Đề bài
Cho hình thoi \[ABCD\] có \[\widehat A = {60^0}\].Gọi \[E, F, G, H\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AB, BC, CD, DA\]. Chứng minh rằng đa giác \[EBFGDH\] là lục giác đều.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng:
- Hình thoi có tất cả các cạnh bằng nhau,
- Lục giác đều là hình có sáu cạnh bằng nhau và sáu góc bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Ta có \[AE=BE, BF=CF,CG=DG,\]\[\,DH=AH\] và\[AB = BC = CD = DA\] [cạnh hình thoi] nên \[AE = EB = BF = FC = CG = GD\]\[\, = DH = HA\]
\[\Delta AEH\] có \[AE=AH\] và \[\widehat A = {60^o}\] nên là tam giác đều, suy ra \[EH=EB\]
Chứng minh tương tự ta có \[FG=BF\]
Suy ra \[HE=EB= BF=FG=GD=DH\], tức là lục giác\[EBFGDH\] có sáu cạnh bằng nhau. [1]
Tam giác\[ AEH\] đều nên \[\widehat {{E_1}} = \widehat {{H_1}} = {60^o}\] suy ra \[\widehat {{E_2}} = \widehat {{H_2}} = {120^o}\].
Chứng minh tương tự ta có \[\widehat {{F_2}} = \widehat {{G_2}} = {120^o}\]
Ta có \[\widehat A + \widehat B = {180^o}\] [vì \[BC//AD\]] nên \[\widehat B = {180^o} - \widehat A = {180^o} - {60^o} = {120^o}\]. Suy ra \[\widehat D = {120^o}\]
Lục giác\[EBFGDH\] có sáu góc bằng nhau [bằng \[120^o\]] [2]
Từ [1] và [2] suy ra\[EBFGDH\] là lục giác đều.