270 BÀI TẬP TOÁN NÂNG CAO LỚP 9 CÓ ĐÁP ÁN PHẦN I: ĐỀ BÀI 1. Chứng minh 7 l{ số vô tỉ. 2. a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd) 2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) 3. Cho x + y = 2. Tìm gi| trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x 2 + y2. ab 4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy: ab . 2 bc ca ab b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: abc a b c c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm gi| trị lớn nhất của tích P = ab. 5. Cho a + b = 1. Tìm gi| trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a3 + b3. 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm gi| trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b. 7. Cho a, b, c l{ c|c số dương. Chứng minh: a 3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 8. Tìm liên hệ giữa c|c số a v{ b biết rằng: a b a b 9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > 0 v{ abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 10. Chứng minh c|c bất đẳng thức: a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11. Tìm c|c gi| trị của x sao cho: a) | 2x – 3 | = | 1 – x | 2 – 4x ≤ 5 b) x c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1. 12. Tìm c|c số a, b, c, d biết rằng: a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với gi| trị n{o của a v{ b thì M đạt gi| trị nhỏ nhất ? Tìm gi| trị nhỏ nhất đó. 14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR gi| trị nhỏ nhất của P bằng 0. 15. Chứng minh rằng không có gi| trị n{o của x, y, z thỏa m~n đẳng thức sau: x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0 1 16. Tìm gi| trị lớn nhất của biểu thức: A 2 x 4x 9 17. So s|nh c|c số thực sau (không dùng m|y tính): a) 7 15 và 7 b) 17 5 1 và 45
23 2 19 và 27 d) 3 2 và 2 3 3 18. H~y viết một số hữu tỉ v{ một số vô tỉ lớn hơn 2 nhưng nhỏ hơn c)
3
19. Giải phương trình: 3x 2 6x 7 5x 2 10x 21 5 2x x 2 . 20. Tìm gi| trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với c|c điều kiện x, y > 0 v{ 2x + xy = 4.
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Trang | 1
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
21. Cho S
1 1 1 1 . Hãy so sánh S và .... ... 1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1
1998 . 1999 22. Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a không phải l{ số chính phương thì tỉ. 23. Cho c|c số x v{ y cùng dấu. Chứng minh rằng: x y a) 2 y x x 2 y2 x y b) 2 2 0 x y x y 2.
a l{ số vô
x 4 y4 x 2 y2 x y c) 4 4 2 2 2 . x y x y x y 24. Chứng minh rằng c|c số sau l{ số vô tỉ: a)
1 2
3 với m, n l{ c|c số hữu tỉ, n ≠ 0. n 25. Có hai số vô tỉ dương n{o m{ tổng l{ số hữu tỉ không ? x y x 2 y2 26. Cho c|c số x v{ y kh|c 0. Chứng minh rằng: 2 2 4 3 . y x y x b) m
x 2 y2 z 2 x y z . y2 z 2 x 2 y z x 28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ l{ một số vô tỉ. 29. Chứng minh c|c bất đẳng thức: a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + ….. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + ….. + an2). 30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2. 31. Chứng minh rằng: x y x y . 27. Cho c|c số x, y, z dương. Chứng minh rằng:
32. Tìm gi| trị lớn nhất của biểu thức: A
1 . x 6x 17 2
x y z với x, y, z > 0. y z x 34. Tìm gi| trị nhỏ nhất của: A = x2 + y2 biết x + y = 4. 35. Tìm gi| trị lớn nhất của: A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1. 36. Xét xem c|c số a v{ b có thể l{ số vô tỉ không nếu: a a) ab và l{ số vô tỉ. b a b) a + b và l{ số hữu tỉ (a + b ≠ 0) b 2 và b2 l{ số hữu tỉ (a + b ≠ 0) c) a + b, a 37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 33. Tìm gi| trị nhỏ nhất của: A
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Trang | 2
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
a b c d 2 bc cd da a b 39. Chứng minh rằng 2x bằng 2 x hoặc 2 x 1 40. Cho số nguyên dương a. Xét c|c số có dạng: a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n. Chứng minh rằng trong c|c số đó, tồn tại hai số m{ hai chữ số đầu tiên l{ 96. 41. Tìm các gi| trị của x để c|c biểu thức sau có nghĩa: 1 1 1 2 A= x 2 3 B C D E x 2x x x 2 4x 5 1 x2 3 x 2x 1 38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh:
G 3x 1 5x 3 x 2 x 1 42. a) Chứng minh rằng: | A + B | ≤ | A | + | B | . Dấu “ = ” xảy ra khi n{o ? b) Tìm gi| trị nhỏ nhất của biểu thức sau: M x 2 4x 4 x 2 6x 9 . c) Giải phương trình:
4x 2 20x 25 x 2 8x 16 x 2 18x 81
43. Giải phương trình: 2x 2 8x 3 x 2 4x 5 12 . 44. Tìm c|c gi| trị của x để c|c biểu thức sau có nghĩa: 1 1 A x2 x 2 B C 2 1 9x 2 D 2 1 3x x 5x 6 1 x E G 2 x2 H x 2 2x 3 3 1 x 2 x 4 2x 1 x
x 2 3x 45. Giải phương trình: 0 x 3 46. Tìm gi| trị nhỏ nhất của biểu thức: A x x . 47. Tìm gi| trị lớn nhất của biểu thức: B 3 x x 3 1 48. So sánh: a) a 2 3 và b= b) 5 13 4 3 và 2 c) n 2 n 1 và n+1 n (n l{ số nguyên dương) 49. Với gi| trị n{o của x, biểu thức sau đạt gi| trị nhỏ nhất:
60. Cho biểu thức: A x x 2 4x 4 a) Tìm tập x|c định của biểu thức A. b) Rút gọn biểu thức A. 61. Rút gọn c|c biểu thức sau:
a)
11 2 10
b)
9 2 14
c)
3 11 6 2 5 2 6 2 6 2 5 7 2 10
62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức: 63. Giải bất phương trình:
1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c
x 2 16x 60 x 6 .
64. Tìm x sao cho: x 2 3 3 x 2 . 65. Tìm gi| trị nhỏ nhất, gi| trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng: x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1) 66. Tìm x để biểu thức có nghĩa:
a) A
1 x 2x 1
W: www.hoc247.net
b) B
16 x 2 x 2 8x 8 . 2x 1
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Trang | 4
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
67. Cho biểu thức: A
x x 2 2x
x x 2 2x
.
x x 2x x x 2x a) Tìm gi| trị của x để biểu thức A có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm gi| trị của x để A < 2. 68. Tìm 20 chữ số thập ph}n đầu tiên của số: 0,9999....9 (20 chữ số 9) 2
2
69. Tìm gi| trị nhỏ nhất, gi| trị lớn nhất của: A = | x - 2 | + | y – 1 | với | x | + | y | = 5 70. Tìm gi| trị nhỏ nhất của A = x 4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1 71. Trong hai số: n n 2 và 2 n+1 (n l{ số nguyên dương), số n{o lớn hơn ? 72. Cho biểu thức A 7 4 3 7 4 3 . Tính gi| trị của A theo hai c|ch. 73. Tính: ( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5) 74. Chứng minh c|c số sau l{ số vô tỉ:
3 5 ;
3 2 ; 2 2 3
75. H~y so s|nh hai số: a 3 3 3 và b=2 2 1 ; 76. So sánh
2 5 và
5 1 2
4 7 4 7 2 v{ số 0. 2 3 6 84 . 2 3 4
77. Rút gọn biểu thức: Q
78. Cho P 14 40 56 140 . H~y biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức bậc hai 79. Tính gi| trị của biểu thức x2 + y2 biết rằng: x 1 y2 y 1 x 2 1 . 80. Tìm gi| trị nhỏ nhất v{ lớn nhất của: A 1 x 1 x . 81. Tìm gi| trị lớn nhất của: M
a b
2
với a, b > 0 v{ a + b ≤ 1.
82. CMR trong c|c số 2b c 2 ad ; 2c d 2 ab ; 2d a 2 bc ; 2a b 2 cd có ít nhất hai số dương (a, b, c, d > 0). 83. Rút gọn biểu thức: N 4 6 8 3 4 2 18 . 84. Cho x y z xy yz zx , trong đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z. 85. Cho a1, a2, …, an > 0 và a1a2…an = 1. Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n. 86. Chứng minh:
a b
2
2 2(a b) ab (a, b ≥ 0).
87. Chứng minh rằng nếu c|c đoạn thẳng có độ d{i a, b, c lập được th{nh một tam gi|c thì c|c đoạn thẳng có độ d{i a , b , c cũng lập được th{nh một tam gi|c. 88. Rút gọn:
ab b2 a a) A b b
(x 2)2 8x b) B . 2 x x
89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều có:
a2 2 a2 1
2 . Khi n{o có đẳng thức ?
90. Tính: A 3 5 3 5 bằng hai c|ch. 91. So sánh: W: www.hoc247.net