Đề bài
Cho đường tròn \[[O]\], điểm \[A\] nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến \[AB,\ AC\] với đường tròn [\[B,\ C\] là các tiếp điểm].
a] Chứng minh rằng \[OA\] vuông góc với \[BC\].
b] Vẽ đường kính \[CD\]. Chứng minh rằng \[BD\] song song với \[AO\].
c] Tính độ dài các cạnh của tam giác \[ABC\]; biết \[OB=2cm,\ OA=4cm\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
b] Dùng tính chất đường trung bình trong tam giác.
c] Dùng định lí Py-ta-go và tính chất của tam giác cân, tam giác đều.
Lời giải chi tiết
a] Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại \[A\] ta có :
\[AB = AC,\widehat {OAB} = \widehat {OAC}.\]
Tam giác \[ABC\] có hai cạnh bằng nhau nên là tam giác cân, lại có \[AO\] là tia phân giác nên \[AO \bot BC.\]
b] Ta chứng minh \[OH\] là đường trung bình của tam giác \[CBD.\] Gọi \[H\] là giao điểm của và \[BC.\] Ta có
\[BH = HC\] [vì trong tam giác cân tia phân giác hạ từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến].
Mặt khác, \[DO = CO\] [bán kính] nên \[OH\] là đường trung bình của tam giác \[CBD,\] suy ra \[BD//OH,\] tức là \[BD//AO.\]
c] Tính \[AC:\] Áp dụng định lí Py-ta-go ta có : \[A{C^2} = A{B^2} = A{O^2} - B{O^2}\]\[ = {4^2} - {2^2} = 12\left[ {cm} \right]\]
suy ra \[AC = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \left[ {cm} \right].\]
Xét tam giác vuông \[OAC,\] ta có \[\sin \widehat {OAC} = \dfrac{{OC}}{{OA}} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\] nên \[\widehat {AOC} = {30^o},\] do đó \[\widehat {BAC} = 2.\widehat {OAC} = {60^o}.\]
Tam giác \[ABC\] là tam giác đều vì là tam giác cân có một góc \[{60^o}\].
Do đó \[AB = BC = AC = 2\sqrt 3 \left[ {cm} \right].\]
Chú ý :
Câu b] còn có thể giải theo cách khác như sau :
Chứng minh \[BD \bot BC\] và \[AO \bot BC\] từ đó suy ra \[BD//AO.\]