- LG a
- LG b
- LG c
Cho phương trình \[[m - 1]x^2+ 2x - 1 = 0\,\,\,[1]\]
LG a
Giải và biện luận phương trình.
Lời giải chi tiết:
+] Với \[m = 1\] thì [1] là \[2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\]
+] Với \[m 1\], ta có: \[Δ = 1 + m 1 = m\]
Với m < 0 thì phương trình vô nghiệm nên S = Ø
Với m = 0 thì phương trình có nghiệm kép \[x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.\left[ { - 1} \right]}} = 1\] nên S = {1}
Với m > 0 và m \[\ne \] 1thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm \sqrt m }}{{m - 1}}\]
Do đó \[S = {\rm{\{ }}{{ - 1 - \sqrt m } \over {m - 1}};\,{{ - 1 + \sqrt m } \over {m - 1}}{\rm{\} }}\]
Vậy,
+]\[m = 1\] thì \[S = \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\]
+]m < 0 thì S = Ø
+] m = 0 thì S = {1}
+] m > 0 và m\[\ne \] 1thì \[S = {\rm{\{ }}{{ - 1 - \sqrt m } \over {m - 1}};\,{{ - 1 + \sqrt m } \over {m - 1}}{\rm{\} }}\]
LG b
Tìm các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm khác dấu.
Phương pháp giải:
Phương trình có hai nghiệm trái dấu: \[\Leftrightarrow P < 0\]
Lời giải chi tiết:
Phương trình có hai nghiệm trái dấu \[\Leftrightarrow P < 0 \]
\[\Leftrightarrow - {1 \over {m - 1}} < 0\Leftrightarrow \frac{1}{{m - 1}} > 0\]
\[\Leftrightarrow m - 1 > 0\Leftrightarrow m > 1\]
LG c
Tìm các giá trị của m sao cho tổng bình phương hai nghiệm của nó bằng 1.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm: \[1 m > 0\]
Theo định lý Vi-ét:
\[\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = - {2 \over {m - 1}} \hfill \cr
{x_1}{x_2} = - {1 \over {m - 1}} \hfill \cr} \right.\]
Ta có:
\[\eqalign{
& x_1^2 + x_2^2 = 1 \cr&\Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2} = 1\cr&\Leftrightarrow {[{x_1} + {x_2}]^2} - 2{x_1}{x_2} = 1 \cr
& \Leftrightarrow {4 \over {{{[m - 1]}^2}}} + {2 \over {m - 1}} = 1\cr& \Leftrightarrow 4 + 2[m - 1] = {[m - 1]^2} \cr
& \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 1 = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 2 - \sqrt 5 \,\,\,\,[\text{loại}] \hfill \cr
m = 2 + \sqrt 5 \,\,\,\,,[\text{thỏa mãn}] \hfill \cr} \right. \cr} \]