Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A, các điểm M, N theo thứ tự di động trên các cạnh AB và AC sao cho AM = CN. Hãy tìm tập hợp các trung điểm I của MN.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
Các điểm cách đường thẳng \[b\] một khoảng bằng \[h\] nằm trên hai đường thẳng song song với \[b\] và cách \[b\] một khoảng bằng \[h.\]
Lời giải chi tiết
Kẻ \[NP//AB\] ta có:
\[\widehat {NPC} = \widehat B\] [đồng vị] mà \[\widehat B = \widehat C\left[ {gt} \right]\]
\[ \Rightarrow \widehat {NPC} = \widehat C\] hay \[\Delta NPC\] cân
Do đó tứ giác ANPM là hình bình hành có I là trung điểm của MN
\[ \Rightarrow I\] là trung điểm của AP.
Kẻ IH và AK cùng vuông góc với BC ta có IH là đường trung bình của \[\Delta AKP\] nên \[{\rm{IH}} = \dfrac{1 }{2}AK\] [không đổi]
Vậy tập hợp các trung điểm I của MN khi M, N di động trên AB và AC là đường thẳng song song với BC và cách BC một đoạn bằng \[\dfrac {1}2AK\] hay chính là đường trung bình song song với cạnh BC của tam giác ABC.