, c \in \left\{ {2;3;7} \right\}\]ta có: \[\overline {abc} \; \;2\] nên \[c = 2\]
Xét các số \[372\] và \[732,\] chúng đều không chia hết cho \[7.\]
Trường hợp \[a, b, c \in \left\{ {3;5;7} \right\}\]
Khi đó \[a + b + c = 12\,\vdots\,3\] nên \[\overline {abc} \;\; 3.\] Để \[\overline {abc} \; \; 5,\] ta chọn \[c = 5.\] Xét các số \[375\] và \[735,\] chỉ có \[735 \;\; 7.\]
Vậy số phải tìm là \[735.\]