Đề bài
Ngũ giác ABCDE có các đỉnh lần lượt theo thứ tự đó. Có các điều kiện sau: \[BD// AE;CH \bot AE\left[ {H \in AE} \right].\] Gọi I là giao điểm của BD và CH.
Chứng minh rằng: \[{S_{ABCDE}} = \dfrac{1}{ 2}\left[ {BD.CH + AE.IH} \right].\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
Diện tích tam giác bằng nửa tích đường cao với cạnh đáy tương ứng.
Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau có diện tích bằng nửa tích hai đường chéo
Lời giải chi tiết
Ta có: \[{S_{ABCDE}} = {S_{BCDH}} + {S_{ABH}} + {S_{EDH}}\]
Mà \[{S_{ABH}} = {S_{AHI}}\] [cùng chung đáy AH và hai đường cao bằng nhau]
Tương tự: \[{S_{EDH}} = {S_{EIH}}.\]
Cộng vế với vế của hai đẳng thức trên:
\[ \Rightarrow {S_{ABH}} + {S_{EDH}} = {S_{AIH}} + {S_{EIH}}\]
\[ = {S_{AIE}} = \dfrac{1 }{2}AE.IH\]
Lại có \[{S_{BCDH}} = \dfrac{1 }{ 2}BD.CH\] [tứ giác BCDH có hai đường chéo vuông góc]
Từ đó ta có:
\[{S_{ABCDE}} = \dfrac{1}{ 2}\left[ {BD.CH + AE.IH} \right].\]