Bài tập tìm quỹ tích lớp 9 cơ bản năm 2024

Việc giải một bài toán quỹ tích về thực chất là chứng minh một dãy liên tiếp các mệnh đề toán học. Nhưng khác với các bài toán chứng minh hình học, trong phần lớn các bài toán quỹ tích, đầu tiên ta phải tìm ra cho được cái ta cần phải chứng minh. Những thao tác tư duy chuẩn bị sẽ giúp ta định hướng được suy nghĩ, hình dung ra được quỹ tích cần tìm là một hình như thế nào và trong một chừng mực nào đó, nó giúp ta biết phải chứng minh phần thuận, phần đảo, giới hạn v.v…. như thế nào? Dưới đây là những thao tác tư duy chuẩn bị cơ bản nhất.

2.1 Tìm hiểu kĩ bài toán

Tìm hiểu kĩ bài toán tức là nắm chắc được những yếu tố đặc trưng cho bài toán. Trong một bài toán quỹ tích thường có 3 loại yếu tố đặc trưng:

1. Loại yếu tố cố định: thông thường là các điểm.
2. Loại yếu tố không đổi: như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện tích hình v.v… Các yếu tố cố định hoặc không đổi thường được cho đi kèm theo các nhóm từ “cố định”, “cho trước”, “không đổi”.
3. Loại yếu tố thay đổi: thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích hoặc các đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quỹ tích. Các yếu tố thay đổi thường cho kèm theo nhóm từ: “di động”, “di chuyển”, “chạy”, “thay đổi” v.v… Ví dụ 1: Cho một góc vuông xOy cố định và một đoạn thẳng AB có độ dài cho trước; đỉnh A di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh B di chuyển trên cạnh Oy. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB. Trong bài toán này thì: + Yếu tố cố định: Đỉnh O của góc xOy. + Yếu tố không đổi: độ dài đoạn thẳng AB. + Yếu tố thay đổi: điểm A, điểm B và do đó kéo theo trung điểm M của AB cũng thay đổi. Cần chú ý là trong một bài toán có thể có nhiều yếu tố cố định, nhiều yếu tố không đổi, nhiều yếu tố thay đổi. Do vậy, ta chỉ tập trung vào những yếu tố nào liên quan đến cách giải của ta mà thôi. Cũng cần biết rằng các yếu tố cố định, không đổi, thay đổi không phải lúc nào cũng được cho một cách trực tiếp mà đôi khi phải được hiểu một cách linh hoạt. Chẳng hạn khi nói: “Cho một đường tròn cố định…” thì ta hiểu rằng tâm của đường tròn là một điểm cố định và bán kính của đường tròn là một độ dài không đổi, hay như trong ví dụ 2 sau đây. Ví dụ 2: Cho một đường thẳng b và một điểm A cố định không thuộc đường thẳng b. Một tam giác ABC có đỉnh B di chuyển trên đường thẳng b sao cho nó luôn luôn đồng dạng với chính nó. Tìm tập hợp đỉnh C. Trong ví dụ này ta dễ dàng thấy: + Yếu tố cố định: đỉnh A, đường thẳng b. + Yếu tố thay đổi: đỉnh B, đỉnh C. Còn yếu tố không đổi là gì? đó là hình dạng của tam giác ABC. Nếu dừng lại ở khái niệm chung là hình dạng không đổi (tự đông dạng) thì ta không thể giải được bài toán. Do vậy, ta phải cụ thể hoá giả thiết tam giác ABC luôn tự đồng dạng ra như sau: – Các góc A, B, C có độ lớn không đổi; tỉ số các cạnh, chẳng hạn $ \displaystyle \frac{AC}{AB}$ là một số không đổi. Như vậy, việc tìm hiểu kĩ bài toán cũng đòi hỏi phải suy nghĩ, chọn lọc để tìm được những yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi thích hợp, giúp cho việc tìm ra cách giải bài toán.

2.2 Đoán nhận quỹ tích

Thao tác tư duy đoán nhận quỹ tích nhằm giúp HS hình dung được hình dạng của quỹ tích (đường thẳng, đoạn thẳng, cung tròn, đường tròn), nhiều khi còn cho HS biết cả vị trí và kích thước của quỹ tích nữa. Để đoán nhận quỹ tích ta thường tìm 3 điểm của quỹ tích. Muốn vậy nên xét 3 vị trí đặc biệt, tốt nhất là sử dụng các điểm giới hạn, với điều kiện vẽ hình chính xác, trực giác sẽ giúp ta hình dung được hình dạng quỹ tích. – Nếu 3 điểm ta vẽ được là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là đường thẳng. – Nếu 3 điểm ta vẽ được là không thẳng hàng thì quỹ tích cần tìm là đường tròn. Ta sẽ làm sáng tỏ điều này trong ví dụ sau: Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Một điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. Nối AM và đặt trên tia AM một đoạn AN = BM. Tìm tập hợp các điểm N. Đoán nhận quỹ tích – Khi M → B thì BM → O do vậy AN → O hay N → A. Vậy A là một điểm của quỹ tích. – Khi M đến vị trí điểm I, điểm chính giữa của cung AB, thì do AI=BI nên N → I. Vậy I là một điểm của quỹ tích.

– Khi M → A thì dây cung AM đến vị trí của tiếp tuyến At với đường tròn tại điểm A và do BM=BA nên điểm N sẽ dần đến vị trí điểm B’ trên tiếp tuyến At sao cho AB’=AB=2R; B’ là một điểm của quỹ tích. Do 3 điểm A, I, B’ không thẳng hàng nên ta dự đoán rằng điểm N sẽ nằm trên đường tròn đi qua 3 điểm A, I, B’, tức là đường tròn đường kính AB’.

3. Giải bài toán quỹ tích như thế nào?

Giải một bài toán quỹ tích là tiến hành chứng minh phần thuận (bao gồm cả phần giới hạn quỹ tích) và chứng minh phần đảo.

Bài viết Cung chứa góc, các bài toán về quỹ tích, dựng hình và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 9.

Cung chứa góc, các bài toán về quỹ tích, dựng hình và cách giải bài tập

9. Lý thuyết

1. Quỹ tích cung chứa góc

- Với đoạn thẳng AB và góc α0°<α<180° cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn AMB^=α là hai cung chứa góc dựng trên đoạn AB.

Chú ý:

- Hai cung chứa góc nói trên ta gọi là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB. Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích .

- Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.

2. Cách vẽ cung chứa góc α

- Vẽ đường trung trung trực d của đoạn thẳng AB;

- Vẽ tia Ax tạo với AB một góc α;

- Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d;

- Vẽ cung , tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax. Cung được vẽ như trên là một cung chứa góc α.

3. Cách giải một bài toán quỹ tích

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó ta là như sau:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.

Phần nghịch: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.

Từ đó đi đến kết luận quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H.

II. Các dạng toán

Dạng 1: Quỹ tích là cung chứa góc α

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tọa độ cố định trong hình vẽ.

Bước 2: Nối điểm phải tìm với hai đầu đoạn thẳng cố định đó, xác định góc α không đổi.

Bước 3: Khẳng định quỹ tích điểm phải tìm là cung chứa góc α dựng trên đoạn cố định.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, BC cố định, A^=50°. Gọi D là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác. Tìm quỹ tích điểm D.

Lời giải:

Xét tam giác ABC ta có:

A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

⇒B^+C^=180°−50°

⇔B^+C^=130°

Lại có:

D là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác ABC nên BD là phân giác B^.

⇒DBC^=12B^

D là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam gác ABC nên CD là phân giác C^.

⇒DCB^=12C^

Do đó:

DBC^+DCB^=12B^+12C^

⇔DBC^+DCB^=12B^+C^

⇔DBC^+DCB^=12.130°

⇔DBC^+DCB^=65°

Xét tam giác BCD có:

BDC^+DBC^+DCB^=180°

⇔BDC^+65°=180°

⇔BDC^=180°−65°

⇔BDC^=115°

Do BC cố định nên quỹ tích điểm D là hai cung chứa góc 115° dựng trên đoạn BC.

Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm di động trên đường tròn. Ở phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác BCD vuông cân tại C. Tìm quỹ tích điểm D.

Lời giải:

Phần thuận:

Ta có:

ACB^ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

⇒ACB^=90°

Lại có:

DCB^ (do tam giác BCD vuông cân tại C)

Do đó: ACB^+DCB^=180°

⇒A, C, D thẳng hàng.

⇒ADB^=CDB^=45° (do tam giác BCD vuông cân)

Vì AB cố định nên D nằm trên cung chứa góc 45° dựng trên đoạn AB.

Dựng đường thẳng vuông góc với AB tại A, đường thẳng này giao với cung chứa góc 45° dựng trên đoạn AB là I.

Nếu C≡A⇒D≡I

Phần đảo:

Lấy điểm D’ bất kỳ trên cung chứa góc 45° dựng trên đoạn Ab (D’ thuộc cung IB). Nối AD’ cắt nửa đường tròn (O) tại C’. Ta đi chứng minh tam giác BCD’ vuông cân tại C’

Ta có:

AC'B^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

nên BC'D'^{=90° (kề bù với góc AC'B})

mà C'D'B^=45° do đó tam giác BC’D’ vuông cân tại C’.

Vậy quỹ tích điểm D là cung BI của cung chứa góc 45° dựng trên đoạn AB.

Dạng 2: Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn và bài toán dựng hình

Phương pháp giải: Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là AB và cùng nhìn đoạn cố định AB dưới một góc không đổi.

Ví dụ 1: Từ điểm S nằm ở ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến SA; SB với A, B là tiếp điểm và cát tuyến SCD với đường tròn. Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh 5 điểm A, I, O, B, S cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải:

Vì SA là tiếp tuyến của đường tròn, A là tiếp điểm nên SA vuông góc với OA.

⇒SAO^=90°

Vì SB là tiếp tuyến của đường tròn, B là tiếp điểm nên SB vuông góc với OB.

⇒SBO^=90°

Vì I là trung điểm của CD nên OI vuông góc với CD (tính chất)

⇒SOI^=90°

Gọi trung điểm của SO là K.

Tam giác OAS vuông tại A với K là trung điểm của SO

⇒OK=KS=AK=12SO (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (1)

Tam giác OBS vuông tại B với K là trung điểm của SO

⇒OK=KS=BK=12SO (định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (2)

Tam giác OIS vuông tại I có K là trung điểm của SO

⇒OK=KS=IK=12SO (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (3)

Từ (1); (2); (3) ⇒OK=KS=IK=AK=BK=12SO

Hay 5 điểm A, B, S, I, O cách đều điểm K.

Vậy 5 điểm A, B, S, I, O cùng nằm trên một đường tròn (K) bán kính KS.

Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Trên OA lấy điểm M sao cho OM = OB. Trên OB lấy N sao cho ON = OA. Chứng minh: 4 điểm D, M, N, C thuộc cùng một đường tròn.

Lời giải:

Xét tam giác OAB và tam giác OMN có:

AOB^ chung

OA = ON

OB = OM

Do đó ΔAOB=ΔNOM (c – g – c)

⇒BAO^=MNO^ (hai góc tương ứng) (1)

Mặt khác, do ABCD là hình thang nên AB // CD (giả thuyết)

⇒BAO^=DCO^ (hai góc so le trong) (2)

Từ (1) và (2) ⇒MNO^=DCO^

Hai góc này cùng nhìn cạnh MD.

Do đó hai điểm N, C cùng nằm trên cung tròn dựng trên đoạn MD với góc DCO^.

Ví dụ 3: Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD), biết CD = 3cm, AC = 4cm, D^=70° .

Lời giải:

Cách dựng hình:

- Dựng đoạn CD = 3cm.

- Dựng góc CDx^=70°.

- Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa tia Dx dựng đường tròn tâm C bán kính 4cm cắt Dx tại A.

- Dựng dây Ay song song với CD.

- Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A, dựng cung tròn tâm D bán kính 4cm cắt Ay tại B.

- Nối B với C ta được hình thang ABCD cần dựng.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.

Bài 2: Dựng tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 4,5cm, AB = 2cm.

Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Gọi M là điểm chính giữa cung AB. Trên cung AM lấy điểm N. Trên tia đối của tia Am lấy điểm D sao cho MD = MB, trên tia đố tia NB lấy điểm E sao cho NA = NE, trên tia đối của tia MB lấy điểm C sao cho MC = MA. Chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.

Bài 4: Dựng một cung chứa góc 55° trên đoạn AB = 3cm

Bài 5: Cho I và O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC với A^=60°. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.

Bài 6: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng DE và BF. Tìm quỹ tích điểm M khi E di động trên BC.

Bài 7: Cho cung AB cố định tạo bởi các bán kính OA, OB vuông góc với nhau, điểm I chuyển động trên cung AB. Trên tia OI lấy điểm M sao cho OM bằng tổng các khoảng cách từ điểm I đến OA, OB, Tìm quỹ tích các điểm M.

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BF. Từ điểm I nằm giữa B và F vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB, BC lần lượt tại M và N. Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN cắt Ai tại D. Hai đường thẳng DN và BF cắt nhau tại E. Chứng minh:

1. Bốn điểm A, B, D, E cùng thuộc một đường tròn.

2. Năm điển A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra BE vuông góc với CE.

Bài 9: Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến MAB đi qua O và các tiếp tuyến MC, MD. Gọi K là giao điểm của AC và BD. Chứng minh 4 điểm B, C, M, K thuộc cùng một đường tròn.

Bài 10: Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB.

1. Chứng minh AIB^ không đổi.

2. Tìm tập hợp tất cả các điểm I nói trên.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập
• Đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp và cách giải bài tập
• Độ dài đường tròn, độ dài cung tròn và cách giải bài tập
• Diện tích hình tròn, diện tích hình quạt tròn và cách giải bài tập
• Các dạng bài tập về hàm số và cách giải bài tập

Săn SALE shopee Tết:

• Đồ dùng học tập giá rẻ
• Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3
• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, KHÓA HỌC DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và khóa học dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.