Công thức tam giác Pascals cho hàng thứ n
|
(OEIS A007318). Công thức của Pascal cho thấy rằng mỗi hàng tiếp theo có được bằng cách cộng hai mục theo đường chéo ở trên, Show  (3) Biểu đồ trên cho thấy các biểu diễn nhị phân cho các số hạng 255 (hình trên) và 511 (hình dưới) đầu tiên của tam giác Pascal phẳng Số đầu tiên sau số 1 trong mỗi hàng chia hết tất cả các số khác trong hàng đó nếu nó là số nguyên tố Tổng (4) (Harborth 1976, Le Lionnais 1983), với đẳng thức của (5) (OEIS A020857). Chuỗi tổng số lần nhập lẻ có một số thuộc tính đáng kinh ngạc và giá trị tối thiểu có thể Tam giác Pascal chứa các số tượng trưng dọc theo các đường chéo của nó, như có thể thấy từ biểu thức (6) (7) Ngoài ra, tổng các phần tử của (số 8) do đó tổng của (9) "Các đường chéo nông" của tam giác Pascal tổng bằng các số Fibonacci, i. e. , (10) (11) (12) (13) (14) (15) và, nói chung, (16) Số lần mà các số 2, 3, 4,. xảy ra trong tam giác Pascal được cho bởi 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4,. (OEIS A003016; Ogilvy 1972, trang. 96; . 93; . Tương tự, các số hàng trong đó các số 2, 3, 4,. xảy ra là 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2,. (OEIS A059233) Đến hàng 210, các số (17) (18) (19) đã xuất hiện sáu lần, nhiều hơn bất kỳ số nào khác (không bao gồm 1). Đến hàng 1540, (20) hiện đã xảy ra sáu lần, theo hàng 3003, (21) hiện đã xuất hiện 8 lần và đến hàng 7140, 7140 cũng đã xuất hiện 6 lần. Trên thực tế, các số xuất hiện năm lần trở lên trong tam giác Pascal là 1, 120, 210, 1540, 3003, 7140, 11628, 24310,. (OEIS A003015), không có mã nào khác cho đến Biết rằng có vô số số xuất hiện ít nhất 6 lần trong tam giác Pascal, đó là nghiệm của (22) được cho bởi (23) (24) trong đó Có một mối liên hệ bất ngờ giữa tam giác Pascal và các số Delannoy thông qua phân rã Cholesky (G. Mũ bảo hiểm, cá nhân. liên lạc. , tháng 8. 29, 2005). Hơn nữa, mặc dù cả hai không liên quan đến nhau về mặt toán học, nhưng cũng có một mối liên hệ mang tính thời sự giữa tam giác Pascal và cái gọi là tam giác bất hảo; Tam giác Pascal (mod 2) hóa ra tương đương với sàng Sierpiński (Wolfram 1984; Crandall và Pomerance 2001; Borwein và Bailey 2003, trang. 46-47). Guy (1990) đưa ra một số tính chất bất ngờ khác của tam giác Pascal Hàng thứ 6 của tam giác Pascal là gì?Cách tiếp cận cổ điển là lưu ý rằng bên trái và bên phải sẽ luôn bao gồm các số 1, trong khi mỗi giá trị bên trong chỉ đơn giản là tổng của hai giá trị ngay phía trên nó -- như minh họa dưới đây. Vì vậy, ở đây, hàng thứ 6 của tam giác Pascal phải là. 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 .
Quy tắc tính tổng của hàng thứ n trong tam giác Pascal là gì?Tổng các phần tử ở hàng thứ n của tam giác Pascal là 2n. Chúng tôi đưa ra hai bằng chứng của định lý này. một dựa trực tiếp vào các quy tắc tạo ra tam giác Pascal và một sử dụng định lý nhị thức .
Hàng thứ 4 trong tam giác Pascal là gì?Ví dụ, hàng 4 là 1 4 6 4 1, vì vậy công thức sẽ là 6 – (4+4) + (1+1) = 0;
Hàng thứ 7 của tam giác Pascal là gì?tất cả các số trong hàng đó (trừ số 1) đều chia hết cho nó. Ví dụ ở hàng thứ 7 ( 1,7,21,35,35,21,7,1 ) 7,21,35 chia hết cho . Trong Đại số, mỗi hàng trong Tam giác Pascal chứa các hệ số của nhị thức (x+y) được nâng lên lũy thừa của hàng. |
