Giải phương trình vi phân cấp 1 tuyến tính không thuần nhất
3. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) Ta giải bằng phương pháp biến thiên hằng số. (Các phương pháp khác, các bạn thử tự giải và so sánh kết quả nhé) Bước 1: Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất liên kết với (1). Ta có:
Hay: Bước 2: Nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng: Ta có: . Thế vào phương trình (1) ta có: . (Rõ ràng ta triệt tiêu được những gì liên quan đến v(x)). Từ đó: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:
Ví dụ 2: Giải phương trình: (2) Trước tiên, ta chuyển về dạng rồi nhận diện dạng phương trình. Ta có: (*) Rõ ràng, đây không phải là phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp, pt đẳng cấp được cũng không phải là phương trình tuyến tính với y là hàm theo x. Ở đây, vế phải là phân số mà tử số chỉ có 1 số hạng. Do đó, ta coi x là hàm theo biến số y, khi đó nghịch đảo phương trình (*) ta sẽ có: Hay: (2′) Đây chính là phương trình tuyến tính cấp 1 với x là hàm theo biến y: Vậy: giải phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với (2′):
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2′) có dạng: Ta có: Thế vào pt (2′) ta có:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2′) là:
4. Phương trình Bernoulli:
Cách giải: Nhân 2 vế của pt (4) cho . Ta có: (4′) Khi đó, ta đặt: . Ta có: Thế vào phương trình (4′) ta có: Phương trình này chính là phương trình tuyến tính với z là hàm theo biến x. Bài toán được giải quyết! Ví dụ: Giải phương trình: (1) Ta viết lại phương trình: Đây là phương trình Bernoulli với Do đó, ta nhân hai vế của phương trình với ta có: (*) Ta đặt . Thế vào (*) ta có: (**) (phương trình tuyến tính với z là hàm theo biến x). – Giải pt thuần nhất liên kết với (**) ta được: – Nghiệm tổng quát của pt(**) có dạng: . Thế vào (**) ta tìm được: Vậy nghiệm tổng quát của pt (**) là: Từ đó, nghiệm tổng quát của (1) là: 5. Phương trình Ricatti:
Nhìn chung, nghiệm của phương trình không biểu diễn được ở dạng hàm sơ cấp. Tuy nhiên, nếu ta biết được 1 nghiệm riêng nào đó của phương trình, giả sử thì bằng cách biến đổi: ta sẽ đưa được pt về phương trình Bernoulli. Khi đó: Thế vào pt ta có: (*) Do là 1 nghiệm của phương trình nên từ (*) ta có: (**) Rõ ràng (**) chính là phương trình Bernulli với z là hàm theo biến số x. |