Giải phương trình vi phân cấp 1 tuyến tính không thuần nhất

3. Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)

Ta giải bằng phương pháp biến thiên hằng số. (Các phương pháp khác, các bạn thử tự giải và so sánh kết quả nhé)

Bước 1: Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất liên kết với (1). Ta có:

Hay:

Bước 2: Nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng:

Ta có: . Thế vào phương trình (1) ta có:

.

(Rõ ràng ta triệt tiêu được những gì liên quan đến v(x)).

Từ đó:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

Ví dụ 2: Giải phương trình: (2)

Trước tiên, ta chuyển về dạng rồi nhận diện dạng phương trình. Ta có: (*)

Rõ ràng, đây không phải là phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp, pt đẳng cấp được cũng không phải là phương trình tuyến tính với y là hàm theo x. Ở đây, vế phải là phân số mà tử số chỉ có 1 số hạng. Do đó, ta coi x là hàm theo biến số y, khi đó nghịch đảo phương trình  (*) ta sẽ có:

Hay: (2′)

Đây chính là phương trình tuyến tính cấp 1 với x là hàm theo biến y:

Vậy: giải phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với (2′):

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2′) có dạng:

Ta có: Thế vào pt (2′) ta có:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (2′) là:

4. Phương trình Bernoulli:

Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng:

(4)

Cách giải:

Nhân 2 vế của pt (4) cho . Ta có:

(4′)

Khi đó, ta đặt: . Ta có:

Thế vào phương trình (4′) ta có: 

Phương trình này chính là phương trình tuyến tính với z là hàm theo biến x. Bài toán được giải quyết!

Ví dụ: Giải phương trình: (1)

Ta viết lại phương trình:

Đây là phương trình Bernoulli với

Do đó, ta nhân hai vế của phương trình với ta có: (*)

Ta đặt . Thế vào (*) ta có:

(**) (phương trình tuyến tính với z là hàm theo biến x).

– Giải pt thuần nhất liên kết với (**) ta được:

– Nghiệm tổng quát của pt(**) có dạng: .

Thế vào (**) ta tìm được:

Vậy nghiệm tổng quát của pt (**) là:

Từ đó, nghiệm tổng quát của (1) là:

5. Phương trình Ricatti:

Là phương trình vi phân có dạng:

Nhìn chung, nghiệm của phương trình không biểu diễn được ở dạng hàm sơ cấp. Tuy nhiên, nếu ta biết được 1 nghiệm riêng nào đó của phương trình, giả sử thì bằng cách biến đổi: ta sẽ đưa được pt về phương trình Bernoulli.

Khi đó:

Thế vào pt ta có:

(*)

Do là 1 nghiệm của phương trình nên từ (*) ta có:

(**)

Rõ ràng (**) chính là phương trình Bernulli với z là hàm theo biến số x.