Đề bài
Cho tứ giác lồi ABCD. Phân giác các góc A, B, C, D từng cặp liên tiếp cắt nhau tại E, F, G, H. Chứng minh EFGH là một tứ giác nội tiếp.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Xét tam giác ABE và CDG tính \[\widehat {AEB}\] và \[\widehat {CGD}\]. Từ đó suy ra \[\widehat {HEF}\] và \[\widehat {HGF}\].
+] Sử dụng tổng các góc của 1 tứ giác, chứng minh \[\widehat {HEF} + \widehat {HGF} = {180^0}\].
Lời giải chi tiết
Xét \[\Delta ABE\] có: \[\widehat {AEB} = {180^0} - \widehat {EAB} - \widehat {EAB} = {180^0} - \dfrac{{\widehat {BAD} + \widehat {ABC}}}{2}\]
\[ \Rightarrow \widehat {HEF} = \widehat {AEB} = {180^0} - \dfrac{{\widehat {BAD} + \widehat {ABC}}}{2}\] [hai góc đối đỉnh]
Tương tự xét \[\Delta CDG\] có: \[\widehat {CGD} = {180^0} - \dfrac{{\widehat {BCD} + \widehat {CDA}}}{2}\]
\[ \Rightarrow \widehat {HGF} = \widehat {CGD} = {180^0} - \dfrac{{\widehat {BCD} + \widehat {CDA}}}{2}\] [hai góc đối đỉnh]
Xét tứ giác EFGH có:
\[\begin{array}{l}\widehat {HEF} + \widehat {HGF} = {180^0} - \dfrac{{\widehat {BAD} + \widehat {ABC}}}{2} + {180^0} - \dfrac{{\widehat {BCD} + \widehat {CDA}}}{2}\\ = {360^0} - \dfrac{{\widehat {BAD} + \widehat {ABC} + \widehat {BCD} + \widehat {CDA}}}{2}\end{array}\]
Mà \[\widehat {BAD} + \widehat {ABC} + \widehat {BCD} + \widehat {CDA} = {360^0}\] [tổng 4 góc trong 1 tứ giác]
\[ \Rightarrow \widehat {HEF} + \widehat {HGF} = {360^0} - \dfrac{{{{360}^0}}}{2} = {180^0}\]
Vậy tứ giác EFGH là tứ giác nội tiếp [Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800].