Hai mặt cầu cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn
|
Câu hỏi: 494. Trong hệ trục\(Oxyz\), cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 49\) và\(\left( {{S_2}} \right):{\left( {x – 10} \right)^2} + {\left( {y – 9} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 400\) và mặt phẳng \(\left( P \right):4x – 3y + mz + 22 = 0\). Có bao nhiêu số nguyên m để mp (P) cắt hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\;\left( {{S_2}} \right)\) theo giao tuyến là hai đường tròn không có tiếp tuyến chung? A. \(5\). B. \(11\). Show
C. Vô số. D. \(6\). Lời giải Mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \(I\left( {1; – 3;2} \right)\), bán kính \({R_1} = 7\); mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm \(J\left( {10;9;2} \right)\), bán kính \({R_2} = 20\). Ta có \(\overrightarrow {IJ} \left( {9;12;0} \right)\), \(IJ = 15\). Mặt phẳng \(\left( P \right):4x – 3y + mz + 22 = 0\) có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} \left( {4; – 3;m} \right)\) Do \(\overrightarrow {IJ} .\overrightarrow {{n_P}} = 0\) nên \(IJ\) song song hoặc chứa trong (P). Bán kính đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\) là \(r = \frac{{2\sqrt {p\left( {p – 7} \right)\left( {p – 20} \right)\left( {p – 15} \right)} }}{{15}} = \frac{{28}}{5}\) với \(p = \frac{{20 + 7 + 15}}{2} = 21\) Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến hai mặt cầu là (Q): \(3x + 4y + 30 = 0\) Ta có \(d\left( {I;(Q)} \right) = \frac{{21}}{5}\), \(d\left( {J;(Q)} \right) = \frac{{96}}{5}\) nên \(d\left( {I;(Q)} \right) + IJ = d\left( {J;(Q)} \right)\) Ta có mp(P) cắt hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\) theo giao tuyến là hai đường tròn, trong đó đường tròn nhỏ ở trong đường tròn lớn khi \(\frac{{28}}{5} < d\left( {I;(P)} \right) < 7 \Leftrightarrow \frac{{28}}{5} < \frac{{\left| {2m + 35} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 25} }} < 7\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}45{m^2} – 140m > 0\\\frac{{684}}{{25}}{m^2} – 140m – 441 < 0\end{array} \right.\) Và có m nguyên, nên \(m \in \left\{ { – 2; – 1;4;5;6;7} \right\}\). =======Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu (( S ): , ,((x)^(2))+((y)^(2))+((z)^(2))-2x-4y-20=0 ) và mặt phẳng (( alpha ): , ,x+2y-2z+7=0 ) cắt nhau theo một đường tròn có chu vi bằng:Câu 54523 Thông hiểu Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-20=0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,x+2y-2z+7=0\) cắt nhau theo một đường tròn có chu vi bằng: Đáp án đúng: a Ôn thi đánh giá năng lực 2023 - lộ trình 5v bài bản khám phá Phương pháp giải Gọi I; R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu (S), giả sử mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cách I một khoảng là d và cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r, khi đó ta có \({{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}\). Phương pháp giải các bài toán về mặt cầu và mặt phẳng --- Xem chi tiết ...Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( {{S}{1}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\l?Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( {{S}_{1}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=16\) và \(\left( {{S}_{2}} \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9\) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\). Tìm tọa độ tâm của đường tròn \(\left( C \right)\). A. \(\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{4};\dfrac{1}{4} \right)\). B. \(\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{7}{4};\dfrac{1}{4} \right)\). C. \(\left( -\dfrac{1}{3};\dfrac{7}{4};-\dfrac{1}{4} \right)\). D. \(\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{4};-\dfrac{1}{4} \right)\).
Mặt cầu và mặt phẳng trong hình học Oxyz Tóm tắt lý thuyết vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng trong hình học Oxyz, bài tập trắc nghiệm có hướng dẫn giải chi tiết. Cho mặt cầu
Tâm
Cho mặt phẳng Để xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Chúng ta tính khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng và so sánh khoảng cách đó với bán kính
Trường hợp 1: Mặt phẳng cắt mặt cầu
Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là hình tròn có tâm H và bán kính r H là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mặt phẳng (P) { Phương pháp tìm hình chiều vuôn góc của 1 điểm trên mặt phẳng }
Công thức liên hệ bán kính mặt cầu và đường tròn giao tuyến
Chú ý: Đường tròn giao tuyến lớn nhất : Mặt phẳng cắt đôi mặt cầu, tâm cầu I thuộc mặt phẳng (P) Đường tròn giao tuyến nhỏ nhất : Trường hợp 2: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S): Mặt phẳng (P) là tiếp diện của mặt cầu Điểm tiếp xúc H của mặt cầu và mặt phẳng là tọa độ hình chiếu của mặt cầu và mặt phẳng
Trường hợp 3: Mặt phẳng không cắt mặt cầu
Bài giảng phương trình mặt cầu và các dạng bài phương trình mặt cầu hay gặp Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng. Các dạng bài tập thường gặp Mặt cầu và đường thẳng, mặt cầu và 1 điểm trong hình học |
