Cho tam giác cân ABC [AB = AC], vẽ các đường cao BH, CK [H.66].a] Chứng minh BK = CH.b] Chứng minh KH//BC.c] Cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.Hướng dẫn câu c]:-Vẽ thêm đường cao AI, xét hai tam giác đồng dạng IAC và HBC rồi tính CH.
-Tiếp theo, xét hai tam giác đồng dạng AKH và ABC rồi tính HK.
a] Xét hai tam giác vuông \[BKC\] và \[CHB\] có:
\[ \widehat{KBC} = \widehat{HCB }\] [\[∆ABC\] cân tại \[A\]]
\[BC\] là cạnh chung [giả thiết]
\[\Rightarrow ∆BKC = ∆CHB\] [cạnh huyền - góc nhọn]
\[\Rightarrow BK = CH\] [2 cạnh tương ứng]
b] Ta có : \[AK = AB - BK,\, AH = AC - HC\] [giả thiết]
Mà \[AB = AC\] [\[∆ABC\] cân tại \[A\]]
\[BK = CH\] [cmt] \[\Rightarrow AK = AH\]
Do đó: \[\dfrac{AK}{AB} = \dfrac{AH}{AC}\]
\[\Rightarrow KH // BC\] [định lí Ta-lét đảo]
c] \[BH\] cắt \[CK\] tại \[M \Rightarrow M\] là trực tâm của \[∆ABC\] [định nghĩa trực tâm]
\[\Rightarrow AM ⊥ BC\] tại \[I\] [tính chất trực tâm]
Xét \[∆AIC\] và \[∆BHC\] có:
\[\widehat{I} = \widehat{H } = 90^o\]
\[\widehat{C}\] chung
\[\Rightarrow ∆AIC \backsim ∆BHC\] [g - g]
\[\Rightarrow \dfrac{IC}{HC} = \dfrac{AC}{BC}\] [tính chất hai tam giác đồng dạng]
\[\Rightarrow \dfrac{\dfrac{a}{2}}{HC} = \dfrac{b}{a}\\ \Rightarrow HC = \dfrac{BC.AH}{AC}\\ \Rightarrow HK = \dfrac{a}{b}. \dfrac{2b^2 - a^2}{2b} = \dfrac{2ab^2 - a^3}{2b^2} = a - \dfrac{a^3}{2b^2}\]
Bài 35 trang 92 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 15cm, BC = 18cm. Trên cạnh AB đặt đoạn thẳng AM = 10cm, trên cạnh AC đặt đoạn AN = 8cm. Tính độ dài đoạn thẳng MN
Lời giải:
Ta có:
Suy ra:
Xét ΔABC và ΔAMN, ta có
+ Góc A chung
+
Suy ra: ΔAMN đồng dạng ΔABC[c.g.c] ⇒
Vậy MN =
Bài 36 trang 92 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Hình thang ABCD [AB // CD] có AB= 4cm, CD = 16cm và BD = 8cm. Chứng minh: ∠[BAD] = ∠[DBC] và BC =2AD.
Lời giải:
Ta có:
Suy ra:
Xét ΔABD và ΔBDC, ta có:
∠[ABD] = ∠[BDC] [so le trong]
Vây ΔABD đồng dạng ΔBDC [c.g.c] ⇒ ∠[BAD] = ∠[DBC]
Tỉ số đồng dạng k = 1/2
Ta có:
Bài 37 trang 92 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có ∠A = 60o; AB = 6cm, AC = 9cm.
a. Dựng tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng k = 1/3
b. Hãy nêu một vài cách dựng khác và vẽ hình từng trường hợp.
Lời giải:
[chứng minh trên]* Cách dựng:
- Trên cạnh AB dựng điểm B' sao cho = 2 cm
- Trên cạnh AC dựng điểm C' sao cho AC' = 3cm
- Nối B'C'
Khi đó AB'C' là tam giác cần dựng
* Chứng minh:
Theo cách dựng, ta có:
Suy ra:
Lại có: ∠A chung
Vậy ΔAB'C' đồng dạng ΔABC [c.g.c]
b. Hình vẽ minh họa như sau:
Bài 38 trang 92 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có AB = 10cm, AC=20cm. Trên cạnh AC, đặt đoạn AD = 5cm. Chứng minh: ∠[ABD] = ∠[ACB]
Lời giải:
Ta có:
Suy ra:
Xét ΔADB và ΔABC, ta có:
+ Góc A chung
+
Suy ra: ΔADB đồng dạng ΔABC [c.g.c]
Vậy ∠[ABD] = ∠[ACB]
Ôn tập chương 3 [Câu hỏi - Bài tập]
Bài 60 [trang 92 SGK Toán 8 tập 2]
Cho tam giác vuông ABC, góc A = 90o, góc C = 30ovà đường phân giác BD [D thuộc cạnh AC].
a] Tính tỉ số AD/CD.
b] Cho biết độ dài AB = 12,5cm. Hãy tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
Lời giải:
Tham khảo toàn bộ: Giải Toán 8