Đề bài
Hỏi bốn đường thẳng sau có đồng quy không:
\[\eqalign{
& \left[ {{d_1}} \right]:3x + 2y = 13 \cr
& \left[ {{d_2}} \right]:2x + 3y = 7 \cr
& \left[ {{d_3}} \right]:x - y = 6 \cr
& \left[ {{d_4}} \right]:5x - 0y = 25? \cr} \]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Tìm giao điểm \[M\] của hai đường thẳng bất kì:
Hoành độ giao điểm \[M\] của hai đường thẳng \[y=ax+b\] và \[y=a'x+b'\] là nghiệm của phương trình: \[ax+b=a'x+b'\].
Giải phương trình trên ta tìm được \[x\]. Thay giá trị của \[x\] vào phương trình \[y=ax+b\] hoặc \[y=a'x+b'\], ta tìm được tung độ giao điểm.
-Nếu hai đường thẳng còn lại cùng đi quađiểm \[M\]thì 4 đường thẳng đã cho đồng quy tại điểm \[M\].
- Đường thẳng \[ax+by=c\] đi qua điểm \[M[x_0;y_0]\]\[\Leftrightarrow ax_0+by_0=c\].
Lời giải chi tiết
- Ta có \[\left[ {{d_2}} \right]:2x + 3y = 7\Leftrightarrowy= -\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{3}\]
\[\left[ {{d_3}} \right]:x - y = 6 \Leftrightarrowy = x 6\]
Hoành độ giao điểm \[M\] của hai đường thẳng\[\left[ {{d_2}} \right]\]và\[\left[ {{d_3}} \right]\] là nghiệm của phương trình:
\[-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{7}{3}=x-6 \Leftrightarrow\displaystyle {5 \over 3}x =\dfrac{25}{3} \\ \Leftrightarrow x = 5\]
Suy ra tung độ giao điểm \[M\] là \[ y = 5-6=-1\]
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \[\left[ {{d_2}} \right]\]và\[\left[ {{d_3}} \right]\] là \[ M[5;-1].\]
- Nếu\[\left[ {{d_1}} \right],\left[ {{d_4}} \right]\] cùng đi qua điểm \[M[5; -1]\] thì bốn đường thẳng đã cho đồng quy.
Thay \[x=5;y=-1\] vào phương trình đường thẳng\[\left[ {{d_1}} \right]\] ta được:
\[3.5 + 2.\left[ { - 1} \right] = 13 \Leftrightarrow 13 = 13\] [luôn đúng]
Do đó \[\left[ {{d_1}} \right]\] đi qua \[M [5; -1]\].
Thay \[x=5;y=-1\] vào phương trình đường thẳng\[\left[ {{d_4}} \right]\] ta được:
\[5.5-0.[-1] =25\Leftrightarrow 25 = 25\] [luôn đúng]
Do đó \[\left[ {{d_4}} \right]\]đi qua \[M [5; -1]\].]
Vậy bốn đường thẳng đã cho đồng quy tại \[M [5; -1].\]