Phương trình đẳng cấp lượng giác
Show
Phương trình đẳng cấp bậc hai. Là phương trình lượng giác có dạng $$a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x + = d\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$$ Cách giải 1. Dùng các công thức hạ bậc và công thức nhân đôi
$${\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2};{\rm{ }}{\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2};\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x.$$
Thay vào $\left( 1 \right)$ ta được phương trình bậc nhất đối với $\sin 2x$ và $\cos 2x$.
Cách giải 2. Xét hai trường hợp TH1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1$, thay vào $\left( 1 \right)$ xem có thoả hay không. Ví dụ 1. Giải phương trình $2{\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x - 2 = 0\,\,\,\left( * \right)$ Giải. Cách 1. $\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow 1 - \cos 2x + \frac{1}{2}\sin 2x + 3\frac{{1 + \cos 2x}}{2} - 2 = 0\\
\,\,\,\,\,\,{\rm{ }}\, \Leftrightarrow \sin 2x + \cos 2x + 1 = 0\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + 1 = 0\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
2x + \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
2x = \pi + k2\pi
\end{array} \right.\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + k\pi
\end{array} \right.{\rm{ }}
\end{array}$
Cách 2. Ta xét $2$ trường hợp TH1: Với $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1$ thoả $\left( * \right)$ nên $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ là nghiệm của $\left( * \right)$.
TH2: Với $\cos x \ne 0$, chia hai vế của $\left( * \right)$ cho ${\cos ^2}x$ ta được $$\begin{array}{l}
\left( * \right) \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + \tan x + 3 - \frac{2}{{{{\cos }^2}x}} = 0\\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + \tan x + 3 - 2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = 0\\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = - 1\\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \tan x = \tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi .
\end{array}$$ Kết hợp cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình là $x = - \frac{\pi }{4} + k\pi $ hoặc $x = \frac{\pi }{2} + k\pi .$
Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc cao. Cũng giống như phương trình đẳng cấp bậc hai, phương trình lượng giác đẳng cấp bậc cao có thể giải như sau: Xét hai trường hợp TH1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1$, thay vào PT xem có thoả hay không. Ví dụ 1. Giải phương trình ${\cos ^3}x - 4{\sin ^3}x - 3\cos x{\sin ^2}x + \sin x = 0{\rm{ }}\left( * \right)$ Giải. Ta xét hai trường hợp TH1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 1\\
\sin x = - 1
\end{array} \right..$ Với $\cos x = 0,\sin x = 1$, thay vào $\left( * \right)$ ta được $\left( * \right) \Leftrightarrow - 4 + 1 = 0$, vô lý. Vậy $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ không là nghiệm của $\left( * \right)$. TH2: $\cos x \ne 0,$ chia hai vế của $\left( * \right)$ cho ${\cos ^3}x$ ta được $$\begin{array}{l}
{\rm{ }}1 - 4{\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 0\\
\Leftrightarrow 1 - 4{\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 4{\tan ^3}x + 2{\tan ^2}x - 2 = 0.\\
\Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi .
\end{array}$$
Kết hợp cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi }{4} + k\pi .$
PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI VÀ BẬC BA ĐỐI VỚI SIN VÀ COS A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Quảng Cáo Nhận biết: Phương trình đẳng cấp là phương trình chứa ( sin ), ( cos ) thỏa mãn bậc của tất cả các hạng tử đều là số chẵn, hoặc đều là số lẻ. Chẳng hạn: ( bullet ) ( sin x), ( cos x) bậc một. Quảng Cáo ( bullet ) ({sin ^2}x,co{s^2}x,sin xcos x) bậc hai. ( bullet ) ({sin ^3}x,co{s^3}x,{sin ^2}xcos x,sin x{cos ^2}x,cos 3x,sin 3x) đều bậc 3. Quảng Cáo Cách giải: Ta xét hai trường hợp sau: ( bullet ) Trường hợp 1: (cos x = 0) ( bullet ) Trường hợp 2: (cos x ne 0). Khi đó ta sẽ chia cả 2 vế cho ({cos ^m}x) (ở đó m là bậc của phương trình đẳng cấp), ta được phương trình bậc m với ẩn là (tan x). (Tương tự đối vơi việc chia cho ( sin x) để đưa về ( cot x).) B. CÁC VÍ DỤ MẪU ĐẶT CƯỢC NGAY TẠI NHÀ CÁI NEW88 - Tặng 188K Cho Hội Viên Mới Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 – Xem ngay
Cách giải phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác cực hay Cách giải phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác cực hayA. Phương pháp giải & Ví dụĐịnh nghĩa: Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx là phương trình có dạng f(sinx, cosx) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Cách giải: Xét cosx = 0 xem có là nghiệm của phương trình không? Xét cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho coskx (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tanx. Giải và kết hợp nghiệm của cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình đã cho. Hoàn toàn tương tự ta có thể làm như trên đối với sinx. Ví dụ minh họaBài 1: 3sin2x + banmaynuocnong.com + (8√3-9) cos2x = 0 (1) Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 1. Ta có (1) ⇔ 3=0 (vô lý) Xét cosx≠0. Chia cả hai vế của pt cho cos2x. Ta được :
Bài 2: sin3x + banmaynuocnong.com2x + 3cos3x = 0 (2) Xét cosx = 0. Ta có (2) ⇔ sinx = 0 (vô lí do sin2x + cos2x = 1) Xét cosx ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos3x. Ta được : (2) ⇔ tan3x + 2 tanx + 3 = 0
⇔ x = -π/4 + kπ (k ∈ Z) B. Bài tập vận dụngBài 1: Giải phương trình sin2 x-(√3+1)sinxcosx+√3 cos2 x=0 Lời giải: sin2x – (√3+1) sinx cosx + √3 cos2x = 0 (1) Xét cosx = 0. (1) sin2x = 0 → vô lý Xét cosx≠0. Chia cả hai vế của pt cho cos2x. Ta được : (1) ⇔ tan2x – (√3+1) tanx + √3 = 0 Bài 2: Giải phương trình: 2 cos2x – 3sinxcosx + sin2x = 0 Lời giải: Xét cosx = 0. Ta có . sin2x = 0 → vô lý Xét cosx ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos2x. Ta được : 2 – 3 tanx + tan2x = 0 Bài 3: Giải phương trình: 3cos4x – 4cos2x sin2x + sin4x = 0 Lời giải: Xét cosx = 0: Ta có : sin4x = 0 (vô lý) Xét cosx ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos4x. Ta được : 3 – 4 tan2x + tan4x = 0 Bài 4: Tìm m để phương trình (m + 1)sin2x – sin2x + 2cos2x = 0 có nghiệm. Lời giải: Xét cosx = 0. Ta có : (m+1)sin2x = 0 ⇔ m = -1 Xét cosx ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos2x. Ta được : (m+1)tan2x – 2 tanx + 2 = 0 Δ’ = 1-2m-2 = -2m-1 Để pt có nghiệm ⇔ Δ’ ≥ 0 ⇔ – 2m-1 ≥ 0 ⇔ m ≤ -1/2 Vậy với m ≤ -1/2 thì pt đã cho có nghiệm Bài 5: Tìm điều kiện để phương trình a.sin2x + a.sinxcosx + b.cos2x = 0 với a ≠ 0 có nghiệm. Lời giải: Xét cosx ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos2x. Ta được : a tan2x + atanx + b = 0 Δ = a2 – 4ab Để pt có nghiệm ⇔ Δ’ ≥ 0 ⇔a2 – 4ab ≥ 0 ⇔ a-4b ≥ 0 ⇔ a ≥ 4b Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại banmaynuocnong.com
|