Đề bài
Cho hình lăng trụ \[ABC.ABC\] có đáy là tam giác vuông cân ở \[C\]. Cạnh \[BB = a\] và tạo với đáy một góc bằng \[{60^0}\]. Hình chiếu vuông góc hạ từ \[B\] lên đáy trùng với trọng tâm của tam giác \[ABC\]. Tính thể tích khối lăng trụ đó theo \[a\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xác định góc giữa \[BB'\] và mặt phẳng \[\left[ {ABC} \right]\] [góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng với hình chiếu của nó trên mặt phẳng].
- Tính diện tích đáy và chiều cao của hình lăng trụ.
- Tính thể tích lăng trụ theo công thức \[V = Bh\].
Lời giải chi tiết
Gọi \[G\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\], khi đó \[\widehat {B'BG} = {60^0}\]
\[ \Rightarrow B'G = BB'\sin {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\] \[BG = BB'\cos {60^0} = \dfrac{a}{2}\].
Gọi \[D\] là trung điểm của \[AC\], khi đó \[BD = \dfrac{3}{2}BG = \dfrac{{3a}}{4}\].
Ta có \[B{C^2} + C{D^2} = B{D^2}\], do đó \[B{C^2} + \dfrac{{B{C^2}}}{4} = \dfrac{{5B{C^2}}}{4} = \dfrac{{9{a^2}}}{{16}}\]
Suy ra \[B{C^2} = \dfrac{9}{{20}}{a^2},{S_{ABC}} = \dfrac{{B{C^2}}}{2} = \dfrac{9}{{40}}{a^2}\]; \[{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{9{a^2}}}{{40}} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{{80}}{a^3}\]