Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
Trong không gian \[Oxyz\] cho bốn điểm \[A[3 ; -2 ; -2], B[3 ; 2 ; 0], C[0 ; 2 ; 1]\] và \[D[-1 ; 1 ; 2]\]
LG a
a] Viết phương trình mặt phẳng \[[BCD]\]. Suy ra \[ABCD\] là một tứ diện.
Phương pháp giải:
a] Mặt phẳng [BCD] đi qua B và nhận\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]\] là 1 VTPT.
- Chứng minh điểm A không thuộc mặt phẳng [BCD], từ đó suy ra ABCD là tứ diện.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\overrightarrow {BC} = [-3; 0; 1]\], \[\overrightarrow {BD} = [-4; -1; 2]\]
Gọi \[\overrightarrow n \]là vectơ pháp tuyến của mp \[[BCD]\] thì:
\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = [1;2;3]\]
Mặt phẳng \[[BCD]\] đi qua \[B\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = [1; 2; 3]\] có phương trình:
\[1[x - 3] + 2[y - 2] + 3[z - 0] = 0\]
\[\Leftrightarrow x + 2y + 3z - 7 = 0\]
Thay toạ độ điểm \[A\] vào phương trình của mp \[[BCD]\], ta có:
\[3 + 2[-2] + 3[-2] - 7 = -14 0\]
Vậy \[A [BCD]\] \[\Rightarrow \]bốn điểm \[A, B, C, D\] không đồng phẳng. Vậy ABCD là một tứ diện.
LG b
b] Viết phương trình mặt cầu \[[S]\] tâm \[A\] và tiếp xúc với mặt phẳng \[[BCD]\].
Phương pháp giải:
b]Mặt cầu tâm \[A\], tiếp xúc với mp \[[BCD]\] có bán kính bằng khoảng cách từ \[A\] đến mp \[[BCD]\]
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu tâm \[A\], tiếp xúc với mp \[[BCD]\] có bán kính bằng khoảng cách từ \[A\] đến mp \[[BCD]\]: \[r = d [A,[BCD]]\] =\[{{\left| { - 14} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \sqrt {14} \]
Phương trình mặt cầu cần tìm: \[[S]: [x - 3]^2+ [y + 2]^2+ [z + 2]^2= 14\]
LG c
c] Tìm toạ độ tiếp điểm của \[[S]\] và mặt phẳng \[[BCD]\].
Phương pháp giải:
c] H là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng [BCD].
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng BCD.
- Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng [BCD]. Khi đó giao điểm trên chính là điểm H cần tìm.
Lời giải chi tiết:
Gọi H là tiếp điểm của [S] với mp[BCD]. Khi đó \[AH \bot \left[ {BCD} \right]\]
\[AH\] đi qua \[A\] và nhận \[\overrightarrow {{n_{\left[ {BCD} \right]}}} = \left[ {1;2;3} \right]\]làm VTCP nên AH:\[\left\{ \matrix{x = 3 + t \hfill \cr y = - 2 + 2t \hfill \cr z = - 2 + 3t \hfill \cr} \right.\]
Gọi\[H = d \cap \left[ {BCD} \right]\] \[ \Rightarrow H\left[ {3 + t; - 2 + 2t; - 2 + 3t} \right]\]
Thay tọa độ điểm H vào phương trình của \[[BCD]\], ta có:
\[[3 + t] + 2[-2 + 2t] + 3[-2 + 3t] - 7 = 0 \]\[\Leftrightarrow t = 1\Rightarrow H\left[ {4;0;1} \right]\]