Đề bài
Câu 1: Giá trị của \[\lim \dfrac{1}{{n + 1}}\] bằng:
A.0 B. 1
C. 2 D. 3
Câu 2: Giá trị đúng của \[\lim [{3^n} - {5^n}]\] là
A. \[ - \infty \] B. \[ + \infty \]
C. 2 D. -2
Câu 3: Cho hàm số có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^{}} f[x] = L\] . Chọn đáp án đúng:
A. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f[x] = L\]
B. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f[x] = - L\]
C. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f[x] = L\]
D. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f[x] = - \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f[x]\]
Câu 4: Giá trị đúng của \[\lim [\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} - n]\] bằng
A. \[ + \infty \] B. \[ - \infty \]
C. 0 D. 3
Câu 5: Tính giới hạn sau: \[\lim \left[ {\left[ {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right]\left[ {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right]...\left[ {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right]} \right]\]
A.1 B. \[\dfrac{1}{2}\]
C. \[\dfrac{1}{4}\] D. \[\dfrac{3}{2}\]
Câu 6: Tính giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{3x + 2}}{{2x - 1}}\]
A. \[ + \infty \] B. \[ - \infty \]
C. 5 D.1
Câu 7: Cho hàm số \[f[x] = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3 - x}}{{\sqrt {x + 1 - 2} }}\,\,\,\,khi\,\,x \ne 3\\m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 3\end{array} \right.\] Hàm số đã cho liên tục tại x = 3 khi m bằng:
A. -4 B. 4
C. -1 D. 1
Câu 8: Giá trị của \[\lim \dfrac{{\sqrt[4]{{3{n^3} + 1}} - n}}{{\sqrt {2{n^4} + 3n + 1} + n}}\]
A. \[ - \infty \] B. \[ + \infty \]
C. 0 D. 1
Câu 9: Tính giới hạn sau: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \dfrac{\pi }{6}} \dfrac{{{{\sin }^2}2x - 3\cos x}}{{\tan x}}\]
A. \[ + \infty \] B. \[ - \infty \]
C. \[\dfrac{{3\sqrt 3 }}{4} - \dfrac{9}{2}\] D. 1
Câu 10: Giá trị của \[\lim \dfrac{{n - 2\sqrt n }}{{2n}}\] bằng
A. \[ + \infty \] B. \[ - \infty \]
C. \[\dfrac{1}{2}\] D. 1
Câu 11: Tìm giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {[2x + 1][3x + 1][4x + 1]} - 1}}{x}\]
A.\[ + \infty \] B. \[ - \infty \]
C. \[\dfrac{9}{2}\] D. 1
Câu 12: Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - 1}}{{\sqrt {2x + 1} - 1}}\]
A. \[ + \infty \] B. \[ - \infty \]
C. \[\dfrac{1}{3}\] D. 0
Câu 13: Kí hiệu nào sau đây không dùng kí hiệu cho dãy số có giới hạn ?
A. \[\lim \,{u_n} = 0\] B. \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \,{u_n} = 0\]
C. \[\mathop {\lim }\limits_{n \to 0} \,{u_n} = 0\] D. \[\lim \,[{u_n}] = 0\]
Câu 14: Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để hàm số \[f[x] = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ax + 1} - 1}}{x}\,\,khi\,\,x \ne 0\\4{x^2} + 5b\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\] liên tục tại x = 0.
A. a = 5b B. a = 10b
C. a = b D. a = 2b.
Câu 15: Chọn đáp án đúng:
A. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4} = + \infty \]
B. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4} = - \infty \]
C.\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [ - {x^4}] = + \infty \]
D. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [ - {x^4}] = + \infty \]
Câu 16: Số là giới hạn phải của hàm số kí hiệu là:
A. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f[x] = L\]
B. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f[x] = L\]
C. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f[x] = L\]
\[D.\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f[x] = L\]
Câu 17: Cho hàm số\[f[x] = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{x^2} - 5x + 6}}{{2{x^3} - 16}},x < 2}\\{2 - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,x \ge 2}\end{array}} \right.\]. Khẳng định nào sau đây đúng
A.Hàm số liên tục trên \[\mathbb{R}\]
B.Hàm số liên tục tại mọi điểm
C.Hàm số không liên tục trên \[[2; + \infty ]\]
D.Hàm số gián đoạn tại x = 2
Câu 18: Tìm a để hàm số \[f[x] = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2a\,\,\,\,\,,x < 0}\\{{x^2} + x + 1\,\,,x \ge 0}\end{array}} \right.\] liên tục tại x = 0
A. \[\dfrac{1}{2}\] B. \[\dfrac{1}{4}\]
C. 0 D. 1
Câu 19: Cho hàm số\[f[x] = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} - x + 6}}} ,\,\,x \ne 3,x \ne 2}\\{b + \sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,x = 3,b \in \mathbb{R}}\end{array}} \right.\]. Tìm b để \[f[x]\] liên tục tại x = 3
A. \[\sqrt 3 \] B. \[ - \sqrt 3 \]
C. \[\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\] D. \[ - \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\]
Câu 20: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I. \[f[x]\] liên tục trên đoạn [a;b] và \[f[a].f[b] < 0\] thì phương trình \[f[x] = 0\] có nghiệm.
II. \[f[x]\] không liên tục trên [a;b] và \[f[a].f[b] \ge 0\] thì phương trình \[f[x] = 0\] vô nghiệm.
A. chỉ I đúng B. chỉ II đúng
C. cả I và II đúng D. Cả I và II sai
Câu 21: Giới hạn \[\lim \dfrac{{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}}\]bằng?
A. \[1.\] B. \[\dfrac{2}{3}.\]
C. \[ - 1.\] D. \[ - \dfrac{1}{3}.\]
Câu 22: Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{\sqrt {3x} - 3}}\] bằng?
A. \[\dfrac{2}{3}.\] B. \[\dfrac{1}{3}.\]
C. \[\dfrac{1}{2}.\] D. 1.
Câu 23: Giới hạn \[\lim \dfrac{{2{n^2} - n + 4}}{{\sqrt {2{n^4} - {n^2} + 1} }}\]bằng?
A. \[1.\] B. \[\sqrt 2 .\]
C. \[2.\] D. \[\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.\]
Câu 24: Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {4x + 1} - 3}}\]bằng?
A. \[\dfrac{1}{2}.\] B. \[\dfrac{9}{8}.\]
C. \[1.\] D. \[\dfrac{3}{4}.\]
Câu 25: Giới hạn \[\lim \left[ {\sqrt {{n^2} - n} - n} \right]\]bằng?
A. \[ - \infty .\] B. \[ - \dfrac{1}{2}.\]
C. \[0.\] D. \[ + \infty .\]
Lời giải chi tiết
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| A | A | A | D | B |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| C | A | C | C | C |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| C | C | C | B | A |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| A | D | A | D | A |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| D | C | B | B | B |
Câu 1: Đáp án A
\[\lim \dfrac{1}{{n + 1}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{n}}}{{1 + \dfrac{1}{n}}} = \dfrac{0}{1} = 0\]
Câu 2: Đáp án A
\[\lim [{3^n} - {5^n}] = \lim {5^n}\left[ {{{\left[ {\dfrac{3}{5}} \right]}^n} - 1} \right] = - \infty \] là
Câu 3: Đáp án A
Câu 4: Đáp án D
\[\begin{array}{l}\lim [\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} - n]\\ = \lim \dfrac{{\left[ {\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} - n} \right]\left[ {\sqrt[3]{{{{\left[ {{n^3} + 9{n^2}} \right]}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}} \right]}}{{\sqrt[3]{{{{\left[ {{n^3} + 9{n^2}} \right]}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}}}\\ = \lim \dfrac{{{n^3} + 9{n^2} - {n^3}}}{{\sqrt[3]{{{{\left[ {{n^3} + 9{n^2}} \right]}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}}}\\ = \lim \dfrac{{9{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left[ {{n^3} + 9{n^2}} \right]}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}}}\\ = \lim \dfrac{9}{{\sqrt[3]{{{{\left[ {1 + \dfrac{9}{n}} \right]}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \dfrac{9}{n}}} + 1}} = \dfrac{9}{3} = 3\end{array}\]
Câu 5: Đáp án B
Ta có \[1 - \dfrac{1}{{{k^2}}} = \dfrac{{\left[ {k - 1} \right]\left[ {k + 1} \right]}}{{{k^2}}}\] nên ta suy ra
\[\begin{array}{l}\left[ {\left[ {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right]\left[ {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right]...\left[ {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right]} \right]\\ = \dfrac{{1.3}}{{{2^2}}}.\dfrac{{2.4}}{{{3^2}}}...\dfrac{{\left[ {n - 1} \right]\left[ {n + 1} \right]}}{{{n^2}}} = \dfrac{{\left[ {n + 1} \right]}}{{2n}}\end{array}\]
\[\lim \left[ {\left[ {1 - \dfrac{1}{{{2^2}}}} \right]\left[ {1 - \dfrac{1}{{{3^2}}}} \right]...\left[ {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right]} \right] = \lim \dfrac{{n + 1}}{{2n}} = \dfrac{1}{2}\]
Câu 6: Đáp án C
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{3x + 2}}{{2x - 1}} = \dfrac{{3 + 2}}{{2.1 - 1}} = 5\]
Câu 7: Đáp án A
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{3 - x}}{{\sqrt {x + 1} - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{[3 - x]\sqrt {x + 1} + 2}}{{x - 3}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} [ - \sqrt {x + 1} + 2] = - 4\end{array}\]
Để hàm số đã cho liên tục tại x = 3 thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left[ x \right] = f[3] \Leftrightarrow m = - 4\]
Câu 8: Đáp án C
\[\begin{array}{l}\lim \dfrac{{\sqrt[4]{{3{n^3} + 1}} - n}}{{\sqrt {2{n^4} + 3n + 1} + n}}\\ = \lim \dfrac{{{n^2}\left[ {\sqrt[4]{{\dfrac{3}{{{n^5}}} + \dfrac{1}{{{n^8}}}}} - \dfrac{1}{n}} \right]}}{{{n^2}\left[ {\sqrt {2 + \dfrac{3}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} + \dfrac{1}{n}} \right]}}\\ = \lim \dfrac{{\left[ {\sqrt[4]{{\dfrac{3}{{{n^5}}} + \dfrac{1}{{{n^8}}}}} - \dfrac{1}{n}} \right]}}{{\left[ {\sqrt {2 + \dfrac{3}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} + \dfrac{1}{n}} \right]}} = \dfrac{0}{{\sqrt 2 }} = 0\end{array}\]
Câu 9: Đáp án C
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \dfrac{\pi }{6}} \dfrac{{{{\sin }^2}2x - 3\cos x}}{{\tan x}} = \dfrac{{\dfrac{3}{4} - \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}}} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{4} - \dfrac{9}{2}\]
Câu 10: Đáp án C
\[\lim \dfrac{{n - 2\sqrt n }}{{2n}} = \lim \dfrac{{1 - \dfrac{2}{{\sqrt n }}}}{2} = \dfrac{1}{2}\]
Câu 11: Đáp án C
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {[2x + 1][3x + 1][4x + 1]} - 1}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{[2x + 1][3x + 1][4x + 1] - 1}}{{x.[\sqrt {[2x + 1][3x + 1][4x + 1]} + 1]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{24{x^3} + 26{x^2} + 9x}}{{x.[\sqrt {[2x + 1][3x + 1][4x + 1]} + 1]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{24{x^2} + 26x + 9}}{{[\sqrt {[2x + 1][3x + 1][4x + 1]} + 1]}} = \dfrac{9}{2}\end{array}\]
Câu 12: Đáp án C
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - 1}}{{\sqrt {2x + 1} - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left[ {\sqrt[3]{{x + 1}} - 1} \right]\left[ {\sqrt[3]{{{{[x + 1]}^2}}} + \sqrt[3]{{x + 1}} - 1} \right]\left[ {\sqrt {2x + 1} + 1} \right]}}{{\left[ {\sqrt {2x + 1} - 1} \right]\left[ {\sqrt {2x + 1} + 1} \right]\left[ {\sqrt[3]{{{{[x + 1]}^2}}} + \sqrt[3]{{x + 1}} - 1} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x\left[ {\sqrt {2x + 1} + 1} \right]}}{{2x\left[ {\sqrt[3]{{{{[x + 1]}^2}}} + \sqrt[3]{{x + 1}} - 1} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left[ {\sqrt {2x + 1} + 1} \right]}}{{2\left[ {\sqrt[3]{{{{[x + 1]}^2}}} + \sqrt[3]{{x + 1}} - 1} \right]}} = \dfrac{2}{{2[1 + 1 + 1]}} = \dfrac{1}{3}\end{array}\]
Câu 13: Đáp án C
Câu 14: Đáp án B
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{\rm{ax + 1}}} - 1}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ax}}{{x\left[ {\sqrt {{\rm{ax + 1}}} + 1} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{{\left[ {\sqrt {{\rm{ax + 1}}} + 1} \right]}} = \dfrac{a}{2}\end{array}\]
\[f\left[ 0 \right] = {4.0^2} + 5b = 5b\]
để hàm số f[x] liên tục tại x = 0 thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left[ x \right] = f\left[ 0 \right] \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} = 5b \Rightarrow a = 10b\]
Câu 15: Đáp án A
Câu 16: Đáp án A
Câu 17: Đáp án D
\[f\left[ x \right] = \dfrac{{{x^2} - 5x + 6}}{{2{x^3} - 16}}\] liên tục trên \[\left[ { - \infty ,2} \right]\]
\[f\left[ x \right] = 2 - x\] liên tục trên \[\left[ {2, + \infty } \right]\]
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{{x^2} - 5x + 6}}{{2[{x^3} - 8]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 3} \right]}}{{2[x - 2]\left[ {{x^2} + x + 4} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{\left[ {x - 3} \right]}}{{2\left[ {{x^2} + x + 4} \right]}} = \dfrac{{ - 1}}{{12}}\end{array}\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ {2 - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{4 - {x^2}}}{{2 + x}} = 0\]
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left[ x \right] \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left[ x \right]\]nên hàm số f[x] gián đoạn tại x=2
Câu 18: Đáp án A
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {{x^2} + x + 1} \right] = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {x + 2a} \right] = 2a\end{array}\]
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left[ x \right] \Leftrightarrow 1 = 2a \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{2}\]
Câu 19: Đáp án D
\[f\left[ 3 \right] = b + \sqrt 3 \]
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{\left[ {x + 2} \right]\left[ {{x^2} - 2x + 3} \right]}}} \\ = \sqrt {\dfrac{{10}}{{5[9 - 6 + 3]}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array}\]
Để hàm số liên tục tại x = 3 thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left[ x \right] = f\left[ 3 \right] \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = b + \sqrt 3 \Rightarrow b = \dfrac{{ - 2\sqrt 3 }}{3}\]
Câu 20: Đáp án A
Câu 21: Đáp án D
\[\lim \dfrac{{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}} = \lim \dfrac{{2.{{\left[ {\dfrac{2}{5}} \right]}^n} - 3. + \dfrac{5}{{{5^n}}}}}{{3.{{\left[ {\dfrac{2}{5}} \right]}^n} + 9}} = \dfrac{{ - 1}}{3}\]
Câu 22: Đáp án C
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{\sqrt {3x} - 3}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\left[ {\sqrt {x + 1} - 2} \right]\left[ {\sqrt {x + 1} + 2} \right]\left[ {\sqrt {3x} + 3} \right]}}{{\left[ {\sqrt {3x} - 3} \right]\left[ {\sqrt {3x} + 3} \right]\left[ {\sqrt {x + 1} + 2} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\left[ {x - 3} \right]\left[ {\sqrt {3x} + 3} \right]}}{{3\left[ {x - 3} \right]\left[ {\sqrt {x + 1} + 2} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\left[ {\sqrt {3x} + 3} \right]}}{{3\left[ {\sqrt {x + 1} + 2} \right]}} = \dfrac{1}{2}\end{array}\]
Câu 23: Đáp án B
\[\begin{array}{l}\lim \dfrac{{2{n^2} - n + 4}}{{\sqrt {2{n^4} - {n^2} + 1} }}\\ = \lim \dfrac{{{n^2}\left[ {2 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{{{n^2}}}} \right]}}{{{n^2}\left[ {\sqrt {2 - \dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^4}}}} } \right]}}\\ = \lim \dfrac{{\left[ {2 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{{{n^2}}}} \right]}}{{\left[ {\sqrt {2 - \dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^4}}}} } \right]}} = \sqrt 2 \end{array}\]
Câu 24: Đáp án B
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {4x + 1} - 3}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left[ {x - \sqrt {x + 2} } \right]\left[ {x + \sqrt {x + 2} } \right]\left[ {\sqrt {4x + 1} + 3} \right]}}{{\left[ {\sqrt {4x + 1} - 3} \right]\left[ {\sqrt {4x + 1} + 3} \right]\left[ {x + \sqrt {x + 2} } \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left[ {{x^2} - x - 2} \right]\left[ {\sqrt {4x + 1} + 3} \right]}}{{\left[ {4x - 8} \right]\left[ {x + \sqrt {x + 2} } \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 2} \right]\left[ {\sqrt {4x + 1} + 3} \right]}}{{4\left[ {x - 2} \right]\left[ {x + \sqrt {x + 2} } \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {\sqrt {4x + 1} + 3} \right]}}{{4\left[ {x + \sqrt {x + 2} } \right]}} = \dfrac{9}{8}\end{array}\]
Câu 25: Đáp án B
\[\lim \left[ {\sqrt {{n^2} - n} - n} \right] = \lim \dfrac{{ - n}}{{\sqrt {{n^2} - n} + n}} = \lim \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt {1 - \dfrac{1}{n}} + 1}} = \dfrac{{ - 1}}{2}\]