Đề bài
Cho hình bình hành \[ABCD\]. Dựng\[\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BA} \],\[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {DA} \],\[\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {DC} \], \[\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {BC} \]. Chứng minh \[\overrightarrow {AQ} = \overrightarrow 0 \]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựng hình và nhận xét.
Lời giải chi tiết
+ Trên tia \[BA\] lấy điểm \[M\] sao cho \[BA = AM\], khi đó \[\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BA} \].
+ Qua \[M\] kẻ đường thẳng song song \[DA\], lấy điểm \[N\] sao cho \[MN = DA\] và \[\overrightarrow {MN} \] cùng hướng \[\overrightarrow {DA} \]. Khi đó ta được \[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {DA} \].
+ Qua \[N\] kẻ đường thẳng song song \[DC\], lấy điểm \[P\] sao cho \[NP = DC\] và \[\overrightarrow {NP} \] cùng hướng \[\overrightarrow {DC} \]. Khi đó ta được \[\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {DC} \].
+ Qua \[P\] kẻ đường thẳng song song \[BC\], lấy điểm \[Q\] sao cho \[PQ = BC\] và \[\overrightarrow {PQ} \] cùng hướng \[\overrightarrow {BC} \]. Khi đó ta được \[\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {BC} \].
Lại có \[\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \].
Suy ra \[AM = NP\] và \[AM//NP\]. Vậy tứ giác \[AMNP\] là hình bình hành.
Ta có \[\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {BC} \]; \[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CB} \]
Suy ra \[PQ = MN\] và \[PQ//MN\].
Vậy tứ giác \[MNPQ\] là hình bình hành [2].
Từ [1] và [2] suy ra \[A \equiv Q\] hay \[\overrightarrow {AQ} = \overrightarrow 0 \].