Giải phương trình mũ đưa về cùng cơ số
|
I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Phương trình mũ cơ bản Phương trình có dạng \({a^x} = b\left( {0 < a \ne 1} \right)\) +) Với \(b > 0\) ta có \({a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b\). +) Với \(b \le 0\) phương trình vô nghiệm. Ví dụ: Giải phương trình \({5^x} = 125\). Ta có: \(\begin{array}{l}{5^x} = 125\\ \Leftrightarrow x = {\log _5}125\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}\) 2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản a) Đưa về cùng cơ số Ví dụ: Giải phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x - 1}} = {2^{3x}}\) Ta có: \(\begin{array}{l}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x - 1}} = {2^{3x}}\\ \Leftrightarrow {2^{ - 2x + 1}} = {2^{3x}}\\ \Leftrightarrow - 2x + 1 = 3x\\ \Leftrightarrow 1 = 5x\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{5}\end{array}\) b) Đặt ẩn phụ Ví dụ: Giải phương trình \({4^x} - {2^{x + 1}} + 1 = 0\). Ta có: \(\begin{array}{l}{4^x} - {2^{x + 1}} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - {2.2^x} + 1 = 0\end{array}\) Đặt \(t = {2^x} > 0\) ta được: \(\begin{array}{l}{t^2} - 2t + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow t - 1 = 0\\ \Leftrightarrow t = 1\end{array}\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {2^x} = 1\\ \Leftrightarrow x = {\log _2}1\\ \Leftrightarrow x = 0\end{array}\) c) Logarit hóa Ví dụ: Giải phương trình \({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1\). Logarit hai vế cơ số \(3\) ta được: \(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {{3^x}{{.2}^{{x^2}}}} \right) = {\log _3}1\\ \Leftrightarrow {\log _3}{3^x} + {\log _3}{2^{{x^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow x + {x^2}{\log _3}2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {1 + x{{\log }_3}2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\1 + x{\log _3}2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - \dfrac{1}{{{{\log }_3}2}} = - {\log_2}3\end{array} \right.\end{array}\)
d) Đưa về phương trình tích. Phương pháp: - Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có) - Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng tích \(AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) - Bước 3: Giải các phương trình \(A = 0,B = 0\) tìm nghiệm. - Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.
e) Sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số. Phương pháp: - Bước 1: Tìm điều kiện xác định. - Bước 2: Có thể làm một trong hai cách sau: Cách 1: Biến đổi phương trình sao cho một vế là hàm số đơn điệu, một vế là hằng số hoặc một vế là hàm đồng biến và vế còn lại là hàm số nghịch biến. Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) với \(f\) là hàm số đơn điệu. - Bước 3: Nhẩm một nghiệm của phương trình trên. - Bước 4: Kết luận nghiệm duy nhất của phương trình. II. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1. Phương trình logarit cơ bản Phương trình có dạng \({\log _a}x = b\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\) Ta có: \({\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}\). Phương trình luôn có nghiệm \(x = {a^b}\). Ví dụ: Giải phương trình \({\log _5}x = - 2\). Ta có: \({\log _5}x = - 2 \Leftrightarrow x = {5^{ - 2}} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{25}}\). 2. Cách giải một số phương trình logarit a) Đưa về cùng cơ số Ví dụ: Giải phương trình \({\log _2}x + {\log _4}x = 1\) Ta có: \(\begin{array}{l}{\log _2}x + {\log _4}x = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}x + \dfrac{1}{2}{\log _2}x = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}{\log _2}x = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}x = \dfrac{2}{3}\\ \Leftrightarrow x = {2^{\frac{2}{3}}}\\ \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{4}\end{array}\) b) Đặt ẩn phụ Ví dụ: Giải phương trình \(\dfrac{1}{{\ln x}} + \dfrac{1}{{\ln x - 1}} = \dfrac{5}{6}\). ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\ln x \ne 0\\\ln x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\\x \ne e\end{array} \right.\) Đặt \(t = \ln x\left( {t \ne 0,t \ne 1} \right)\) ta được: \(\begin{array}{l}\dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{{t - 1}} = \dfrac{5}{6}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6t - 6 + 6t}}{{6t\left( {t - 1} \right)}} = \dfrac{{5t\left( {t - 1} \right)}}{{6t\left( {t - 1} \right)}}\\ \Rightarrow 12t - 6 = 5{t^2} - 5t\\ \Leftrightarrow 5{t^2} - 17t + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = \dfrac{2}{5}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln x = 3\\\ln x = \dfrac{2}{5}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {e^3}\\x = {e^{\frac{2}{5}}}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\end{array}\) Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {{e^3};{e^{\frac{2}{5}}}} \right\}\). c) Mũ hóa Ví dụ: Giải phương trình \({\log _3}\left( {3 - {3^x}} \right) = 1 + x\) ĐK: \(3 - {3^x} > 0 \Leftrightarrow {3^x} < 3 \Leftrightarrow x < 1\) Ta có: \(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {3 - {3^x}} \right) = 1 + x\\ \Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3^{1 + x}}\\ \Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3.3^x}\\ \Leftrightarrow 3 = {4.3^x}\\ \Leftrightarrow {3^x} = \dfrac{3}{4}\\ \Leftrightarrow x = {\log _3}\dfrac{3}{4}\\ \Leftrightarrow x = 1 - {\log _3}4\left( {TM} \right)\end{array}\)
d) Đưa về phương trình tích. Phương pháp: - Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có) - Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng tích \(AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) - Bước 3: Giải các phương trình \(A = 0,B = 0\) tìm nghiệm. - Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.
e) Sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số. Phương pháp: - Bước 1: Tìm điều kiện xác định. - Bước 2: Có thể làm một trong hai cách sau: Cách 1: Biến đổi phương trình sao cho một vế là hàm số đơn điệu, một vế là hằng số hoặc một vế là hàm đồng biến và vế còn lại là hàm số nghịch biến. Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) với \(f\) là hàm số đơn điệu. - Bước 3: Nhẩm một nghiệm của phương trình trên. - Bước 4: Kết luận nghiệm duy nhất của phương trình.  Loigiaihay.com 09:04:5318/12/2018 Các em đã ôn tập về luỹ thừa trong bài hướng dẫn trước, trong phần này chúng ta sẽ ôn lại kiến thức về phương trình mũ và bất phương trình mũ. Nếu các em chưa nhớ các tính chất của hàm số mũ, các em có thể xem lại Tại Đây A. PHƯƠNG TRÌNH MŨ I. Phương trình mũ cơ bản + Là dạng phương trình ax = b; (*), với a, b cho trước và 0 - Nếu b≤ 0: Phương trình (*) vô nghiệm - Nếu b>0: II. Phương pháp giải Phương trình mũ và Bất phương trình mũ 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số - Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau: af(x) = ag(x) ⇔ a = 1 hoặc - Logorit hoá và đưa về cùng cơ số: * Dạng 1: Phương trình af(x) = b ⇔ * Dạng 2: Phương trình: af(x) = bg(x) ⇔ hoặc: * Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) b) * Lời giải: a) ⇔ ⇔ x2 - x + 8 = 2 - 6x ⇔ x2 + 5x + 6 = 0 ⇔ x= -2 hoặc x = -3 b) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = 1 2. Phương pháp dùng ẩn phụ * Khi sử dụng phương pháp này ta nên thực hiện theo các bước sau: B1: Đưa PT, BPT về dạng ẩn phụ quen thuộc. B2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ. B3: Giải PT, BPT với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa điều kiện. B4: Thay giá trị t tìm được vào giải PT, BPT mũ cơ bản B5: Kết luận. * Loại 1: Các số hạng trong PT, BPT có thể biểu diễn qua af(x) nên đặt t = af(x). - Hay gặp một số dạng sau: + Dạng 1: Aa2f(x) + Baf(x) + C = 0 ⇒ bậc 2 ẩn t. + Dạng 2: Aa3f(x) + Ba2f(x) + Caf(x) + D = 0 ⇒ bậc 3 ẩn t. + Dạng 3: Aa4f(x) + Ba2f(x) + C = 0 ⇒ trùng phương ẩn t. > Lưu ý: Trong loại này ta còn gặp một số bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được một phương trình, Bpt vẫn chứa x ta gọi đó là các bài toán đặt ẩn phụ không hoàn toàn. * Loại 2: Phương trình đẳng cấp bậc n đối với af(x) và bf(x). - Hay gặp một số dạng sau: + Dạng 1: Aa2f(x) + B(a.b)f(x) + Cb2f(x) = 0 ⇒ Chia 2 vế cho a2f(x) đưa về loại 1 dạng 1 + Dạng 2: Aa3f(x) + B(a2.b)f(x) + C(a.b2)f(x) + D.b3f(x) = 0 ⇒ Chia 2 vế cho a3f(x) đưa về loại 1 dạng 2 º Tổng quát: Với dạng này ta sẽ chia cả 2 vế của Pt cho an.f(x) hoặc bn.f(x) với n là số tự nhiên lớn nhất có trong Pt Sau khi chia ta sẽ đưa được Pt về loại 1. Loại 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo + Dạng 1: A.af(x) + B.bf(x) + C = 0 với a.b=1 ⇒ Đặt ẩn phụ t = af(x) ⇒ bf(x) = 1/t + Dạng 2: A.af(x) + B.bf(x) + C.cf(x) = 0 với a.b=c2. ⇒ Chia 2 vế của Pt cho cf(x) và đưa về dạng 1. 3. Phương pháp logarit hóa + Đôi khi ta không thể giải một PT, BPT mũ bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể lấy logarit hai vế theo cùng một sơ số thích hợp nào đó PT, BPT mũ cơ bản (phương pháp này gọi là logarit hóa) + Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường có dạng af(x).bg(x).ch(x)=d (tức là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau) khi đó ta có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số a (hoặc b, hoặc c). B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Bất phương trình mũ cơ bản - Xét bất phương trình ax > b - Nếu b≤0, tập nghiệm của bất PT là R vì ax > 0 với mọi x∈R - Nếu b>0, thì BPT tương đương với ax > - Nếu a > 1 thì nghiệm của bất PT là x > logab * Lời giải: a) 2-x=28 ⇔ -x =8 ⇔ x =-8 b) 2-x=8 ⇔ 2-x= 23 ⇔ -x =3 ⇔ x =-3 c) ⇔ x2 - 4x = 0 ⇔ x(x - 4) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4 d) (cách nhẩm nghiệm: Do các hệ số của Pt bậc 2 trên có a - b + c =0 nên có 1 nghiệm x = -1 nghiệm còn lại x = -c/a = -2) * Bài tập 2: Giải các phương trình mũ sau a) * Lời giải: a) b) (cách nhẩm nghiệm: Do các hệ số của Pt bậc 2 trên có a + b + c =0 nên có 1 nghiệm x = 1 nghiệm còn lại x = c/a = 2) c) 2x+1 + 2x-2 = 36 ⇔ 2.2x + 2x/4 = 36 ⇔ 8.2x + 2x = 144 ⇔ 9.2x = 144 ⇔ 2x = 16 ⇔ 2x = 24 ⇔ x = 4 * Giải phương trình mũ áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ * Bài tập 3: Giải các phương trình mũ sau a) 9x - 4.3x + 3 = 0 b) 9x - 3.6x + 2.4x = 0 c) 5x + 51-x -6 = 0 d) 25x -2.5x - 15 = 0 * Lời giải: a) 9x - 4.3x + 3 = 0 đặt t = 3x với t>0 ta được phương trình: t2 - 4.t + 3 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 3 (2 nghiệm đều thoả điều kiện t>0). với t = 1 ⇔ 3x = 1 ⇔ x=0 với t = 3 ⇔ 3x = 3 ⇔ x=1 b) 9x - 3.6x + 2.4x = 0 chia 2 vế của phương trình cho 4x ta được phương trình sau t2 - 3.t + 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 2 (2 nghiệm đều thoả t>0) với t = 1 ⇔ (3/2)x = 1 ⇔ x=0 với t = 2 ⇔ (3/2)x = 2 ⇔ c) 5x + 51-x -6 = 0 ⇔ 5x + 5.5-x -6 = 0 Đặt t = 5x (với t>0) thì 5-x = 1/t ta được phương trình: với t = 1 ⇔ 5x = 1 ⇔ x=0 với t = 5 ⇔ 5x = 5 ⇔ x=1 d) d) 25x -2.5x - 15 = 0 ⇔ 52x - 2.5x - 15 = 0 đặt t = 5x với t>0 ta được phương trình t2 - 2t - 15 = 0 ⇔ t = 5 (nhận) hoặc t = -3 (loại) với t = 5 ⇔ 5x = 1 ⇔ x=0 * Giải phương trình mũ bằng phương pháp logarit hoá * Bài tập 4. Giải các phương trình mũ sau a) 3x = 2 b) 2x.3x = 1 * Lời giải: a) 3x = 2 ta logarit cơ số 3 hay vế Pt ⇔ log33x = log32 ⇔ x = log32 b) 2x.3x = 1 ⇔ (2.3)x = 1 ⇔ 6x = 1 ⇔ log66x =log61 ⇔ x = 0 hoặc có thể làm như sau, lấy logarit cơ số 2 của 2 vế ta được Pt ⇔ log2(2x.3x) = log21 ⇔ log2(2x.3x) = 0 ⇔ log22x + log23x = 0 ⇔ x+ x.log23 = 0 ⇔ x(1+ log23) = 0 ⇔ x = 0 * Giải các bất phương trình mũ sau * Bài tập 5: Giải bất phương trình a) 2x-1 < 5 b) 0,3x+2>7 c) e) * Lời giải: a) 2x-1 < 5 ⇔ x - 1 < log25 ⇔ x < 1+log25 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: b) 0,3x+2>7 ⇔ x + 2 < log0,37 ⇔ x < -2 + log0,37 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: c) Ta có: BPT ⇔ x2+3x-4 > 2(x-1) ⇔ x2 + x - 2 > 0 ⇔ x<-2 hoặc x>1 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: d) BPT ⇔ 33(1-2x) < 3(-1) ⇔ 3-6x<-1 ⇔ 6x-4>0 ⇔ x>(2/3) Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: e) BPT ⇔ ⇔ x > 8(x-2) ⇔ 16 > 7x ⇔ x < 16/7 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: f) Ta có: ⇔ Khi đó ta có BPT ⇔ ⇔ x-1 ≥ x2-3 ⇔ -x2 + x + 2 ≥ 0 ⇔ -1≤x≤2 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: * Bài tập 6. Giải các PT, BPT mũ sau (tự giải) a) 36x - 3.30x +2.25x = 0 b) 3x+1 = 5x-2 c) 52x+1 - 7x+1 = 52x + 7x d) e) f) 9x - 3.6x + 2.4x > 0 g) 25x - 6.5x +5 > 0
Hy vọng với phần ôn tập về phương trình và bất phương trình mũ ở trên giúp các em hiểu rõ hơn về nội dung này, mọi thắc mắc các em hãy để lại bình luận dưới bài viết để được hỗ trợ, chúc các em học tập tốt. |
