- LG a
- LG b
Giải và biện luận các phương trình sau:
LG a
\[{\log _3}x - {\log _3}\left[ {x - 2} \right] = {\log _{\sqrt 3 }}m;\]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện \[x > 2,x > 0\]. Đưa về tìm nghiệm lớn hơn 2 của phương trình \[x = \left[ {x - 2} \right]{m^2}\] hay \[\left[ {1 - {m^2}} \right]x = - 2{m^2}\]
Vậy
+] \[m > 1\] thì phương trình có nghiệm duy nhất \[x = {{2{m^2}} \over {{m^2} - 1}}\]
+] \[m \le 1\] thì phương trình vô nghiệm.
LG b
\[{4^{\sin x}} + {2^{1 + \sin x}} = m\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[{2^{\sin x}} = y\], vì \[ - 1 \le \sin x \le 1\] nên \[{1 \over 2} \le y \le 2\]
Ta có phương trình: \[{y^2} + 2y - m = 0\] [1]
Tính được: \[\Delta ' = 1 + m\]
- Với \[m < - 1\] thì [1] vô nghiệm.
- Với \[m = - 1\] thì [1] có nghiệm kép \[y = - 1\] [loại]
- Với \[m > - 1\] thì [1] có hai nghiệm phân biệt \[{y_1} = - 1 + \sqrt {m + 1} \] và \[{y_2} = - 1 - \sqrt {m + 1} \] [loại]
\[{y_1} = - 1 + \sqrt {m + 1} \] thỏa mãn điều kiện khi
\[\left\{ \matrix{- 1 + \sqrt {m + 1} \ge {1 \over 2} \hfill \cr- 1 + \sqrt {m + 1} \le 2 \hfill \cr} \right.\] tức là \[\left\{ \matrix{m \ge {5 \over 4} \hfill \cr m \le 8 \hfill \cr} \right.\]
Khi đó
\[{2^{\sin x}} = - 1 + \sqrt {m + 1} \]
\[\Leftrightarrow \sin x = {\log _2}\left[ { - 1 + \sqrt {m + 1} } \right] = \sin \varphi\]
\[\left[ { - {\pi \over 2} \le \varphi \le {\pi \over 2}} \right]\]
Ta có \[x = \varphi + k2\pi ;x = \pi - \varphi + k2\pi \left[ {k \in Z} \right]\]
Từ đó ta đi đến kết luận
+] Với \[m < {5 \over 4}\] hoặc \[m > 8\]: Phương trình vô nghiệm.
+] Với \[m = {5 \over 4}\]: Phương trình có nghiệm \[x = - {\pi \over 2} + k2\pi \left[ {k \in Z} \right]\]
+] Với \[m = 8\]: Phương trình có nghiệm \[x = {\pi \over 2} + k2\pi \left[ {k \in Z} \right]\]
+] Với \[{5 \over 4} < m < 8\]: Phương trình có nghiệm \[x = \varphi + k2\pi ;x = \pi - \varphi + k2\pi \] với \[\sin\varphi = {\log _2}\left[ { - 1 + \sqrt {m + 1} } \right],k \in Z\]