Bài toán kinh tế bất phương trình

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là dạng toán điển hình của chương trình THPT. Đây là phần kiến thức từ lớp 9 nhưng khi lên lớp 10 thì dạng này phức tạp hơn, các dạng bài ứng dụng thực tế nhiều hơn và đòi hỏi các em thực sự hiểu về nó. Trong bài viết này, VUIHOC sẽ tổng hợp các lý thuyết và dạng toán điển hình của bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là phần kiến thức nền rất quan trọng mà học sinh THPT cần phải nắm chắc từ lớp 10. Theo định nghĩa, bất phương trình bậc nhất hai ẩn có một trong các dạng sau đây:

$ax+by+c<0 ax+by+c>0 ax+by+c\leq 0

ax+by+c\geq 0$

Trong đó: a, b, c là số cho trước thỏa mãn điều kiện $a^{2}+b^{2}\neq 0$, x và y là các ẩn số. 

Nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn được định nghĩa như sau:

Nếu có cặp số $\left ( x_{0};y_{0} \right )$ thỏa mãn $ax_{0}+by_{0}+c<0$, khi đó $\left ( x_{0};y_{0} \right )$ được gọi là 1 nghiệm của bất phương trình ax+by+c<0. Đối với các bất phương trình ax+by+c>0, $ax+by+c\leqslant 0$, $ax+by+c\geqslant 0$ định nghĩa nghiệm tương tự.

2. Miền nghiệm của bất phương trình 2 ẩn và cách biểu diễn

2.1. Định nghĩa 

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy có tọa độ là nghiệm của bất phương trình 2 ẩn được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

2.2. Định lý

Cho đường thẳng (d): ax+by+c=0 chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành 2 nửa mặt phẳng sao cho một trong 2 nửa mặt phẳng ấy gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn ax+by+c>0, nửa còn lại gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn ax+by+c<0. Từ đó, ta suy ra:

Nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa M$(x_{0},y_{0})$ là miền nghiệm của bất phương trình ax+by+c>0 (hay ax+by+c<0) nếu M$(x_{0},y_{0})$ là nghiệm của bất phương trình đó.

2.3. Cách biểu diễn miền nghiệm

Để xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có cách làm sau đây:

• Bước 1: Vẽ (d): ax+by+c=0

• Bước 2: Xác định 1 điểm M$(x_{0},y_{0})$ sao cho M không nằm trên (d)

Trong bước 2 này ta cần lưu ý 2 trường hợp:

• Trường hợp 1: Khi $ax_{0}+by_{0}+c<0$ thì lúc đó nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M được gọi là miền nghiệm của ax+by+c<0.

• Trường hợp 2: Khi $ax_{0}+by_{0}+c>0$ thì lúc đó nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M được gọi là miền nghiệm của ax+by+c>0.

Lưu ý:

• Khi biểu diễn miền nghiệm, đối với các bất phương trình có dạng $ax+by+c\leqslant 0$ hoặc $ax+by+c\geqslant 0$ thì khi đó miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ.

• Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

Cùng xét ví dụ biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau đây:

Ví dụ: Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình sau: $2x-y\leqslant 3$

Giải:

Vẽ đường thẳng $\left ( \Delta  \right )$ có 2x-y=3

Xét thấy c=3>0 nên miền nghiệm của bất phương trình $2x-y\leqslant 3$ là nửa mặt phẳng bờ $\left ( \Delta  \right )$ có chứa gốc tọa độ.

3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Khi học về bất phương trình bậc nhất hai ẩn, học sinh không thể bỏ qua phần kiến thức nâng cao hơn, đó là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là biểu thức bao gồm 2 hay nhiều các bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình xuất hiện trong hệ thì tập hợp các điểm đó được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Ta cũng có thể hiểu miền nghiệm của hệ chính là giao các miền nghiệm của những bất phương trình thành phần trong hệ.

Để xác định được miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, học sinh sử dụng phương pháp biểu diễn hình học như sau:

• Bước 1: Xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ và gạch bỏ miền còn lại

• Bước 2: Sau khi đã xác định các miền trong hệ, miền mà không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho.

Học sinh cùng VUIHOC xét ví dụ sau đây để hiểu hơn về cách xét bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Ví dụ (Toán 10 Đại số trang 97 SGK): Biểu diễn hình học miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau đây:

4. Một số bài tập về bất phương trình bậc nhất hai ẩn

4.1. Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Đối với các bài toán xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, các em học sinh cần làm theo các bước đã nêu ở mục 2.3. Để rõ hơn về cách áp dụng giải một bài toán thực tế như thế nào, các em học sinh cùng theo dõi các ví dụ dưới đây nhé!

Ví dụ 1: Tìm tập nghiệm theo hình học của bất phương trình sau: -3x+2y>0

Giải:

Ví dụ 2: Cho hệ bất phương trình sau, biểu diễn hình học tập nghiệm:

4.2. Vận dụng vào bài toán kinh tế

Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn còn được ứng dụng rất nhiều vào các bài toán kinh tế. Xét ví dụ mẫu sau đây để hiểu hơn về cách giải các bài toán ứng dụng thú vị nhé!

Ví dụ: Hai loại sản phẩm I và II được sản xuất ra từ ba nhóm máy A, B, C. Khi sản xuất một đơn vị sản phẩm, mỗi loại phải dùng lần lượt các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được dùng cho trong bảng sau:

Một đơn vị sản phẩm I lãi 3 nghìn đồng.

Một đơn vị sản xuất II lãi 5 nghìn đồng. 

Yêu cầu lập kế hoạch sản xuất sao cho tổng số tiền lãi đạt được cao nhất.

Giải: 

Gọi x là số đơn vị sản phẩm loại I, y là số đơn vị sản phẩm loại II sản xuất ra.

Như vậy tiền lãi có được là L = 3x + 5y (nghìn đồng).

Theo đề bài: Nhóm A cần 2x + 2y máy;

Nhóm B cần 0x + 2y máy;

Nhóm C cần 2x + 4y máy;

Vì số máy tối đa ở nhóm A là 10 máy, nhóm B là 4 máy, nhóm C là 12 máy nên x, y phải thỏa mãn hệ bất phương trình:

 

Khi đó bài toán mới hình thành: trong các nghiệm của hệ bất phương trình (1) thì nghiệm ($x=x_{0};y=y_{0}$) nào cho L = 3x + 5y lớn nhất?

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) là ngũ giác ABCDE tính cả miền trong.

Xét: L đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác ABCDE.

Tính giá trị của biểu thức L = 3x + 5y tại các đỉnh. Ta được:

Đỉnh A(0;2), L = 10

Đỉnh B(2; 2), L = 16

Đỉnh C(4; 1), L = 17

Đỉnh D(5; 0), L = 15

Đỉnh E(0; 0), L = 0

Do đó, L = 3x + 5y lớn nhất là 17 (nghìn đồng) khi: x = 4; y = 1

Kết luận: Để có tiền lãi cao nhất, nhà máy cần sản xuất 4 đơn vị sản phẩm loại I và 1 đơn vị sản phẩm loại II.

Trên đây là toàn bộ kiến thức về bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình đại số THPT. Hy vọng rằng, bài viết đã cung cấp cho các em nguồn kiến thức hữu ích để vận dụng trong công cuộc ôn thi THPT quốc gia của mình. Để ôn tập lại các phần kiến thức Toán thi đại học khác, các em đừng quên truy cập vuihoc.vn và đăng ký khóa học để học thêm nhiều kiến thức bổ ích nhé!

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI Ẩn Tương tự, cặp số (x ; y) = (1 ; -2) là một nghiệm của bất phương trình thứ hai. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn X, y có dạng tổng quát là ax + by c) trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0,x và y là các ẩn số. II - BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BAT phương trình bậc nhất HAI ẨN Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm bất phương trình (1) được gọi là miền nghiệm của nó. Người ta đã chứng minh được rằng trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đường thẳng ax + by = c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng, một trong hai nửa mặt phẳng đó là miền nghiệm của bất phương trình ax + by c. Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình ax + by c) Bước 1. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ đường thẳng À : ax + by = c. Bước 2. Lấy một điểm Mg(x0;y0) -không thuộc A (ta thường lấy gốc toạ độ O) Bước 3. Tính axG + byữ và so sánh ơXq + byữ với c. Bước 4. Kết luận Nếừ ơXq + by0 < c thì nửa mặt phẳng bờ A chứa Mq là miền nghiệm của ax + by < c. Nếu ax0 + by0 > c thì nửa mặt phẳng bờ A không chứa Mq là miền nghiệm của ax + by < c. CHƯ Y Miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c bỏ đi đường thẳng ax + by = c là miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c. Ví dụ 1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn 2x + y <3. Giải V Vẽ đường thẳng A : 2x + y = 3. \ Lấy gốc toạ độ ơ(0 ; 0), ta thấy 0 ỉ A và có 2.0 + 0 < 3 nên nửa mặt phẳng bờ A chứa gốc toạ độ 0 là miền nghiệm của.bất phương trình đã cho (miền không bị tô đậm trong hình 29). 3^ \ / ^Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn 0 3 \ 2 \ X -3x + 2> > 0 . \ Hình 29 III - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI Ẩn Tương tự hệ bất phương trình một ẩn Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn X, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thê biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Ví dụ 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 3x + y < 6 A' + y < 4 X > 0 y > 0. Giải. Vẽ các đường thẳng (Ở!) : 3x + y = 6 (d2) : X + y = 4 (d3) : X = 0 (trục tung) (d4) : y - 0 (trục hoành). Vì điểm Mq(1 ; 1) có toạ độ thoả mãn tất cả các bất phương trình trong hệ trên nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ (í/p, (í/2), (ó/3), (<74) không chứa điểm Mq. Miền không bị tô đậm (hình tứ giác 0C1A kể cả bốn cạnh AI, IC, CO, OA) trong hình vẽ (h.30) là miền nghiệm của hệ đã cho. \Biểu diễn hình học tập nghiệm của'hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 2x -y < 3 2x + 5y < 12x + 8. IV - ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ Giải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải chúng. Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính. Sau đây ta sẽ xét một bài toán đơn giản thuộc loại đó. Bài toán. Một phân xưởng có hai máy đặc chủng Mp Mọ sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu là I và II. Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại I phải dùng máy Mị trong 3 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại II phải dùng máy Mị trong 1 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy Mị làm việc không quá 6 giờ trong một ngày, máy M2 một ngày chỉ làm việc không quá 4 giờ. Hãy đặt kế hoạch sản xuất sao cho tổng số tiền lãi cao nhất. Giải. Gọi X, y theo thứ tự là số tấn sản phẩm loại I, loại II sản xuất trong một ngày (x > 0, y > 0). Như vậy tiền lãi mỗi ngày là L = 2x + l,6y (triệu đồng) và số giờ làm việc (mỗi ngày) của máy Mị là 3x + y và máy M2 là X + y. 4-.ĐAI số 10-A - 97 Vì mỗi ngày máy Mỵ chỉ làm việc không quá 6 giờ, máy M2 không quá 4 giờ nên X, y phải thoả mãn hệ bất phương trình 3x + y < 6 > 0 >0. t x+y X . y Bài toán trở thành Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (2), tìm nghiệm (x = A’o ; y - yò) sao cho L = 2x + 1,6y lớn nhất. Miền nghiệm của hệ bất phương trình (2) là tứ giác OAIC kể cả miền trong (gọi là miền tứ giác OAIC) xem ví dụ ở mục III hình 30. Người ta chứng minh được rằng biểu thức L = 2x + l,6y đạt được giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác OAIC (xem bài đọc thêm). Tính giá trị của biểu thức L = 2x + l,6y tại tất cả các đỉnh của tứ giác OAỈC, ta thấy L lớn nhất khi X = 1, y = 3. Vậy để có số tiền lãi cao nhất, mỗi ngày cần sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I và 3 tấn sản phẩm loại II. ỌC THÊM PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC F = ax + by TRÊN MỘT MIẾN ĐA GIÁC Bài toán. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by (a, b là hai số đã cho không đồng thời bằng 0), trong đó X, y là các toạ độ của các điểm thuộc miền đa giác AjA2... A,AI+1... An. nhỏ nhất. Giải (h.31). Ta minh hoạ cách giải trong trường hợp n = 5 và chỉ xét trường hợp b > 0 (các trường hợp còn lại xét tương tự). Giả sử M{xq ; >>0) là một điểm đã cho thuộc miền đa giác. Qua điểm M và mỗi đỉnh của đa giác, kẻ các đường thẳng song song với đường thẳng ax + by = o. Trong các đường thẳng đó, đường thẳng qua điểm M có phương trình ax + by = ax0 + by0 , J - axl} + byrì} và căt trục tung tại điểm Ni 0 ; —u I. Vì b > 0 nên axữ + byữ lớn nhất khi và chỉ + byn . khi —9-7—9. lớn nhất. b Xác định X, y để F đạt giá trị lớn nhất, Hình 31 Trên hình 31, F = ax + by lớn nhất khi (x; y) là toạ độ eủa điểm Aj, bé nhất khi (x; y) là toạ độ điểm A4. Tóm lại, giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức F = ax + by đạt được tại một trong các đỉnh của miền đa giác. Bài tập Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau. —X + 2 + 2ịy - 2) < 2(1 - x); b) 3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3. Biểu diễn hình học tập nghiệm của các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau. a) X - 2y -2 y, - X < 3 ; b) Ĩ + Ỉ-KO 3 2 x+i-^2 2 2 X > 0. Có ba nhóm máy A, B, c dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau Nhóm Số máy trong mỗi nhóm Số máy trong từng nhóm để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm Loại I Loại II A 10 2 2 B 4 0 2 c 12 2 4 Một đơn vị sản phẩm I lãi 3 nghìn đồng, một đơn vị sản phẩm n lãi 5 nghìn đồng. Hãy lập phương án để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất. Hướng dẫn : Áp dụng phương pháp giải trong mục IV.