Đề bài - bài 2.102 trang 137 sbt giải tích 12

Đề bài

Số nghiệm của phương trình \(\displaystyle {\log _{2003}}x + {\log _{2004}}x = 2005\) là:

A. \(\displaystyle 0\) B. \(\displaystyle 1\)

C. \(\displaystyle 2\) D. Vô số

Lời giải chi tiết

Xét hàm \(\displaystyle f\left( x \right) = {\log _{2003}}x + {\log _{2004}}x\) trên \(\displaystyle \left( {0; + \infty } \right)\) có:

\(\displaystyle f'\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln 2003}} + \frac{1}{{x\ln 2004}} > 0\) với mọi \(\displaystyle x > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\displaystyle \left( {0; + \infty } \right)\).

Mà \(f\left( 1 \right) = {\log _{2003}}1 + {\log _{2004}}1 = 0\)

\(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)\) \(\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{{\log }_{2003}}x + {{\log }_{2004}}x} \right) = + \infty \)

Nên đường thẳng \(y=2005\) cắt đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại duy nhất 1 điểm.

Do đó tồn tại duy nhất giá trị \(\displaystyle {x_0} > 1\) sao cho \(\displaystyle f\left( {{x_0}} \right) = 2005\).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.

Chọn B.