Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì

1. Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác

Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Ví dụ:

+ \[\Delta ABC\] có \[D\] là trung điểm của \[AB\] , \[E\] là trung điểm của \[AC\] nên \[DE\] là đường trung bình của tam giác \[ABC\] \[ \Rightarrow DE{\rm{//}}BC;\,DE = \dfrac{1}{2}BC.\] 

+ Nếu \[\left\{ \begin{array}{l}DA = DB\\DE{\rm{//}}BC\end{array} \right. \Rightarrow EC = EA\] .

Đường trung bình của hình thang

Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Ví dụ:

+ Hình thang \[ABCD\] [hình vẽ] có \[E\] là trung điểm \[AD\] , \[F\] là trung điểm của \[BC\] nên \[EF\] là đường trung bình của hình thang \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}EF{\rm{//}}DC\\EF = \dfrac{{AB + DC}}{2}\end{array} \right.\]

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh các hệ thức về cạnh và góc. Tính các cạnh và góc.

Phương pháp: 

Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác và hình thang.

+ Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

+ Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

+ Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

+ Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

Dạng 2: Chứng minh một cạnh là đường trung bình của tam giác, hình thang.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa đường trung bình của tam giác và hình thang.

+ Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

+ Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

Bài 4 : Cho tam giác ABC. H là trung điểm của AB. Từ H kẻ đườngthẳng song song với BC cắt AC tại I. Từ H kẻ đường thẳng songsong với AC cắt BC tại K.Biết AB = 5cm, AI = 4cm, BK = 5cm . Hãychọn chữ cái ở cột 2 điền vào ô trống ở cột 1 để được đáp ánđúng.Cột 1Cột 2DBC = ….cmGKC = …cmEIC = ….cmBAC = …cmFAH = …cmA.B.C.D.E.F.G.9871042,55Chúc mừng em, em đã làmRất tiếc, câu trả lời của em chưaChúc mừng em, em đã làmRất tiếc, câu trả lời của em chưađúng rồi. trả lời của bạn là: đúng.Em hết cơ hội trả lời lại rồiđúng rồi. trả lời của bạn là: đúng.Em hết cơ hội trả lời lại rồiCâuCâuBạn chưatrả lời sai rồiBạn đãRấtBạn đãEm làmđúngrồi. EmBạn chưa trả lờisai hỏilời câu hỏiRất tiếc. trả làmđúngrồi. Emtiếc.Đáp án là: Emtrả lời câurồitrướcBạnán là: trả lời câu hỏi trướcphải trả lời câu hỏiĐáp phải thể làm lại.Bạn cócó thể làm lại.khi tiếp tụckhi tiếp tụcĐáp ánĐáp ánXóaXóaBài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC =4cm,BC = 5cm. Trên BC lấy điểm M sao cho M là trungđiểm của BC, Kẻ MH vuông góc AB. Tính HB.[Lưu ý: Nhập kết quả dưới dạng số thập phân,phần nguyên và phầnthập phân được ngăn cách nhau bởi dấu phẩy]Trả lờiHB =[cm]Chúc mừng em, em đã làmRất tiếc, câu trả lời của em chưaChúc mừng em, em đã làmRất tiếc, câu trả lời của em chưađúng rồi. trả lời của bạn là: đúng.Em hết cơ hội trả lời lại rồiđúng rồi. trả lời của bạn là: đúng.Em hết cơ hội trả lời lại rồiCâuCâuBạn chưatrả làmđúngrồi. EmBạn đã trả lời câu hỏiRấtBạn đãEm làmđúngrồi. EmBạn chưa lời sai rồiRất tiếc. trảtrả lờisaihỏihỏitiếc.Đáp án là: Emtrả lời câurồitrướcĐáp án là: thểlời câu hỏi trướcBạn phải trả lời câuBạn phải thể làm lại.cócólàm lại.khi tiếp tụckhi tiếp tụcĐáp ánĐáp ánXóaXóaBài 6: Cho tam giác ABC, cạnh AB có độ dài là 7cm,cạnh AC có độ dài là 9cm, cạnh BC có độ dài là 12cm.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Tínhchu vi tam giác MNPĐáp án:Chu vi của tam giác MNP là:[cm]Rất tiếc, câu trả lời của em chưaChúc mừng em, em đã làmRất tiếc, câu trả lời của em chưaChúc mừng em, em đã làmđúng rồi.trả lời của bạn là: đúng.Em hết cơ hội trả lời lại rồiđúng rồi.trả lời của bạn là: đúng.Em hết cơ hội trả lời lại rồiCâuCâuBạn chưatrả làmđúngrồi. EmBạn đã trả lời câu hỏiRấtBạn đãEm làmđúngrồi. EmBạn chưa lời sai rồiRất tiếc. trảtrả lờisaihỏihỏitiếc.Đáp án là: Emtrả lời câurồitrướcĐáp án là: thểlời câu hỏi trướcBạn phải trả lời câuBạn phải thể làm lại.cócólàm lại.khi tiếp tụckhi tiếp tụcĐáp ánĐáp ánXóaXóaBài 7: Cho tam giác ABC. M,N là trung điểm của AB,AC·ABC = 500 . Hãy chọn chữ cái ở cột 2 điền vàoBAC = 600 , ·ô trống ở cột 1 để được đáp án đúng.Cột 1Cột 2ACB =......C ·A. 500B. 1300·E MNC =......C. 700·B BMN =......A ·AMN =......1000D.E. 1100Chúc mừng em, em đã làmRất tiếc, câu trả lời của em chưaChúc mừng em, em đã làmRất tiếc, câu trả lời của em chưađúng rồi. trả lời của bạn là: đúng.Em hết cơ hội trả lời lại rồiđúng rồi. trả lời của bạn là: đúng.Em hết cơ hội trả lời lại rồiCâuCâuBạn chưatrả làmđúngrồi. EmBạn đã trả lời câu hỏiRấtBạn đãEm làmđúngrồi. EmBạn chưa lời sai rồiRất tiếc. trảtrả lờisaihỏihỏitiếc.Đáp án là: Emtrả lời câurồitrướcĐáp án là: thểlời câu hỏi trướcBạn phải trả lời câuBạn phải thể làm lại.cócólàm lại.khi tiếp tụckhi tiếp tụcĐáp ánĐáp ánXóaXóaPhần 4Điểm của bạn là:{score}Tổng điểm là:{max-score}Question Feedback/Review Information WillQuestion Feedback/Review Information WillAppear HereAppear HereMời bạn tiếp tụcMời bạn xem lại đáp án KIẾN THỨC CẦN NHỚ1. Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh củatam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trungđiểm cạnh thứ ba.2. Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạnthẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.3. Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnhthứ ba và bằng nửa cạnh ấy.- Mỗi tam giác có ba đường trung bìnhBTVN: 34; 38; 39; 40;44 [SBT/84-85]1. Các tài liệu tham khảo chính:+] Sách giáo viên, sách giáo khoaToán 8 tập 1.+] Phần mềm Adobe presenter 7.02. Các website tham khảo được sử dụng:+] //baigiang.violet.vn/+] //www.adobe.com/products/presenter/

Định lí 1

Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

GT:  \[\Delta ABC, AM=MB, MN \parallel BC\]

KL:  \[AN=NC\]

Chứng minh:

Qua \[N\] kẻ đường thẳng song song với \[AB\], cắt \[BC\] tại \[P\].

Hình thang \[MNPB\] có hai cạnh bên song song \[[MB \parallel NP]\] nên \[MB=NP\].

Do \[MB=AM\] [giả thiết]

suy ra \[AM=NP\].

Xét \[\Delta AMN\] và \[\Delta NPC\] ta có:

\[AM=NP\] [chứng minh trên]

\[\widehat{A}=\widehat{N_1}\] [hai góc đồng vị]

\[\widehat{M_1}=\widehat{P_1}\] [cùng bằng \[\widehat{B}\]]

Do đó \[\Delta AMN= \Delta NPC \].

Vậy \[N\] là trung điểm của \[AC\]. \[\square\]

Đường thẳng \[MN\] ở chứng minh trên có nhiều tính chất thú vị và được áp dụng nhiều trong việc giải toán. Nó được gọi là đường trung bình của tam giác \[ABC.\]

Định nghĩa đường trung bình của tam giác

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Ở hình vẽ trên, \[MN\] là đường trung bình của tam giác \[ABC\].

Lưu ý: Một tam giác có ba đường trung bình, tương ứng với ba cạnh đáy. Trong chứng minh Định lí 1, \[NP\] cũng là một đường trung bình của tam giác \[ABC\].

Định lí 2

Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

GT:  \[\Delta ABC, AM=MB, AN=NC\]

KL:  \[MN \parallel BC, MN=\dfrac{1}{2}BC\]

Chứng minh:

Giả sử \[MN\] không song song với \[BC.\]

Khi đó, theo tiên đề Ơcit, tồn tại duy nhất đường thẳng \[MN'\] đi qua \[M\] và song song với \[BC,\] \[MN'\] không trùng với \[MN.\] [*]

Theo Định lí 1, thì \[MN'\] phải đi qua trung điểm của cạnh \[AC\], hay nói cách khác, \[MN'\] phải đi qua điểm \[N.\]

Do đó đường thẳng \[MN'\] trùng với đường thẳng \[MN.\] Điều này mâu thuẩn với [*].

Vậy \[MN \parallel BC\].    [1]

Kẻ \[NP \parallel AB, P \in BC.\]

Khi đó, hình thang \[MNPB [NP \parallel MN]\] có hai cạnh bên song song \[[MN \parallel BP]\] nên \[MN = BP\]

Mặt khác do \[P\] cũng là trung điểm của \[BC\] [theo Định lí 1], nên \[BP=\dfrac{1}{2}BC\]

Vậy \[MN=\dfrac{1}{2}BC\]    [2]

Từ [1] và [2] ta có điều phải chứng minh. \[\square\]

Chứng minh một đoạn thẳng là đường trung bình của tam giác [edit]

Từ các định lí trên, ta rút ra được hai cách cơ bản để chứng minh một đường thẳng là đường trung bình của tam giác.

Cách 1: Chứng minh \[M\] là trung điểm của \[AB\] và \[N\] là trung điểm của \[AC.\]

Cách 2: Chứng minh \[M\] là trung điểm của \[AB\] và \[MN \parallel BC.\]

Đường trung bình của hình thang [edit]

Định lí 3

Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

GT:  \[ABCD\] là hình thang, \[AB \parallel CD\]

 \[AM=MD, MN \parallel AB, MN \parallel DC\]

KL:  \[BN=NC\]

Chứng minh:

Gọi \[I\] là giao điểm của \[AC\] và \[MN.\]

Xét \[\Delta ADC\] ta có:

\[AM=MD\] [giả thiết]

\[MI \parallel DC\] [giả thiết]

Suy ra \[AI=IC\]

Xét \[\Delta ACB\] ta có:

\[AI=IC\] [chứng minh trên]

\[IN \parallel AB\] [giả thiết]

Suy ra \[BN=NC\]

Vậy \[N\] là trung điểm của \[BC.\] \[\square\]

Đường thẳng\[MN\] có tính chất như trên được gọi là đường trung bình của hình thang \[ABCD\].

Định nghĩa đường trung bình của hình thang

Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

Định lí 4

Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

GT:  \[ABCD\] là hình thang, \[AB \parallel CD\]

KL:  \[MN \parallel AB, MN \parallel DC, MN=\dfrac{AB+CD}{2}\]

Gọi \[P\] là giao điểm của \[AN\] và \[DC.\]

Xét hai \[\Delta NAB\] và \[\Delta NPC\] ta có:

\[\widehat{N_1} = \widehat{N_2}\] [đối đỉnh]

\[BN=NC\] [giả thiết]

\[\widehat{B}=\widehat{NCP}\] [so le trong]

Do đó \[\Delta NAB = \Delta NPC\] [g.c.g].

Suy ra, \[AN=NP, AB=CP\]

Vì \[M\] là trung điểm của \[AD, N\] là trung điểm của \[AP\] nên \[MN\] là đường trung bình của \[\Delta ADP.\]

Suy ra \[MN \parallel DP\] và \[MN= \dfrac{1}{2} DP\]

Mặt khác, \[DP=DC+CP=DC+AB,\] do đó:

\[MN=\dfrac{AB+CD}{2}\]. \[\square\]

Chứng minh một đoạn thẳng là đường trung bình của hình thang [edit]

Từ các định lí trên, ta rút ra được hai cách cơ bản để chứng minh một đường thẳng là đường trung bình của tam giác.

Cách 1: Chứng minh \[M\] là trung điểm của \[AB\] và \[N\] là trung điểm của \[BC.\]

Cách 2: Chứng minh \[M\] là trung điểm của \[AB\] và \[MN \parallel CD.\]

Page 2

Page 3

Đường hướng và cách tiếp cận xây dựng khoá học

Khoá học được xây dựng dựa trên năng lực đầu ra của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo dành cho  học sinh hết lớp 8. Mục tiêu của mỗi bài học được xây dựng bám theo thang tư duy mới của Bloom đi từ thấp lên cao, hướng tới khả năng vận dụng kiến thức và kỹ năng của học sinh. Các bài học về thành tố ngôn ngữ như Từ vựng, Phát âm, Ngữ pháp được xây dựng theo hướng tiếp cận lồng ghép, gắn kết với nhau và với chủ đề của bài học, tạo cho học sinh có thêm nhiều cơ hội sử dụng tiếng Anh. Các bài học về kỹ năng được xây dựng nhằm hình thành năng lực chủ đạo theo chương trình sách giáo khoa, đồng thời có mở rộng sang một số năng lực chưa được hướng dẫn kỹ càng trong sách giáo khoa. Các tiểu kỹ năng của năng lực đọc hiểu và viết được hướng dẫn chi tiết, cụ thể, theo từng bước nhỏ, giúp học sinh có khả năng hình thành được năng lực đọc và viết sau khi kết thúc bài học.

Nội dung khoá học

Khoá học bám sát chương trình sách giáo khoa tiếng Anh 8 [chương trình thí điểm của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo] về chủ đề, chủ điểm, kỹ năng, kiến thức. Mỗi bài học được chia thành các nội dung chính: [1] Tóm tắt lý thuyết [Lesson summary]: hướng dẫn về kiến thức ngôn ngữ/ kỹ năng ngôn ngữ dưới dạng hình ảnh hoá hay sơ đồ tư duy để học sinh dễ dàng ghi nhớ kiến thức/ các bước kỹ năng. [2] Video bài giảng [phát âm]: video ngắn giúp học sinh ghi nhớ những kiến thức trọng tâm với sự hướng dẫn của thầy/ cô giáo. [3] Bài tập thực hành [practice task] giúp học sinh thực hành nội dung kiến thức, kỹ năng vừa được học. [4] Quiz: đây là hình thức đánh giá thường xuyên dưới dạng trặc nghiệm khách quan giúp giáo viên người học đánh giá được năng lực vừa được hình thành trong mỗi bài học. [5] Kiểm tra cả bài [unit test]: đây là hình thúc đánh giá tổng kết dưới dạng trắc nghiệm khách quan, và tự luận giúp giáo viên và người học đánh giá được năng lực được hình thành trong cả bài học lớn [unit].

Mục tiêu khoá học

Khoá học tiếng Anh 8 được xây dựng với mục đích hỗ trợ học sinh theo học chương trình tiếng Anh 8 mới của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo một cách cách dễ dàng và hiệu quả hơn. Kết thúc mỗi bài học trong khoá học, học sinh có khả năng vận dụng được những kiến thức và kỹ năng học được trong chương trình sách giáo khoa mới vào những bối cảnh thực hành tiếng Anh tương tự.

Đối tượng của khóa học

Khóa học được thiết kế dành cho các em học sinh lớp 8, tuy nhiên các em học sinh lớp trên vẫn có thể học để ôn lại kiến thức, hoặc sử dụng để tra cứu các kiến thức đã quên.

• Người quản lý: Nguyễn Huy Hoàng
• Người quản lý: Phạm Xuân Thế