Có bao nhiêu điểm M thuộc d cách A(9;1) một đoạn bằng 5

Cho [[ d ]:[ x = 2 + 3t y = 3 + t. right. ] . Hỏi có bao nhiêu điểm [M thuộc [ d ] ] cách [A[ [9;1] ] ] một đoạn bằng 5.

Câu 12164 Vận dụng

Cho \[\left[ d \right]:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 3 + t.\end{array} \right.\] . Hỏi có bao nhiêu điểm \[M \in \left[ d \right]\] cách \[A\left[ {9;1} \right]\] một đoạn bằng $5.$

Đáp án đúng: d

Phương pháp giải

- Gọi tọa độ của \[M\] theo tham số.

- Sử dụng công thức tính khoảng cách \[AM\] và kết luận.

Một số bài toán viết phương trình đường thẳng --- Xem chi tiết

...

Tìm điểm thuộc đường thẳng có độ dài thỏa mãn điều kiện

Trang trước Trang sau

Quảng cáo

Để tìm được điểm [tham số m] thỏa mãn điều kiện T ta cần sử dụng các công thức sau:

+ Khoảng cách từ điểm M[x0; y0] đến đường thẳng d: ax + by + c = 0 là:

d[M; d] =

+ Khoảng cách hai điểm A[xA; yA] và B [ xB; yB] là:

AB =

+ Để điểm M [x0; y0] cách đều hai đường thẳng d: ax + by + c = 0 và d’: a’x + b’y + c’ = 0

⇔ d[ M;d] = d[ M;d’] ⇔

+ Tam giác ABC cân tại A khi và chỉ khi AB = AC.

Ví dụ 1. Cho d:

Tìm điểm M trên d cách A[0; 1] một đoạn bằng 5

A. M[

; ] B. M1[4; 4] ; M2[ ; ] C. M1[4; 4] ; M2[- ; - ] D. M[ 2; -3]

Lời giải

Lấy điểm M[ 2 + 2t; 3 + t] nằm trên d ; AM→[ 2 + 2t; t + 2]

Để AM = 5 khi và chỉ khi

[2t + 2]2 + [t + 2]2 = 25 hay 5t2 + 12t - 17 = 0

Suy ra t = 1 hoặc t = -

+ Với t = 1 thì M[ 4; 4]

+ Với t = - ⇒ M2[- ; - ].

Chọn C

Quảng cáo

Ví dụ 2. Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm M[15; 1] đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng ∆ :

bằng:

A. √10 B.

C. D. √5

Lời giải

+ Ta đưa đường thẳng ∆ về dạng tổng quát:

∆:

⇒ [ ∆] : 1[x - 2] – 3[ y - 0] = 0 hay x - 3y - 2 = 0

+ Với mọi điểm N bất kì thuộc ∆ ta luôn có: MN ≤ d[ M; ∆]

⇒ MNmin = d[ M; ∆] =

= √10

Chọn A.

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A[ -2; 2], B[4; -6] và đường thẳng . Tìm điểm M thuộc d:

sao cho M cách đều hai điểm A; B

A. M[ 3; 7] B. M[ -3; -5] C. M[ 2; 5] D. M[ -2; -5]

Lời giải

Do điểmM thuộc đường thẳng d nên tọa độ M[ t; 1 + 2t]

MA2 = [ t + 2]2 + [ 2t - 1]2 và MB2 = [t - 4]2 + [2t + 7]2

Để MA = MB ⇔ AM2 = MB2

⇔ [ t + 2]2 + [2t - 1]2 = [t - 4]2 + [2t + 7]2

⇔ t2 + 4t + 4 + 4t2 - 4t + 1 = t2 - 8t + 16 + 4t2 + 28t + 49

⇔ 20t = - 60 ⇔ t = -3

⇒ Tọa độ điểm M [ -3; -5].

Chọn B.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A[-1; 2] ; B[-3;2] và đường thẳng d: 2x - y + 3 = 0. Tìm điểm C thuộc d sao cho tam giác ABC cân tại C.

A. C[ -2; -1] B. C[ 1; -2] C. C[ -1; 1] D. C[0; 3]

Lời giải

Gọi tọa độ điểm C[x;y] .

+ Do điểm C thuộc đường thẳng d nên 2x - y + 3 = 0 [ 1] .

+ Ta có AC2 = [ x + 1]2 + [ y - 2]2 và BC2 = [ x + 3]2 + [y - 2]2

Để tam giác ABC cân tại C thì CA = CB ⇔ CA2 = CB2

⇔ [ x + 1]2 + [y - 2]2 = [x + 3]2 + [y - 2]2

⇔ x2 + 2x + 1 + y2 - 4y + 4 = x2 + 6x + 9 + y2 - 4y + 4

⇔ - 4x = 8 [2].

Từ[ 1] và [ 2] ta có hệ phương trình :

Vậy tọa độ điểm C[-2; -1].

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm A[-1;2] đến đường thẳng ∆: mx + y - m + 4 = 0 bằng 2√5 .

A. m = 2 B. m = -2 hoặc m =

C. m = - D. Không tồn tại m.

Lời giải

Khoảng cách từ A đến đường thẳng ∆:

d[A; Δ] =

= 2√5

⇔ |- 2m + 6| = 2√5.

⇔ |m - 3| = √5. ⇔ 4m2 + 6m - 4 = 0

⇔ m = -2 hoặc m =

Chọn B.

Ví dụ 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng d1:

và d2: x - 2y + m = 0 đến gốc toạ độ bằng 2.

A. m = -4 hoặc m = 2 B. m = - 4 hoặc m = -2

C. m = 4 hoặc m = 2 D. m = 4 hoặc m = -2

Lời giải

+ ta đưa đường thẳng d1 về dạng tổng quát:

[d1 ]:

⇒ phương trình d1: 1[ x - 0] + 1 [y - 2] = 0 hay x + y - 2 = 0

+ Giao điểm của d1 và d2 là nghiệm hệ phương trình:

Vậy giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là M[4 - m; m - 2]

+ Khi đó: OM = 2 ⇔ OM2 = 4

⇔[4 - m]2 + [m - 2]2 = 4 ⇔ 16 - 8m + m2 + m2 - 4m + 4 = 4

⇔2m2 - 12m + 16 = 0 ⇔ m = 2 hoặc m = 4

Chọn C.

Ví dụ 7. Với giá trị nào của m thì đường thẳng Δ:

x - y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn [ C]: tâm O[0; 0] và bán kính R = 1?

A. m = ±1 B. m = 0 C. m = √2 D. m =

Lời giải

Để đường thẳng ∆ tiếp xúc đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng ∆ bằng bán kính R

d[O; Δ] = R ⇔

= 1 ⇔ m = ±1.

Chọn A.

Ví dụ 8: Tìm điểm M trên trục Ox sao cho nó cách đều hai đường thẳng:
d1: 3x + 2y - 6 = 0 và d2: 3x + 2y + 6 = 0 ?

A. [1; 0] B. [0; 0] C. [0; √2] D. [√2; 0]

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ điểm M[ a;0] .

Khoảng cách từ M đến hai đường thẳng là:

d[M; d1] =

và d[ M; d2] =

để M cách đều hai đường thẳng khi và chỉ khi :

=

⇒ Tọa độ điểm M [ 0; 0]

Chọn B.

Ví dụ 9: Cho hai điểm A[ 1; 2] và B[ 4; 6]. Tìm tọa độ điểm M trên trục Oy sao cho diện tích tam giác MAB bằng 1 ?

A. [0 ;

] và [0; ] B. [1; 0] C. [4; 0] D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Độ dài đoạn AB =

= 5

+ Điểm M thuộc Oy nên tọa độ M [ 0; y].

+ Vì diện tích tam giác MAB bằng 1 nên S = AB.d[ M;AB] = 1

⇔ .5.d[ M; AB] = 1 ⇒ d[ M; AB] =

+ Phương trình đường thẳng AB:

⇒ Phương trình AB: 4[ x - 1] – 3[ y - 2] = 0 hay 4x - 3y + 2 = 0

⇒ d[ M; AB] =

=

Vậy có hai điểm M thỏa mãn M[0; 0] hoặc M[ 0;

]

Chọn D.

Ví dụ 10 : Cho ba điểm A[0; 1] ; B[12; 5] và C[-3; 0]. Đường thẳng nào sau đây cách đều ba điểm A; B; C

A. x - 3y + 4 = 0 B. –x + y + 10 = 0 C. x + y = 0 D. 5x - y + 1 = 0.

Lời giải

Cách 1 : Ta có : AB→[ 12; 4]; AC→[ -3; -1] ⇒ AB→ = - 4AC→

⇒ ba điểm A ; B và C thẳng hàng .

⇒ Nếu đường thẳng d cách đều 3 điểm A, B ; C thì nó phải song song hoặc trùng với AB.

Đường thẳng [d] nhận vecto AC→[ -3 ; -1] làm VTCP nên nhận vecto n→[ 1 ; -3] làm VTPT

⇒ đường thẳng d có dạng : x - 3y + c = 0

Kiểm tra các phương án, ta thấy phương án A thỏa mãn

Cách 2: Tính khoảng cách từ 3 điểm đến lần lượt các đường thẳng trong các phương án A, B, C, D.

Chọn A.

Ví dụ 11. Cho A[2; 2] ; B[5; 1] và đường thẳng ∆: x - 2y + 8 = 0 . Điểm C thuộc ∆ và C có hoành độ dương sao cho diện tích tam giác ABC bằng 17. Tọa độ của C là

A. [10; 12] B. [12 ; 10] C. [ 8; 8] D. [10; 8]

Lời giải

Phương trình đường thẳng AB:

⇒ [ AB] : 1[x - 2] + 3[y - 2] = 0 hay x + 3y – 8 = 0

Điểm

Độ dài AB =

= √10 và khoảng cách từ C đến AB:

D[ C; AB]=

=

Diện tích tam giác ABC là:

S = AB.d[C; AB] = 17 ⇔ √10. = 17

⇔ |5t - 16| = 34 ⇒

Mà C có hoành độ dương nên t = 10 ⇒ C[ 12; 10] .

Chọn B.

Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A[1;1] ; B[ -2; 4] và đường thẳng ∆: mx - y + 3 = 0. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ∆ cách đều hai điểm A; B.

A. m = 1 hoặc m = -2 B. m = -1 hoặc m = 2

C. m = 1 hoặc m = -1 D. m = 2 hoặc m = - 2

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

+ Để một đường thẳng ∆ cách đều hai điểm A và B thì ∆ // AB hoặc ∆ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

+ Gọi d là đường thẳng song song với AB ⇒ d nhận AB→[ -3; 3] VTCP nên nhận

n→[ 1; 1] làm VTPT

⇒ [d] có dạng : x + y + c = 0

Để d// ∆ ⇔ m/1= [-1]/1≠3/c ⇔ m= -1 và c ≠-3.

⇒ Với m = - 1 thì d//∆ nên ∆ cách đều hai điểm A và B

+ Gọi [ d’] là đường trung trực của đoạn AB.

[ d’] :

⇒ Phương trình [ d’] : 1[ x + ] - 1[ y -

] = 0 hay x - y + 3 = 0

⇒ Để d’ trùng với ∆ thì m = 1. Khi đó; ∆ là đường trùng trực của AB nên ∆ cách đều hai điểm A và B.

Vậy với m = 1 hoặc m = -1 thì đường thẳng ∆ cách đều hai điểm A và B

Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A[ 1; 1] ; B[4; - 3] và đường thẳng d: x - 2y - 1 = 0. Tìm điểm M thuộc d có tọa độ nguyên và thỏa mãn khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 6.

A. M[ 3; 7] B. M[ 7; 3] C. M[ -43; -27] D. M[3; -

]

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

+ Phương trình đường thẳng AB:

⇒ [ AB] : 4[x - 1] + 3[y - 1] = 0 hay 4x + 3y - 7 = 0

+ Lấy điểm M [ 2m + 1; m] thuộc d với m nguyên

Khi đó để khoảng cách từ M đến AB bằng 6 thì:

6 = d[M; AB] =

⇔|11m - 3| = 30 ⇔

→ M[7;3].

Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ oxy , cho điểm A[ 0; 1] và đường thẳng
d:

. Tìm điểm M thuộc d và cách A một khoảng bằng 5, biết M có hoành độ âm.

A. M[-2; 1] B.

C. M[- ; - ] D. M[ -4; 4]

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Do điểm M thuộc đường thẳng d nên tọa độ của M[ 2 + 2t; 3 + t]

với 2 + 2t < 0 hay t < -1 vì M có hoành độ âm

Khi đó để M cách A một khoảng bằng 5 thì AM = 5 ⇔ AM2 = 25

⇔[ 2 + 2t]2 + [2 + t]2 = 25 ⇔ 4 + 8t + 4t2 + 4 + 4t + t2 = 25

⇔5t2 + 12t - 17 = 0

⇔

Với t =

thì M[- ; - ]

Câu 4: Biết rằng có đúng hai điểm thuộc trục hoành và cách đường thẳng
∆: 2x - y + 5 = 0 một khoảng bằng 2√5. Tích hoành độ của hai điểm đó bằng:

A. -

B. - C. - D. Đáp số khác.

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

Điểm M [ x; 0] thuộc trục hoành.

Do khoảng cách từ M đến ∆ là 2√5 nên

d[M; Δ] = 2√5 ⇔

⇔ |2x + 5| = 10

⇔

Vậy có hai điểm thỏa mãn là M1[ ; 0] và M2[

; 0].

Tích hoành độ của hai điểm đó là: . = -

Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A[3; -1] và B[0;3]. Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1.

A. M[

; 0] ; M[1;0] B. M[ ; 0] ;M[ ; 0]

C. M[ - ; 0] ;M[ -1; 0] D. M[ - ; 0] ;M[ - ; 0]

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

Phương trình [ AB]:

⇒ [ AB] : 4[ x - 3] + 3[ y + 1] = 0 hay 4x + 3y - 9 = 0

Gọi điểm M thuộc trục hoành có tọa độ là [ x; 0] .

Để khoảng cách từ M đến AB bằng 1 thì:

1 = d[ M; AB] =

⇔|4x - 9| = 5

⇔

Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A[3; 0] và B[ 0; -4] . Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho diện tích tam giác MAB bằng 6

A. M[0; 0] hoặc M[0; -8] B. M[0; - 8] C. M[6; 0] D. M[0; 0]

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

+ Phương trình AB theo đoạn chắn :

= 1 hay -4x + 3y + 12 = 0

+ AB =

= 5

+ Gọi điểm M[ 0; y] thuộc trục tung.

⇒ khoảng cách từ M đến AB là d[ M; AB] =

Để diện tích tam giác MAB là 6 thì:

S = .AB.d[ M; AB] = 6 ⇔ .5. = 6

⇔ |3y + 12| = 12 ⇒

Vậy có hai điểm M thỏa mãn là M[0; 0 ] hoặc M [ 0; -8]

Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng [a]: 3x - 2y - 6 = 0 và
[b] : 3x – 2y + 12 = 0. Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho M cách đều hai đường thẳng đã cho.

A. M[ -2; 0] B. M[-1; 0] C. M[1; 0] D. M[0; 0]

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

D0 M thuộc trục hoành nên tọa độ M [x; 0]

Khoảng cách từ M đến hai đường thẳng là:

d[ M; a] =

và d[ M; b] =

Để điểm M cách đều hai đường thẳng a và b thì:

= ⇔ |3x - 6| = |3x + 12|

⇔3x - 6 = - 3x - 12 ⇔x = -1

⇒ Điểm M [ -1; 0] .

Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A[1; 2] ; B[ 0; 3] và đường thẳng d: y = 2. Tìm điểm C thuộc d sao cho tam giác ABC cân tại B

A. C[1; 2] B. C[4; 2] C. C[1; 2] hoặc C[ -1; 2] D. C[-1; 2]

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Gọi toạ độ của điểm C[ x; y] .

Do C thuộc d nên y = 2. [1]

Ta có: BA2 = [1 - 0]2 + [2 - 3]2 = 2 và BC2 = x2 + [y - 3]2

Để tạm giác ABC cân tại B thì BA = BC ⇔ BA2 = BC2

⇔ 2 = x2 + [y - 3]2 [2]

Từ [ 1] và [2] ta có hệ phương trình :

⇒ Có hai điểm C thỏa mãn đầu bài là C[ 1; 2] hoặc C[ -1; 2]

Câu 9: Phương trình của đường thẳng qua P[2; 5] và cách Q[5; 1] một khoảng bằng 3 là:

A. 7x + 24y - 13 = 0 . B. x = 2

C. x = 2 hoặc 7x + 24y – 134 = 0 . D. 3x + 4y - 5 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

+ Đường thẳng ∆ qua P[ 2; 5] và có VTPT n→[ a; b] .

⇒ Phương trình ∆: a[x - 2] + b[y - 5] = 0 hay ax + by – 2a – 5b = 0

+ Khoảng cách từ điểm Q đến ∆:

d[Q, ∆] = 3 ⇔

= 3 ⇔ |3a - 4b| = 3.

⇔ -24ab + 7b2 = 0 ⇔

+ Với b = 0, chọn a = 1 thì phương trình ∆ : x - 2 = 0.

+ Với b =

a , chọn a = 7⇒ b = 24 phương trình ∆ : 7x + 24y - 134 = 0

Câu 10: Cho hai điểm A[3; -1] và B[0; 3] . Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng AB?

A. [ -4; 0]; [-3,5; 0] B. [2; 0] và [1; 0] C. [4; 0] D. [-4; 0] ; [ 8,5; 0]

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

+ Ta gọi tọa độ điểm M nằm trên trục Ox là M[ a ; 0]

+ Phương trình đường thẳng AB :

⇒ Phương trình AB : 4[x - 3] + 3[y + 1] = 0 hay 4x + 3y - 9 = 0

+ Độ dài đoạn AB =

= 5

+ Để khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng AB thì d[ M; AB] = 5

⇔

= 5 ⇔|4a - 9| = 25

⇔

Vậy có hai điểm M thỏa mãn là M [ 8,5; 0] và M[ -4; 0] .

Câu 11: Cho hai điểm A[ 2; 3] và B[1; 4]. Đường thẳng nào sau đây cách đều hai điểm A; B?

A. x - y + 2 = 0 B. x - y + 100 = 0 C. x + 2y = 0 D. 2x - y + 10 = 0.

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

Cách 1: Gọi d là đường thẳng cách đều 2 điểm A và B ta có:

M[x; y] ∈ d ⇔ MA = MB ⇔ MA2 = MB2

⇔ [x - 2]2 + [y - 3]2 = [ x - 1]2 + [y - 4]2

⇔ x2 - 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = x2 - 2x + 1 + y2 - 8y + 16

⇔2x - 2y + 4 = 0 hay x - y + 2 = 0

Cách 2: Gọi I là trung điểm của đoạn AB ⇒ I[

; ]

Gọi d là đường thẳng cách đều 2 điểm A và B suy ra d là đường trung trực của đoạn AB hoặc d// AB.

+ Viết đường trung trực d của AB :

⇒ d đi qua I[ ; ] và nhận AB→[ -1; 1] làm VTPT

⇒ d: -[x - ] + [y - ] = 0 ⇒ d: -x + y - 2 = 0

+ Viết đường thẳng d’ song song với AB.

⇒ d’ nhận AB→[ -1 ;1] làm VTCP và VTPT là n→[1 ; 1]

⇒ [d’] có dạng :x + y + c = 0.

Trong các phương án chỉ có phương án A thỏa mãn.

Câu 12: Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục Ox và cách đều 2 đường thẳng
[a]: 2x - 3y + 4 = 0 và [b]: 2x + 3y + 2 = 0

A. [

; 0] B. [ ; 0] C. [1; 0] D. [ - ; 0]

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Điểm M nằm trên trục Ox nên tọa độ điểm M [ a ; 0] .

Khoảng cách từ M đến hai đường thẳng là :

d[M ; a] =

và d[M ; b] =

Để M cách đều hai đường thẳng [a] và [b] khi và chỉ khi :

=

⇔ |2a + 4|= |2a + 2| ⇔

⇒ Điểm M[ - ; 0]

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Giới thiệu kênh Youtube Tôi

Trang trước Trang sau

Cho [d]: x=2+3ty=3+t. Hỏi có bao nhiêu điểm M∈dcách A[9; 1] một đoạn bằng 5

A.1

B.0

C.3

D.2

Đáp án chính xác

Xem lời giải