Đề bài
Cho đường tròn [O ; R] và điểm A cố định. Một dây cung BC thay đổi của [O ; R] có độ dài không đổi BC = m. Tìm quỹ tích các điểm G sao cho \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \]
Lời giải chi tiết
Gọi I là trung điểm của BC thì \[OI\bot BC\]
Ta có
\[\eqalign{
& \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GI} = \overrightarrow 0 \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {AG} = {2 \over 3}\overrightarrow {AI} \cr} \]
Tức là phép vị tự V tâm A tỉ số \[{2 \over 3}\] biến điểm I thành điểm G
Trong tam giác vuông OIB ta có:
\[OI = \sqrt {O{B^2} - I{B^2}} \]\[= \sqrt {{R^2} - {{\left[ {{m \over 2}} \right]}^2}} = R'\] [không đổi]
Nên quỹ tích I là đường tròn [O ; R] hoặc là điểm O [nếu m = 2R]
Do đó quỹ tích G là ảnh của quỹ tích I qua phép vị tự V